將數學建模的思想融入代數學的驅動式教學方法中

秦瑩瑩

摘要：代數學是所有自然學科的基礎，學科中的微積分、代數學、復變函數以及概率論與數理統計是研究自然現象、揭示自然規律、探索規模應用的理論研究工具。在高等數學的這些分支中，代數學的重要性尤其突出，特別是隨著大規模科學計算與大規模工程應用的發展，越來越多的科學領域都比以往更加迫切地需要代數學的理論與應用支持。如何教好代數學？如何讓代數學適應時代的需要？如何讓學生們學以致用？都是每個代數學教師必須考慮的問題。本文將從代數學課堂教學的實際出發，闡述數學建模思想在代數學的驅動式教學方法中的實踐與應用。

關鍵詞：代數學；驅動式教學法；數學建模

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）45-0199-03

一、引言

代數學是數學的一個重要基礎分支，它和作為整個體系的數學一樣具有悠久的歷史。代數學（Algebra）一詞最初來源于9世紀阿拉伯數學家和天文學家花拉子米的重要著作的名稱[1，2]。原義是還原（al-jabr）與相消（almuquabalah）的科學，簡稱為“algebra”。從20世紀初以來，隨著數學的發展和應用的需要，代數學的研究對象以及研究方法發生了巨大的變革。代數學是以研究代數系統的性質與構造為中心的一門學科，是現代科學技術的數學理論基礎之一，在計算機科學、信息科學、數字通信（開關電路、編碼、密碼）、系統工程、近代物理與近代化學等方面有廣泛的應用[3-5]，例如：代數學與代數方程求解；代數學與密碼學。

在大學本科的教學體系中代數學分為數學專業的基礎課《高等代數》，64學時；數學專業的專業課《近世代數》（也叫抽象代數），32學時；其他專業的必修課《線性代數》，32學時。這樣的設計體系比較完善，教學內容也較豐富，但是存在一些問題，比如：課時量不夠；理論與應用模塊不能相輔相成。就拿《線性代數》來說，筆者一直從事該課程的教學，每年都在向教務部門反映，32學時只夠用來講理論知識，根本沒時間進行知識的應用展開，理論知識與實際應用脫節，導致很多學生學得迷茫，不知道為什么學，學了有什么用。

二、代數學的教學現狀

在學校發展高水平大學的指向下，代數學的課程改革略顯滯后，很多書本知識過于陳舊，很多理論證明過于深奧，很多應用舉例只是皮毛沒有發揮真實的啟發作用。筆者在近幾年的教學過程中總結了代數學教學中存在的一些問題，具體表現如下：（1）代數學書本中的應用資源有限，無法積極培養學生的實操能力；（2）現有的教學方法落后，不能很好的和學生互動，不能調動學生的學習主動性；（3）教學過程簡單機械，無法及時檢查教學效果，導致學生討論不積極，打消學生的自主學習勁頭；（4）現有的考核方法單一，無法體現學生學習過程中的努力程度，給少數投機的學生有了投機取巧的機會。鑒于以上問題，筆者在課堂上采用了一種新的教學方法：將數學建模的思想融入代數學的驅動式教學方法中，實施以來教學效果良好，教學成績斐然，學生普遍反映教好。下面我們以一堂《線性代數》課的課堂教學為例來闡述數學建模思想在代數學的驅動式教學方法中的實踐與應用[6-8]。

三、將數學建模的思想融入代數學的驅動式教學方法中

在上一節課中我們講了線性方程組的求解，了解了線性方程組的定義、來源、求解以及應用，今天這節課我們重點講一下線性方程組在實際生活中的應用，學會如何利用課本知識解決現實生活中的問題。

目前中國的超重和肥胖人數就位列美國之后，處于全球第二，有4600萬左右。這個數字比起中國的人口總數而言還不算大，但是中國的肥胖趨勢是非常明顯的。英國海外發展研究所一份最新報告顯示，1980—2008年，中國的肥胖人數幾乎翻番，簡直是“肥胖爆炸性增長”。為了讓自己更健康、更自信、更開心的生活，我們有必要科學、合理地控制自己的體重，要控制自己的體重首先要加強體育鍛煉，其次應控制飲食，將攝入的能量總量限制在1000—1500千卡/天。一個節食者準備一餐的食物A、B、C，三種食物每一盎司中所含蛋白質、脂肪、糖如下表所示。

問：能否使這一餐必須精確地含有25單位蛋白質，24單位脂肪以及21單位糖？如果可以，節食者每種食物需要準備多少盎司？（每盎司為28.35g）

問題分析與討論15分鐘，將班上的學生每3人分成1組，每個成員確定自己各自的任務和合作的部分。分析問題之后大部分組都可以給出問題的求解思路、應用到的基本知識和數學軟件。該問題涉及到的書本知識為非齊次線性方程組的建立，矩陣的行初等變換，優化問題的求解與應用；問題求解用到的軟件為Matlab。

