集合、函數知識結構與拓展

■鄭州一中 周益華

集合、函數知識結構與拓展

■鄭州一中 周益華

編者的話:基本知識和基本技能是高中數學的核心,同學們一定要高度重視。本期特約鄭州一中周益華等幾位老師為同學們解讀相關知識。鄭州一中是河南省名牌高中,多年來高考成績一直在全省名列前茅。愿同學們通過閱讀,能從中感悟知識的結構與拓展,把握高考命題特點與趨勢。

一、知識結構框架

二、結構分析

集合與函數是整個高中數學知識的基礎,也是高考考查的重點,集合的相關知識是為函數的定義做鋪墊:函數是定義在兩個非空數集上的特殊對應,特殊的是第一個集合中的任意一個元素在第二個集合中都必須有且只有一個元素與之對應。結合函數的名字做一個通俗的解釋,就很好理解了,函就是信函、郵寄的意思,信怎么寄呢?一封信必須寫且只能寫一個收信人才能準確寄出,但一個人卻可以收多封信,自變量就是信,函數值就是收信人,函數就是數集間一種像寄信一樣的對應關系。明白了這一點,函數考什么就非常清晰了:兩個集合一個關系!涉及特殊式子及抽象函數的定義域問題;涉及解析式、復合函數、分段函數的表示及圖像變換問題;涉及單調性、奇偶性、周期性、導數的值域、最值問題。

三、實例分析

例1 已知y=f(x)表示過點(0,-2)的一條直線,y=g(x)表示過點(0,0)的另一條直線,又f[g(x)]=g[f(x)]=3x-2,A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|y=g(x)},求A∩B。

分析:將一次函數看作整體代入復合函數,利用待定系數法求解,注意集合間的運算法則。

解:設f(x)=k x-2,g(x)=m x,則k m x-2=3x-2,m k x-2m=3x-2,故m=1,k=3。

所以A∩B={(1,1)}。

小結:此題易錯的地方是結果的表示形式,集合間的運算,結果仍是集合。

例2 設f(x)對任意x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0時,f(x)＜0,f(1)=-2,求f(x)在[-3,3]上的最大值。

分析:判斷f(x)的單調性,求出f(-3),f(3)。

解:令x=y=0,得f(0)=0。

令y=-x,得f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數。

任取x1＜x2,x2=x1+m,則m＞0,所以f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+m)=f(x1)-f(x1)-f(m)=-f(m)＞0,所以f(x)為R上的減函數,故f(x)在[-3,3]上的最大值為f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6。

小結:解答此題時,函數奇偶性、單調性的判斷是難點,突破方法為賦值法。

例3 設f(x)是定義在[-1,1]上的偶函數,f(x)與g(x)的圖像關于直線x=1對稱,且當x∈[2,3]時,g(x)=a(x-2)-2(x-2)3(a為常數)。

(1)求f(x)的解析式。

(2)若f(x)在[0,1]上是增函數,求實數a的取值范圍。

(3)若a∈(-6,6),問:能否使f(x)的最大值是4?說明理由。

分析:f(x)與g(x)的圖像關于直線x=1對稱,則f(x)=g(2-x),f(x)在[0,1]上是增函數,高次函數為增函數時考慮導數,最值問題考慮區間端點值和極值。

解:(1)當x∈[-1,0]時,2-x∈[2,3],所以f(x)=g(2-x)=2x3-a x。

當x∈[0,1]時,-x∈[-1,0],所以f(x)=f(-x)=-2x3+a x。所以f(x)=

(2)依題意f'(x)≥0,即-6x2+a≥0在[0,1]上恒成立,即a≥6x2在[0,1]上恒成立,所以a≥6。

(3)當a∈ (- 6,6)時,因為f(0)=0,f(1)=a-2≠4,所以要使f(x)在[0,1]的最大值是4,必須f'(x)=0有解x0,且f(x0)=4,由f'(x)=0,即-6x2+a=0,得

所以若a∈(-6,6),則當x∈[0,1]時,f(x)的最大值不可能是4。

因為f(x)是[-1,1]的偶函數,所以f(x)在x∈[-1,1]上的最大值不可能是4。

小結:此題的切入點為函數的對稱性,定義域轉換是需要關注的解題技巧。

四、跟蹤練習

1.運貨卡車以xk m/h的速度勻速行駛1 3 0k m,按交通法規限制5 0≤x≤1 0 0(單位:k m/h)。假設汽油的價格是每升2元,而汽車每小時耗油(2 + x2

)L,司機的工資是3 6 0每小時1 4元。

(1)求這次行車總費用y關于x的表達式;

(2)計算當x為何值時,這次行車的總費用最低,并求出最低費用的值。(精確到小數點后兩位,1 0≈3.1 6)

答:當x約為5 6.8 8k m/h時,行車的總費用最低,最低費用約為8 2.1 6元。

小結:第二問求最值亦可用求導判斷單調性,應用題要做答。

(責任編輯 劉鐘華)