2018年高考函數與導數的熱門考點

■鄭州一中 王黎麗

2018年高考函數與導數的熱門考點

■鄭州一中 王黎麗

通過對近幾年全國新課標Ⅰ卷中函數部分試題的統計我們可以看出:在客觀題中基本上每年都有試題單獨考查函數的概念、圖像與性質,以及基本初等函數的性質,有時也有單獨考查函數與方程以及導數的應用的試題;解答題主要考查導數的概念及其幾何意義,還有導數在研究函數中的應用,主要涉及函數的零點、不等式等相關知識。

【2017年考試大綱】

1.指數函數。

(1)了解指數函數模型的實際背景。

(2)理解有理指數冪的含義,了解實數指數冪的意義,掌握冪的運算。

(3)理解指數函數的概念,理解指數函數的單調性,掌握指數函數圖像通過的特殊點。

(4)知道指數函數是一類重要的函數模型。

2.對數函數。

(1)理解對數的概念及其運算性質,利用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數;了解對數在簡化運算中的作用。

(2)理解對數函數的概念,理解對數函數的單調性,掌握對數函數圖像通過的特殊點。

(3)知道對數函數是一類重要的函數模型。

(4)了解指數函數與對數函數互為反函數。

3.冪函數。

(1)了解冪函數的概念。

一、基本初等函數的考查

(2)結合函數y=x,y=x2,y=x3,y=的圖像,了解它們的變化情況。

【高考命題回顧】

縱觀近幾年各地高考試題,對基本初等函數的考查,大部分是以基本初等函數的性質為依托,結合運算推理解決問題,高考中一般以選擇題或填空題的形式考查,屬基本初等函數的試題,一般考查指數式、對數式的基本運算性質。

例1 (2 0 1 7年全國卷Ⅰ理1 1)設x、y、z為正數,且2x=3y=5z,則( )。

A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z

【名師點睛】對于連等問題,常規的方法是令該連等為同一個常數,再用這個常數表示出對應的x,y,z,通過作差或作商進行比較大小。對數運算要記住常見的運算法則,尤其是換底公式以及0與1的對數表示。

例2 (2 0 1 6年全國卷Ⅰ理8)若a＞b＞1,0＜c＜1,則( )。

A.ac＜bcB.a bc＜b ac

C.al o gbc＜bl o gac D.l o gac＜l o gbc

【2 0 1 8年高考復習建議與高考命題預測】

由近幾年的高考命題形式知,新課標對冪函數的要求較低,只要求掌握冪函數的概念、圖像與簡單性質,僅限于幾個特殊的冪函數,關于冪函數常以5種冪函數為載體,考查冪函數的概念、圖像與性質,多以小題形式出現,屬容易題。指數函數在歷年的高考題中占據著重要的地位。對指數函數的考查,大多以基本函數的性質為依托,結合運算推理,能運用它們的性質解決具體問題。為此,我們要熟練掌握指數運算法則,明確算理,能對常見的指數型函數進行變形處理。高考題目形式多以指數函數為載體的復合函數來考查函數的性質。同時它們與其他知識點交匯命題,則難度會加大。對數函數在歷年的高考題中占據著重要的地位。基本初等函數是考查函數、方程、不等式很好的載體,預測2 0 1 8年高考繼續會對基本初等函數圖像和性質考查。尤其要注意以基本初等函數特別是指數、對數函數為模型的抽象函數的考查,這種題型只給出定義域內滿足某些運算性質的法則,往往集定義域、值域、單調性、奇偶性于一身,全面考查同學們對函數概念和性質的理解。高考對基本初等函數的考查有三種主要形式:一是比較大小;二是基本初等函數的圖像和性質;三是基本初等函數的綜合應用,其中經常以分段函數為載體考查函數、方程、不等式等知識的聯系。

