關(guān)于高斯定理和環(huán)路定理的一些探討

劉斌

【摘要】針對(duì)電磁學(xué)學(xué)習(xí)比較抽象的特點(diǎn)，以靜電場(chǎng)為例回顧了靜電場(chǎng)及其幾何描述，對(duì)流速場(chǎng)的高斯定理和環(huán)路定理的物理思想做了較細(xì)致的解釋，將其應(yīng)用到電場(chǎng)和磁場(chǎng)的研究，從而使學(xué)生可以在該部分的學(xué)習(xí)中能宏觀的把握這個(gè)貫穿始終的主線。

【關(guān)鍵詞】電場(chǎng)強(qiáng)度 電通量 高斯定理 環(huán)路定理

【中圖分類號(hào)】O441 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）43-0157-02

電磁學(xué)是大學(xué)物理中很重要的一部分內(nèi)容，法拉第認(rèn)為研究電力線比研究產(chǎn)生電力線的電荷更重要，揭示了大學(xué)物理中電磁學(xué)的研究對(duì)象：電場(chǎng)和磁場(chǎng)。但是電場(chǎng)和磁場(chǎng)是很抽象的物理概念，它們本身是看不見的客觀存在，而在開始電磁學(xué)的教學(xué)后就很迅速的引入高斯定理和環(huán)路定理，由于沒有清晰的物理直觀，很多學(xué)生一開始就比較困惑，以至于學(xué)完電磁學(xué)后，發(fā)現(xiàn)不管是靜電場(chǎng)還是恒磁場(chǎng)或是變化的電磁場(chǎng)，最后都是在研究高斯定理和環(huán)路定理，感覺到它們是真的重要，但是為什么重要的物理內(nèi)涵不太清晰。在此我們作一點(diǎn)梳理。

一、靜電場(chǎng)及電場(chǎng)線

電相互作用是人們繼引力作用之后發(fā)現(xiàn)的新的非接觸力，法拉第堅(jiān)持近距作用的思想，提出了“場(chǎng)”的思想，他認(rèn)為兩個(gè)點(diǎn)電荷間的作用是第一個(gè)點(diǎn)電荷首先產(chǎn)生了電場(chǎng)，電場(chǎng)傳到第二個(gè)點(diǎn)電荷處再對(duì)其進(jìn)行力的作用，所以電場(chǎng)是在一定空間連續(xù)分布的矢量場(chǎng)。電場(chǎng)不太直觀，法拉第又引入了“力線”這個(gè)幾何的描述手段，使得人們對(duì)場(chǎng)的理解有了很強(qiáng)的物理直觀。場(chǎng)強(qiáng)的大小對(duì)應(yīng)于電力線的疏密程度。電力線的疏密程度可用n來表達(dá)，定義n=dN/dS：穿過垂直于場(chǎng)強(qiáng)方向的面元dS的電場(chǎng)線條數(shù)dN與該面元的比值。E與n成正比[1]即E=kn，有的物理著作[2]甚至直接寫為E=n（場(chǎng)強(qiáng)等于電場(chǎng)線數(shù)密度），這種寫法雖然不太嚴(yán)謹(jǐn)（直接相等顯然不成立[3]），但好處是更加突出了物理直觀。

二、高斯定理、環(huán)路定理的來源

電場(chǎng)是在一定空間連續(xù)分布的矢量場(chǎng)，怎么研究矢量場(chǎng)呢？流體力學(xué)給了答案[4]。設(shè)想有一條河流，河水不可壓縮且均勻穩(wěn)定的流淌，河中的每一個(gè)質(zhì)元都有一個(gè)確定的流速，所有質(zhì)元流速構(gòu)成一個(gè)流速場(chǎng)，也是矢量場(chǎng)。對(duì)于這個(gè)流速場(chǎng)的幾何描述是流線，與電場(chǎng)強(qiáng)度類似，某點(diǎn)的流速的大小可以認(rèn)為是該點(diǎn)的流線線密度的大小。怎么認(rèn)識(shí)不同流速場(chǎng)呢？我們直觀的認(rèn)識(shí)到流體具有兩個(gè)基本特征：哪里能冒出水（泉眼），我們稱之為源。河水有沒有旋渦，我們稱之為是否有旋，旋渦對(duì)應(yīng)的流線就是個(gè)閉合曲線。源的數(shù)學(xué)描述方法為通量，用？準(zhǔn)表示，對(duì)于流體來說，通量指單位時(shí)間內(nèi)通過某一面S的體積即流量。假如是均勻的流速場(chǎng)，速度為v，面S為一平面且與v垂直如圖1，那么流過該面的通量為vs，如果S面的法向方向n與流速移有一夾角？茲，如圖2所示，通量？準(zhǔn)=■·■=vscos？茲， 當(dāng)通量為正時(shí)，稱之為流進(jìn)，為負(fù)時(shí)稱為流出。如果S面是曲面，V為不均勻的流速場(chǎng)，取曲面上任意一小曲面元dS，可視為平面，該處的v可視為均勻，該面元的通量為d？準(zhǔn)=■·d■，那么總的流量為對(duì)整個(gè)曲面做一個(gè)積分：？準(zhǔn)=■■·d■。

