用數形結合之利 破問題研究之難
——淺談數學結合思想對小學生數學學習的幫助

江蘇鹽城市解放路實驗學校 張 帆

用數形結合之利 破問題研究之難
——淺談數學結合思想對小學生數學學習的幫助

江蘇鹽城市解放路實驗學校 張 帆

數形結合是數學課堂教學重要方法運用，符合學生數學認知形成需求。教師要適時設計，引發學生學習興趣，理順學習思維，構建數理認知。小學生直觀思維比較敏感，數形結合將數理內質聯系直觀化處理，會對有效突破教學難點發揮不可替代的作用，值得我們大力推演。

小學數學 數形結合 突破難點

數形結合思想是指把數量關系和空間形式之間有機融合的數學思想方法，即利用學生熟知且能夠解讀的幾何圖形，去解釋問題之中的復雜關系或隱晦的聯系，從而使以“形”悟“數”、用“數”解“形”得以最直觀地呈現，也使得學生的數學學習如虎添翼。在小學數學教學中如能一以貫之地引導學生運用數形幾何思想去研究問題、分析問題，勢必能給學生最直觀的感觸，促進學習理解的深入，更好地刺激學生靈活運用形象表象等積淀去分析、思考和推理，讓學生進行必要的思維訓練，最終實現數學思維的飛速發展。

一、化抽象為直觀，讓關系更清晰

指導學生科學地繪制線段圖、矩形圖等示意圖，給學生以直觀的啟迪，讓習題的數量關系變得明了、清晰，從而使學生的數學學習變得愈加靈動，充滿智慧。

如，三年級的一道數學題：“一箱蘋果，連箱稱一共重15千克，取出一半蘋果后，連箱再稱，這時重量是8千克。計算出蘋果一共有多少千克？箱子重多少千克？”

對于一個三年級小孩來講，蘋果與箱子的關系就顯得尤為抽象，特別是其中還有一個“一半”。所以引導學生嘗試用圖例來揭示問題中所蘊含的規律、把握習題的本質就顯得十分重要了。

一方面組織學生解讀習題，分析習題中所呈現的各種關系，能夠明晰基本的邏輯順序。另一方面引導學生嘗試用圖例表示出對應的數量關系，讓學生利用圖例揭示箱子、蘋果之間的聯系，把握準15千克、8千克的構成，找出蘊含在其中的變量與不變量。第三，指導學生科學繪制示意圖，在不同的學習成果展示活動中，我們能夠找到一種既簡潔，又便于解析的圖例（見下圖）。第四，組織深度解讀圖例：生1：我發現——箱子+蘋果=15（千克），取出一半后變成——箱子+蘋果的一半=8（千克），從中看出箱子是不變的，蘋果是變化的，而且只有原來的一半。生2：看圖很明顯，紅色的箱子不變，綠色的蘋果減少一半，我發現減少了15-8=7（千克），7千克就是蘋果的一半，那么原來的蘋果就是7千克的2倍，是14千克；這樣15-14=1（千克），這就是箱子的重量……

從學生的學習質態，我們不難看出，數形結合成為學生研究問題、分析問題、解決問題的有效拐杖。科學地引用數形結合策略，既能加速學習理解，又能發展學生的數學思維，讓數學學習更具活力。

二、化繁雜為簡潔，讓思考更敏捷

小學數學解決問題有很多的習題，其表述復雜，關系繁雜，從而導致學生解讀困難，理解無所適從。因此，在小學數學教學中靈活地引入數學結合策略，幫助學生解讀繁瑣，解析困惑，使得問題的關鍵點能夠凸顯出來，躍然紙上，讓學生的數學學習產生意想不到的效果，收獲理想的實效。

如，六年級有關百分數的一道習題：“有一種農藥若干克，加入1杯水后，這時農藥的含藥率變為25%，再加1杯藥粉后，農藥的含藥率是40%。請計算出原來農藥的含藥率。”

看完題目，很多同學都有很多的疑問：原來的農藥有多少克啊？既加藥粉又加水，其中有什么奧秘嗎？是啊！含藥率也在不斷變化，一會兒是40%，一會兒是25%，怎么去分析其中的規律呢？引導學生進行解析，并學會用圖例表示出對應的關系。把一份藥粉表示為★，一份水表示為◆。根據“加入1杯水后，這時農藥的含藥率變為25%”，也可以表示為：★◆◆◆◆。根據“再加1杯藥粉后，農藥的含藥率是40%”，可以表示為：★★◆◆◆；這樣我們能夠清楚地得知：1份藥粉、1份水剛好也是1杯藥粉、1杯水，如果沒有加1杯水和1杯藥粉這一變化，那么原來農藥的含藥粉則可以理解為：★★◆◆◆-★-◆=★◆◆，從圖里可以得出，★就是★◆◆總和的所以原來農藥含藥粉率為33.33%。

從上述的圖例我們能夠感受到數形結合策略在研究問題、突破難點中的巨大優勢，所以我們在教學中應不失時機、不遺余力并靈活地滲透數形結合思想，以加速學習思考深入，促進數學思維的迅猛發展。

三、化隱晦為直白，讓探索更便利

對于小學生來講，讀清問題的條件、理順內在的關聯、找準對應的關系等是解決問題的根本要素。然而，在小學數學諸多問題中，總有一些問題的條件隱藏得很深，導致題目晦澀難懂，成了學習研究的攔路虎。因此，指導學生學會用畫圖的策略來解密晦澀，使繁瑣的關系逐漸清晰、明朗，從而提升學生的解題能力，加深學習感悟，積淀研究問題的活動經驗。

如，六年級一道百分數的問題：“有一種新鮮蔬菜若干千克，含水率是99%，經過晾曬后含水率變成了98%。這時蔬菜的質量是原來質量的百分之幾？”

粗看題目，僅發現兩個百分數存在，導致很多學生無法下手，從而使解題陷入尷尬的格局。然而，指導學生畫圖揭示其中的內在關系，我們就會發現晦澀關系的隱藏條件——蔬菜除了含水外，還有其他的物質，而這些物質無論怎么晾曬都不會變化，找出這個關鍵，也就使問題分析變得有章可循、有法可依了。

因為上下線段圖中的不變的量是“不變的物質”，抓住這一關鍵點（不變物質的量：蔬菜總量×（1-99%）），進而便捷地推斷出：第二個線段圖中蔬菜的總量，蔬菜總量×（1-99%）÷（1-98%）=蔬菜總量×1%÷2%=蔬菜總量×1%×=蔬菜總量×，就是原來蔬菜總量的50%。

一組簡單的線段圖，使題目中隱晦的條件浮現出來。學生能夠更便捷地從圖例中找出共性部分——不變的物質量是一定的，是蔬菜總量×（1-99%）。同理，晾曬后水分減少，而不變的那部分還是一定的，所以根據這個等量，學生能夠很輕松地計算出現在蔬菜量與原來蔬菜總量之間的關系，從而使得學習得以順利突破。

通過上述三個案例，我們不難看出——把數形結合思想有機地滲透于學生的問題研究之中，既能豐富學生的學習活動經驗，又能訓練數學思維，還能激發學生探究的學習興趣，更能培養學生的學習創造力。在小學數學教學中滲透數形結合思想不僅是我們的教學使命，也是我們發展學生良好數學素養的有效舉措，更是發展學生思維、促進學習認知科學建構的基本路徑。因此我們應科學地對學生進行學習指導，還要有意識地引進數形結合的策略，為學生實踐提供豐富的試煉場，進而豐富學習積累，加速學生數學素養的發展，讓學生獲得最快樂的、最成功的學習體驗。