quot;萬(wàn)變不離其宗quot;的數(shù)列求和問(wèn)題

■河南省鄭州市第四十七中學(xué) 王 偉

quot;萬(wàn)變不離其宗quot;的數(shù)列求和問(wèn)題

■河南省鄭州市第四十七中學(xué) 王 偉

數(shù)列既是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí),又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),既具有函數(shù)的特征,又能構(gòu)成獨(dú)特的遞推關(guān)系,因此新課程改革后數(shù)列仍是高考考查的熱點(diǎn),特別是對(duì)數(shù)列求和問(wèn)題一定要重視。常見(jiàn)的數(shù)列求和方法有:①公式法,比如對(duì)等差或等比數(shù)列的直接求和;②分組求和法,比如對(duì)等差與對(duì)比數(shù)列的混合型或多個(gè)特殊數(shù)列混合在一起的數(shù)列求和,可將原來(lái)的數(shù)列分拆成兩個(gè)或兩個(gè)以上的特殊數(shù)列,然后利用公式法求和;③倒序相加法,主要用于倒序相加后對(duì)應(yīng)項(xiàng)之和有公因子的數(shù)列求和,如果一個(gè)數(shù)列{an},與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和,把正著寫(xiě)和與倒著寫(xiě)和的兩個(gè)式子相加,就得到了一個(gè)常數(shù)列的和,這一求和方法稱為倒序相加法;④錯(cuò)位相減法,可用于 “等差、等比”型的數(shù)列求和;⑤裂項(xiàng)相消法,比如形a1+a2+…+an。如果一個(gè)向量列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)向量,那么稱這樣的向量列為等差向量列。若向量列{an}是等差向量列,則下面四個(gè)向量中,與S21一定平行的向量是( )。

A.a10B.a11C.a20D.a21

解析:本題新定義了“向量列”與“等差向量列”。其本質(zhì)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和基本公式的運(yùn)用,考查同學(xué)們的閱讀能力,運(yùn)用基本知識(shí)解決“新問(wèn)題”的能力。

在等差數(shù)列{an}中,其中{an}為公差不為0的等差數(shù)列,把一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,即數(shù)列的每一項(xiàng)均可按此法拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消,于是前n項(xiàng)之和變成首尾若干項(xiàng)之和,這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法。

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求同學(xué)們對(duì)“新穎的信息、情景和設(shè)問(wèn)選擇有效的方法和手段收集信息,綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法,進(jìn)行獨(dú)立思考、探索和探究,提出解決問(wèn)題的思路,創(chuàng)造性地解決問(wèn)題”。下面通過(guò)幾類數(shù)列求和問(wèn)題與同學(xué)們一起揭開(kāi)“數(shù)列求和創(chuàng)新問(wèn)題”的本來(lái)面目。

一、創(chuàng)新定義形式的數(shù)列求和問(wèn)題

將向量a1=(x1,y1),a2=(x2,y2),…,an=(xn,yn)組成的系列稱為向量列{an},并定義向量列{an}的前n項(xiàng)和Sn=21a11,類比等差數(shù)列的性質(zhì)知S21=21a11,故與S21一定平行的是a11。該題答案為B。若數(shù)列{An}滿足An+1=A2n,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”。已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖像上,其中n為正整數(shù)。

(1)證明數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列;

(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為T(mén)n,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)及Tn關(guān)于n的表達(dá)式。

解析:本題新定義“平方遞推數(shù)列”,要求根據(jù)新定義的特征解決與其有關(guān)的問(wèn)題,題目新穎,難度不大,抓住新定義數(shù)列的特征,結(jié)合數(shù)列有關(guān)知識(shí)就容易解決。

(1)因?yàn)閍n+1=2a2n+2an,2an+1+1=2(2a2n+2an)+1=(2an+1)2,所以數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”。

由以上結(jié)論知lg(2an+1+1)=lg(2an+1)2=2lg(2an+1),所以數(shù)列{lg(2an+1)}是首項(xiàng)為lg5,公比為2的等比數(shù)列。

(2)lg(2an+1)=[lg(2a1+1)]×2n-1=2n-1lg5=lg52n-1,2an+1=52n-1,an=

lgTn=lg(2a1+1)+…+lg(2an+1)=(2n-1)lg5,Tn=52n-1。

點(diǎn)評(píng):創(chuàng)新定義數(shù)列求和問(wèn)題,是把數(shù)列的相關(guān)基本知識(shí)加了一件“華麗的外衣”,解題的關(guān)鍵要抓住新定義數(shù)列的特征,將其還原,運(yùn)用數(shù)列的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算解決。

