二階廣義自治Birkhoff系統極限環不存在性

曹秋鵬，陳向煒

(1.蘇州科技大學 數理學院，江蘇 蘇州 215009；2.商丘師范學院 電子電氣工程學院，河南 商丘 476000)

二階廣義自治Birkhoff系統極限環不存在性

曹秋鵬1，陳向煒2

(1.蘇州科技大學 數理學院，江蘇 蘇州 215009；2.商丘師范學院 電子電氣工程學院，河南 商丘 476000)

建立二階廣義自治Birkhoff系統的微分方程.首先全面分析了該系統的奇點類型，由于不存在焦點型奇點，從而判定二階廣義自治Birkhoff系統不存在極限環；然后進一步用梯度系統方法探討了該系統的定性性質，把該系統分別轉化為4類梯度系統，由梯度系統的性質得到了二階廣義自治Birkhoff系統極限環不存在的條件.最后舉例說明結果的應用.

廣義Birkhoff系統；奇點；梯度系統；極限環

常微分方程的定性理論是許多基礎學科乃至自動控制、航天技術、生物工程等應用技術研究的不可缺少的數學工具，且已成為一個熱門課題[1].非線性系統的極限環的研究一直是其定性分析的重點內容[2-3].極限環反映非線性系統周期振蕩現象，有著很重要的物理意義.Birkhoff系統動力學是近年來研究較熱的一類微分動力學系統，是Hamilton力學的自然推廣[4].Birkhoff系統動力學的研究已取得了豐富的成果[5].作者試圖將微分方程定性分析的基本理論和方法引入到Birkhoff系統的研究，得到了一些有意義的結果[6].梅鳳翔先生考慮Birkhoff方程添加附加項的情形，從而建立了廣義Birkhoff系統動力學[7].近幾年廣義Birkhoff系統的研究已有大量的結果[8]，但這些結果大多集中在對稱性、守恒量、積分方法和穩定性的研究，對廣義Birkhoff系統定性理論的研究還未廣泛展開，廣義Birkhoff系統極限環的相關研究還沒有涉及.

梯度系統是一類重要的動力學系統[9]，文獻[10]介紹了梯度系統的四種類型.如果滿足一定的條件，各類力學系統可以轉化成梯度系統，此時便可以用梯度系統的性質來研究力學系統的一些問題.梅鳳翔及其他研究者在梯度系統的基礎上，研究了各類力學系統的梯度系統表示，系統零解穩定性以及系統的積分[11-14].

本文進一步開展廣義Birkhoff系統的定性理論研究，分別利用奇點分析方法和梯度系統方法研究廣義Birkhoff系統極限環的性質，得到了該系統極限環不存在的相關條件.

1 系統的運動微分方程

二階自治廣義Birkhoff系統的微分方程有形式[6]：

(1)

其中

(2)

(3)

B=B(a)為Birkhoff函數，Rν=Rν(a)為Birkhoff函數組，Λν=Λν(a)為附加項.

對于系統(1)可以寫成

(4)

2 系統極限環的不存在性

下面我們將考慮系統(1)極限環的不存在性.主要考慮兩個方法，第一種方法利用奇點的類型.這種方法主要思想：我們知道極限環的鄰域內的軌線都是螺旋地趨近或遠離它，如果系統的奇點不存在焦點則系統就不存在極限環.

2.1 奇點法

我們接下來就是要探討什么情況下，系統(1)不存在焦點型奇點.關于系統(1)的奇點類型在文獻[8]已詳細介紹，這里僅僅簡單敘述.

(5)

(6)

(7)

當系統(1)滿足

(8)

此時系統(1)的線性化系統(7)沒有焦點型奇點.但是這僅僅是系統(1)的線性化方程，我們知道在考慮非線性項之后，線性化系統(7)的中心型奇點可能會成為焦點，我們還要保證線性化系統的中心仍是原系統的中心.

其實，如果(8)式成立，且滿足

(9)

此時B是系統(1)的積分，那么系統(7)的中心型奇點仍為系統(1)的中心型奇點.

上述討論的結果歸結為：

命題1如果二階自治廣義Birkhoff系統(1)滿足(8)和(9)，那么系統(1)不存在焦點型奇點，系統(1)不存在極限環.

2.2 梯度法

極限環實際上就是非線性微分系統的一條孤立的閉軌線.那么只要二階自治廣義Birkhoff系統(1)沒有閉軌線，就更不存在極限環.第二種方法利用梯度系統的性質，用Poincaré切性曲線法探究二階自治廣義Birkhoff系統極限環的不存在性.

性質1由Poincaré切性曲線法[1]可知，如果存在函數F(a)∈C1(D)，使得

(10)

2.2.1 通常梯度系統

系統的微分方程為

(11)

對系統(11)

(12)

對于系統(1)，當(4)滿足

(13)

(1)成為一個通常梯度系統.

2.2.2 斜梯度系統

系統微分方程為

(14)

其中bij=-bji.

對系統(14)

(15)

對于系統(1)，當(4)滿足

(16)

(1)成為一個斜梯度系統.

2.2.3 具有對稱負定矩陣的梯度系統

系統微分方程為

(17)

其中((sij))是對稱負定矩陣.

對系統(17)

(18)

對于系統(1)，當(4)滿足

(19)

(1)成為一個具有對稱負定矩陣的梯度系統.