特別地，當(dāng)曲面為閉合面時(shí)，通量如果不等于零，說明在該面內(nèi)一定存在“源”，將曲面是越收縮，“源”的位置就越精確。所以閉合曲面的通量等于多少就是高斯定理。

旋的數(shù)學(xué)表達(dá)叫環(huán)量，為矢量對(duì)任意閉合曲線的線積分。設(shè)想流體中某處地方有一個(gè)旋渦，那么該處的流線應(yīng)該是閉合曲線，取一個(gè)與流線相同的一閉合曲線L，■■·■結(jié)果一定不等于零，值越大說明旋渦的程度越大。如果沒有旋渦，■■·■一定等于零。■■·■等于多少這就是環(huán)路定理。

圖1 速度與平面垂直 圖2 速度與平面成一定夾角

總之我們看到高斯定理和環(huán)路定理抓住了流速場(chǎng)的本質(zhì)，研究它們就可以弄清楚流體是否有源和是否有旋，可以區(qū)別不同的流速場(chǎng)并加以比較研究。對(duì)于一般的矢量場(chǎng)，通量、環(huán)路沒有確切的物理含義，但只要對(duì)應(yīng)到具體的場(chǎng)，通量和環(huán)量就有了自己的意義。

三、靜電場(chǎng)的高斯定理、環(huán)路定律

那么，靜電場(chǎng)作為矢量場(chǎng)，就要研究它的高斯定理和環(huán)路定理。對(duì)應(yīng)的物理含義是什么呢？電場(chǎng)是由正負(fù)電荷產(chǎn)生的，所以電荷就是靜電場(chǎng)的源，靜電場(chǎng)一定是有源場(chǎng)。空間某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E可以對(duì)應(yīng)為通過垂直于場(chǎng)強(qiáng)方向單位面積的電場(chǎng)線條數(shù)，那么通過某個(gè)曲面S的電通量的物理圖景就是通過S 的電場(chǎng)線的總條數(shù)，數(shù)學(xué)表達(dá)為？準(zhǔn)e=■■·d■。靜電場(chǎng)的高斯定理就是關(guān)于通過一個(gè)閉合曲面的電場(chǎng)線條數(shù)問題，它告訴我們總的條數(shù)等于閉合面內(nèi)部電荷的代數(shù)和除以真空中的介電常量，數(shù)學(xué)表達(dá)為■■·d■=■。另一方面電場(chǎng)線首尾不相連，即沒有像河流中打轉(zhuǎn)的旋渦那樣，是無旋場(chǎng)，任取一個(gè)閉合曲線L的環(huán)量定理始終等于零，數(shù)學(xué)表達(dá)為■■·■=0。

同樣的，磁場(chǎng)作為矢量場(chǎng)，也一定是研究它的高斯定理和環(huán)路定理，當(dāng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)依然是矢量場(chǎng)，也要研究它們的源與旋即高斯定理和環(huán)路定理。與靜電場(chǎng)類似，某點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小也可以理解為是該點(diǎn)通過垂直于磁場(chǎng)方向單位面積的磁感應(yīng)線條數(shù)。由于磁感應(yīng)是首尾相連的線， ■■·d■=0，■■·■≠0，具體等于多少則是課程學(xué)習(xí)的內(nèi)容。可以想到當(dāng)電磁場(chǎng)在變化的時(shí)候，作為矢量場(chǎng)仍然是研究高斯定理和環(huán)路定理。

電磁場(chǎng)的研究方法不同于力學(xué)和熱學(xué)，根本原因在于該研究對(duì)象不同于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系，它們是矢量場(chǎng)，決定了必須應(yīng)用新的物理思想和新的數(shù)學(xué)描繪描述手段。研究場(chǎng)的思想恰恰就是是否有源和是否有旋，描述手段正是高斯定理和環(huán)路定理。這樣弄清了這些緣由，再學(xué)電磁學(xué)時(shí)就可以做到宏觀的把握了。

參考文獻(xiàn)：

[1]陸果.基礎(chǔ)物理學(xué)教程（第二版） [M].北京：高等教育出版，2006.

[2]王紀(jì)龍，周希堅(jiān).大學(xué)物理（第四版） [M].北京科學(xué)出版社，2015.

[3]籍延坤.《高斯定理的數(shù)學(xué)證明》[J].大連鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)， 2004.9，25（3）.

[4]趙凱華，陳熙謀. 電磁學(xué)（第三版）[M] .北京：高等教育出版社，2011.endprint