二、圖表、圖形等形式的求和問(wèn)題

雖說(shuō)在題目中設(shè)置圖形、圖表、三角陣等方式學(xué)生平時(shí)也有所接觸,但這類試題對(duì)同學(xué)們讀圖能力、利用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題以及解決問(wèn)題的能力要求較高,一直是個(gè)難點(diǎn)。同學(xué)們只有熟練掌握數(shù)列相關(guān)基本知識(shí)、充分發(fā)掘知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,并善于應(yīng)用分析、推理等數(shù)學(xué)手段,才能很好地解決這類問(wèn)題。

如圖1所示,將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案,每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n＞1,n∈N*)個(gè)點(diǎn),相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為( )。

圖1

解析:本題以三角陣的形式給出了以3為公差的等差數(shù)列,形式新穎。但n從2開(kāi)始取值很容易迷惑一部分同學(xué)從而導(dǎo)致出錯(cuò)。

由三角數(shù)陣可以歸納出圖案中的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成以3為首項(xiàng),以3為公差的等差數(shù)列。

an=a2+(n-2)×3=3n-3(n≥2)。將自然數(shù)1,2,3,4,…排成數(shù)陣(如圖2),在2處轉(zhuǎn)第一個(gè)彎,在3轉(zhuǎn)第二個(gè)彎,在5轉(zhuǎn)第三個(gè)彎,…,則第21個(gè)轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為 。

圖2

解析:本題以方形陣的形式給出了數(shù)列問(wèn)題,考查第21個(gè)拐彎處的數(shù),實(shí)質(zhì)上考查等差數(shù)列的求和問(wèn)題。難點(diǎn)在于同學(xué)們對(duì)圖表轉(zhuǎn)彎處數(shù)字特征規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。

觀察由1起每一個(gè)轉(zhuǎn)彎時(shí)遞增的數(shù)字可發(fā)現(xiàn)為“1,1,2,2,3,3,4,4,…”。故在第21個(gè)轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為:

1+2(1+2+3+……+10)+11=67。

點(diǎn)評(píng):以圖表、圖形等形式呈現(xiàn)的求和問(wèn)題,要求同學(xué)們?cè)诰唧w解題時(shí)需要有較強(qiáng)的觀察能力及快速探求規(guī)律的能力,它具有較強(qiáng)的選拔功能。由于這類問(wèn)題對(duì)同學(xué)們綜合能力要求較高,所以在知識(shí)的運(yùn)用上一般比較基礎(chǔ)。

三、以傳統(tǒng)文化為背景的數(shù)列求和問(wèn)題

如圖3是一個(gè)類似“楊輝三角”的圖形,第n行共有n個(gè)數(shù),且該行的第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)都是n,中間任意一個(gè)數(shù)都等于第n-1行與之相鄰的兩個(gè)數(shù)的和,an,1,an,2,…,an,n(n=1,2,3,…)分別表示第n行的第一個(gè)數(shù),第二個(gè)數(shù),…,第n個(gè)數(shù)。

求an,2(n≥2且n∈N)。

圖3

解析:“楊輝三角”,是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》中出現(xiàn),是我國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的成就。“楊輝三角”型數(shù)列創(chuàng)新題是近年高考創(chuàng)新題的熱點(diǎn)。求解這類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察各行項(xiàng)與行列式的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通常需轉(zhuǎn)化成一階(或二階)等差數(shù)列結(jié)合求和方法來(lái)求解。有興趣的同學(xué)不妨求出ai,j(i,j∈N*,i≥j)的通項(xiàng)式。

(1)由圖易知a2,2=2,a3,2=4,a4,2=7,a5,2=11,……。

從而知{an,2}是二階等差數(shù)列,即:

a3,2-a2,2=2,①

a4,2-a3,2=3,②

a5,2-a4,2=4,③

…

點(diǎn)評(píng):中國(guó)數(shù)學(xué)史能把數(shù)學(xué)教育的求真和人文教育的求美有機(jī)結(jié)合,這類試題可以提高同學(xué)們的整體素養(yǎng),激勵(lì)同學(xué)們的愛(ài)國(guó)精神。

四、與其他板塊知識(shí)結(jié)合的數(shù)列求和問(wèn)題

正項(xiàng)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和Sn滿足:S2n-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;

解析:(1)由S2n-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0。由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列,所以Sn＞0,Sn=n2+n。于是a1=S1=2,n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n。

綜上,數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=2n。

點(diǎn)評(píng):將函數(shù)、不等式等與數(shù)列綜合考查,這類問(wèn)題綜合度高,靈活性強(qiáng),解決這類問(wèn)題不僅需要同學(xué)們掌握相關(guān)主干知識(shí),而且對(duì)同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和素養(yǎng)有更高的要求。但將每個(gè)板塊的相關(guān)主干知識(shí)熟練掌握、正確運(yùn)用是關(guān)鍵。

(責(zé)任編輯 徐利杰)