2.2.4 具有半負定矩陣的梯度系統

系統微分方程為

(20)

其中((aij))是半負定矩陣.

對系統(20)

(21)

對于系統(1)，當(4)滿足

(22)

(4)成為一個具有半負定矩陣的梯度系統.

由上面的分析得到：

命題2如果二階廣義自治Birkhoff系統能轉化成為通常梯度系統或者具有對稱負定矩陣的梯度系統，即當(13)或者(19)成立，根據上文提到的Poincaré切性曲線法可直接判定二階廣義自治Birkhoff系統不存在極限環.

3 算 例

例題1 已知二階廣義Birkhoff系統

R1=a2，R2=0

(23)

(24)

Λ1=-a1+(a1)3，Λ2=a2

(25)

首先我們先寫出該系統的運動微分方程，由方程(1)得到

(26)

由方程(26)可得到該系統的奇點是(0，0)，(-1，0)，(1，0)，在這三個奇點處顯然有(8)式成立.同時對于系統(26)有

(27)

因此由上面的分析知道系統(26)不存在極限環.

例題2 已知二階廣義Birkhoff系統

R1=a2，R2=0

(28)

B=a1a2

(29)

Λ1=-(a2)2，Λ2=2a1-(a1)2

(30)

由方程(1)我們有

(31)

可以將(31)寫成

(32)

其中

(33)

這顯然是一個通常梯度系統.

(33)沿著(31)對t求導得

(34)

例題3 已知二階廣義Birkhoff系統

R1=a2，R2=0

(35)

B=-2a1a2-(a1)2a2

(36)

Λ1=-6a2-2a1a2，Λ2=0

(37)

由方程(1)我們有

(38)

我們可以將(36)寫成

(39)

其中

(40)

這顯然是一個具有對稱負定矩陣的梯度系統.

(40)沿著(38)對t求導得

(41)

[1]馬知恩，周義倉.常微分方程定性與穩定性方法[M].北京：科學出版社，2001.

[2]崔永新.對微分系統極限環存在性判定準則的解析[J].長江大學學報(自然科學版)，2009，6(1)：130-132.

[3]呂寶紅，龍品紅.一類非線性微分方程極限環的不存在性[J].武漢理工大學學報(信息與管理工程版)，2010，32(3)：396-398.

[4]Birkhoff G D.Dynamical Systems[M].Providence：AMS College Publisher，1927.

[5]陳向煒，傅景禮，羅紹凱，等.Birkhoff系統動力學研究進展[J].商丘師范學院學報，2004，20(2)：5-13.

[6]陳向煒.Birkhoff系統的全局分析[M].開封：河南大學出版社，2002.

[7]梅鳳翔，張永發，何光，等.廣義Birkhoff系統動力學的基本框架[J].北京理工大學學報，2007，27(12)：1035-1038.

[8]梅鳳翔.廣義Birkhoff系統動力學[M].北京：科學出版社，2013.

[9]Hirsch M W，Smale S，Devaney R L.Differential Equations，Dynamical Systems，and an Introduction to Chaos[M].Singapore：Elsevier，2008.

[10]Mc Lachlan R I，Quispel G R W，Robidoux N.Geometric integration using discrete gradients[J].Phil Trans R Soc Lond A，1999，357(1754)：1 021-1 045.

[11]梅鳳翔.關于斜梯度系統[J].力學與實踐，2013，35(5)：79-81.

[12]Chen Xiang-wei，Zhao Gang-ling，MEI Feng-xiang.A fractional gradient representation of the Poincaré equations[J].Nonlinear Dyn，2013，73(1-2)：579-582.

[13]陳向煒，李彥敏，梅鳳翔.雙參數對廣義Hamilton系統穩定性的影響[J].應用數學和力學，2014，35(12)：1392-1397.

[14]梅鳳翔，吳惠彬.約束力學系統的梯度表示(上、下冊)[M].北京：科學出版社，2016.

[責任編輯：徐明忠]

NonexistenceoflimitcyclesforsecondorderautonomousgeneralizedBrikhoffsystems

CAO Qiupeng1，CHEN Xiangwei2

(1.School of Mathematics and Physics，Suzhou University of Science and Technology，Suzhou 215009，China；2.Department of Physics and Information Engineering，Shangqiu Normal University，Shangqiu 476000，China)

The differential equations of second order autonomous generalized Brikhoff systems were established.Firstly，a comprehensive analysis of the type of singular points of the systems was put forward.Secondly，due to the absence of spiral points to determine the second order autonomous generalized Birkhoff systems have no limit cycles.Further，the systems were translated into four kinds of gradient systems.The qualitative properties of the systems were discussed by gradient systems.Then the conditions under which the second order autonomous generalized Birkhoff systems have no limit cycles are obtained.Finally，some examples are given to illustrate the application of the results.

generalized Brikhoff system；singular point；gradient system；limit cycles

2017-08-25

國家自然科學基金資助項目(11372169)

曹秋鵬(1991—),男,江蘇南通人,蘇州科技大學碩士研究生,主要從事數學物理的研究.

陳向煒(1967—),男,河南汝南人，商丘師范學院教授,博士,主要從事非線性動力學的研究.

O316

A

1672-3600(2017)12-0014-05