模型假設5分鐘：根據實際情況，很多學生都能抓住該問題的本質，做出必要、合理的簡化假設。

1.假設實驗數據不會出錯。

2.假設節食者每天按標準進食，不會出錯。

3.假設這一餐準備蛋白質x1盎司，脂肪x2盎司，糖 x3盎司。

模型建立和求解25分鐘：根據實驗數據和實際要求，用數學的語言、符號描述對象的內在規律，建立包含常量、變量的線性方程組模型，并用解方程、數值計算等方法來求解該模型。該過程大部分小組都完成的很好，現以1組為例來說明情況。

根據假設蛋白質x1盎司，脂肪x2盎司，糖x3盎司，建立的需求模型為：

2x■1+3x2+3x3=253x1+2x2+3x3=244x1+x2+3x3=21 （1）

利用矩陣的行初等變換，求解該模型（也即求解非齊次線性方程組）

2 3 3 253 2 3 244 1 3 21 1 0 0 3.20 1 0 4.20 0 1 2 （2）

根據（2）式的結論，可知方程組（1）有唯一解，而且該唯一解可以表示為：x1=3.2，x2=4.2，x3=2。endprint

對于問題“能否使這一餐必須精確地含有25單位蛋白質，24單位脂肪以及21單位糖？”因為方程組（1）有解也即需求模型有解，所以我們可以根據節食者的要求為其配置符合要求的減肥餐。

對于問題“如果可以，節食者每種食物需要準備多少盎司？”根據（2）式的結論，可知方程組（1）有唯一解，根據這一結果我們可以為節食者儲備的食物為蛋白質3.2盎司，脂肪4.2盎司，糖2盎司。這樣的配置既可以滿足節食者的能量要求，又可以達到減肥的效果。

模型分析25分鐘：通過建立這個需求模型，我們發現要檢驗一個事件發生的可能性，就必須做足夠多次的試驗并且應該提出合理的假設，因為一次或幾次實驗容易造成結果出現偶然性，不足以為實驗結果提供充分有力的依據，同時我們能通過求解事件發生的概率來肯定或者否定我們的假設，當然這也必須在假設具有確定性的情況下。同時，我們也應該從其他方面考慮這一問題，如果食物的種類較多時，建立的需求模型其階數就比較大，此時再用矩陣的行初等變換來求解模型就顯得不合實際了。因為這一方法在求解小階方程組時效果明顯，但是當階數較大時，該方法只能是理論上可行，實際操作起來困難太大。通過引導學生對模型進行深入地分析，部分小組提出了模型求解的新方法：利用Matlab編程求解。

建立的需求模型仍就為：

2x■1+3x2+3x3=253x1+2x2+3x3=244x1+x2+3x3=21 （1）

利用Matlab編程求解該模型：

A=[2，3，3；3，2，3；4，1，3]；

B=[25；24；21]；

x=A＼B

x=[3.2；4.2；2]；

可知方程組（1）有唯一解，而且該唯一解可以表示為：x1=3.2，x2=4.2，x3=2。

模型檢驗與應用10分鐘：先分析兩種求解方法，可知第一種方法簡單易懂但是適用范圍太小，第二種求解方法不用考慮未知量的個數，廣泛應用于實際計算當中。這個模型可應用于類似題干中這種需求、優化等問題。我們可以先假設結論成立或者結論不成立，但是結論必須是相對的且不能出現第三種情況；接著我們用代數學的知識求解和檢驗，若是得出的概率非常小，我們就把它視為幾乎不可能發生的事件；最后我們再按照題意要求得出結論。

這個模型只是用于一般的需求模型，例如上題的減肥等相同的類型題。但是在模型假設的過程中，有些干擾的因素是否可以忽略我們要懂得分辨，盡管忽略一些假設可以使我們的題目更加簡單易解，可是有一些因素是解題的至關要點，我們必須把它列入考慮范圍內，因為如果不這樣做，很可能就造成了問題失真，以至于脫離了原題目的本質。

課堂作業點評10分鐘：按照問題求解的科學思路，筆者點評了每個小組的作業完成情況與質量，當堂打分記作平時成績，此外還留下模型的延伸與重建作為課后練習。

通過類似問題的學習與解決，學生們學會了如何應用書本知識解決實際問題，了解了所學知識的實用性，完美打通了理論知識與實際能力培養之間的障礙。為學生以后的工作和學習奠定了一定的實操基礎，也樹立了他們的自信心。筆者以該方法為手段實際培養了兩屆學生，總體來說效果突出，一方面學生學到了理論知識和實操能力，另一方面教師很好地掌握了學生的學習狀況，可以及時調整教學方法，積累教學經驗，培養適應社會需要的人才，增加教師的工作成就感。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.工程數學線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]陳小松.高等代數[M].北京：清華大學出版社，2014.

[3]張凱院，徐仲.數值代數[M].西安：西北工業大學出版社，2000.

[4]楊曙光.“問題解決”教學法的探索與實踐[J].大學數學，2008，（6）.

[5]M.HMELO，C.E.FERRARI，The Problem base learning tutorial：Cultivation higher or der thinking skills [J].Journal for the Education of the Gifted，1997，20 （4）：401-422.

[6]姜啟源，謝金星，等.數學模型[M].北京：高等教育出版社，2003.

[7]王庚，王敏生.現代數學建模方法[M].北京：科學出版社，2008.

[8]李大潛.將數學建模思想融入數學類主干課程[J].中國大學數學，2006，（1）：9-11.endprint