二、對導數的考查

2 0 1 7年與2 0 1 6年考綱相比沒什么變化,而且這部分內容作為高考的必考內容,在2 0 1 8年的高考中預計仍會以“一小一大”的格局呈現。“一小”即以選擇題或填空題的形式考查導數的幾何意義和導數在研究函數問題中的直接應用,或以定積分的簡單應用為主,難度中等;“一大”即以壓軸題的形式呈現,仍會以導數的應用為主,主要考查導數、含參不等式、方程、零點個數、探索性等方面的綜合應用,難度較大。

例3 (2 0 1 5年全國卷Ⅰ理1 2)設函數f(x)=ex(2x-1)-a x+a,其中a＜1,若存在唯一的整數x0,使得f(x0)＜0,則a的取值范圍是( )。

試題分析:設g(x)=ex(2x-1),y=a x-a,由題意知存在唯一的整數x0,使得g(x0)在直線y=a x-a的下方。因為g'(x)=ex(2x+1),所以當x＜-時,＜0,當x＞-時,g'(x)＞0。所以當x=-時,g(x)max=-,當x=0時,g(0)=-1,g(1)=3 e＞0,直線y=a x-a恒過(1,0),斜率為a,故-a＞g(0)=-1,且g(-1)=-3 e-1≥-a-a,解得≤ a＜1,

故選D。

例4 (2 0 1 7年全國卷Ⅰ理2 1)已知函數f x()=ae2x+a-2( )ex-x。

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍。

試題分析:(1)由于f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,所以f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2 ex+1)。

①當a≤0時,aex-1＜0,2 ex+1＞0,從而f'(x)＜0恒成立,所以f(x)在R上單調遞減。

②當a＞0時,令f'(x)=0,從而aex-1=0,得x=-l na。當x變化時,f'(x)與f(x)的變化情況如表1:

表1

綜上所述,當a≤0時,f(x)在R上單調遞減;當a＞0時,f(x)在(-∞,-l na)上單調遞減,在(-l na,+∞)上單調遞增。

(2)由(1)知,當a≤0時,f(x)在R上單調遞減,故f(x)在R上至多一個零點,不滿足條件。

由上述可知,若a＞1,則f(x)min=1-+l na=g(a)＞0,故f(x)＞0恒成立,從而f(x)無零點不滿足條件。

綜上,a的取值范圍為(0,1)。

評注:對于已知零點個數,求參數的取值范圍問題的難點在于驗證零點存在性的賦值上,對于一般的賦值方法要把握兩點:①限定要尋找x0的范圍,如本題中分別在(-∞,-l na)及(-l na,+∞)上各尋找一個零點;②將函數不等式變形放縮,根據x0的范圍得出x0。在本題中,實際上是在區間(-∞,-l na)上找到x0,使得f(x0)＞0,則說明f(x)在區間(-∞,-l na)上存在零點,在區間(-l na,+∞)上找到x0',使得f(x0')＞0,則證明f(x)在區間(-l na,+∞)上存在另一個零點。

例5 (2 0 1 6年新課標Ⅰ卷)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點。

(Ⅰ)求a的取值范圍;

(Ⅱ)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2＜2。

試題分析:(Ⅰ)求導,根據導函數的符號來確定(主要是根據導函數零點來分類);(Ⅱ)借助(Ⅰ)的結論來證明。

試題解析:(Ⅰ)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)。

(1)設a=0,則f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個零點。

綜上,a的取值范圍為(0,+∞)。

(Ⅱ)不妨設x1＜x2,由(Ⅰ)知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)上單調遞減,所以x1+x2＜2等價于f(x1)＞f(2-x2),即f(2-x2)＜0。由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2。

設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,所以g'(x)=(x-1)(e2-x-ex)。

所以當x＞1時,g'(x)＜0,而g(1)=0,故當x＞1時,g(x)＜0。從而g(x2)=f(2-x2)＜0,故x1+x2＜2。

函數性質的綜合應用及以導數知識為背景的函數問題是高考命題熱點,函數性質的重點是奇偶性、單調性及圖像的應用,導數重點考查其在研究函數中的應用,注重分類討論及化歸思想的應用。

(責任編輯 劉鐘華)