聚焦集合知識中的易錯點

■江蘇省南京市溧水區第二高級中學 金志勝

聚焦集合知識中的易錯點

■江蘇省南京市溧水區第二高級中學 金志勝

編者的話:同學們在學習的過程中,難免會出現錯解的現象。本期“易錯題歸類剖析”欄目推出的文章,注重剖析錯解原因,注重補充知識缺陷,注重題目引申變換,希望同學們認真領會,學以致用,不再發生類似的錯解。

集合作為一種數學語言和工具在數學問題中被廣泛地應用。在實施集合語言等價轉換過程中,有些同學由于不能深刻理解集合的意義、性質、表示法或考慮問題不全,而常造成錯解。下面就常見的易錯點進行歸納剖析,并給出提醒,希望對同學們的學習能有所幫助。

聚焦1——忽視集合中的代表元素的特征

例1 已知A={y|y=2x+1,x∈R},B={(x,y)|y=x2+1,x∈R},則有( )。

A.A∩B={(0,1),(2,5)}

B.A?B

C.B?A

D.A∩B=?

錯解:選A或C。

剖析:沒有注意到集合中代表元素的特征,將數集與點集混淆,應把握集合的代表元素。集合A是數集,集合B是點集,根本沒有相同的元素,因此,A∩B=?,選D。

提醒:集合是由元素構成的,認識集合要從認識元素開始,集合里的元素可以是數、物、有序實數對、幾何圖形等;關鍵要弄清集合的代表元素和代表元素的屬性。

跟蹤練習1 已知函數y=f(x),x∈[a,b],那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈[a,b]}∩{(x,y)|x=2}中元素的個數為( )。

A.1 B.0 C.0或1 D.1或2

易錯點:沒有弄清兩個集合的代表元素,蒙出答案D。

正解:{x|y=f(x)}、{y|y=f(x)}、{(x,y)|y=f(x)}分別表示函數y=f(x)的定義域、值域、函數圖像上的點的坐標組成的集合。本題中集合的含義是兩個圖像交點的個數,從函數值的唯一性可知,兩個集合的交集中至多有一個交點,故選C。

聚焦2——忽視空集?的存在性

例2 已知集合A={x|x2-5x+4≤0},B={x|x2-2a x+a+2≤0},并且B?A,求實數a的取值范圍。

錯解:由條件x2-5x+4≤0,可得A={x|1≤x≤4}。

設f(x)=x2-2a x+a+2≤0,則f(x)=0的兩根在區間[1,4]內。由B?A得方

剖析:上述解法只注意到了B為非空集合,忽視了B=?的情況。當B=?時,仍滿足B?A。①當B≠?時,由錯解可得2≤a≤。

②當B=?時,可得一元二次方程x2-2a x+a+2=0的Δ=4a2-4(a+2)2＜0,由此解得-1＜a＜2。

提醒:對于空集?,在解題時必須注意它的三個特性:①對任意集合A,皆有A∩?=?;② 對任意集合A,皆有A∪?=A;③ 空集是任何集合的子集,即??A,空集是任何非空集合的真子集 ,即?A。解題時,若忽視空集?的存在性,就會造成解題結果的殘缺不全。

易錯點:A∩B=A或A∪B=A中,易忽略A=?的情形或集合的隱含條件,從而導致漏解。

正解:由A∩B=A,當A≠?時,有A?

當A=?時,有m+1≥2m-1,解得m≤2。

綜上,有m≤3。

聚焦3——忽視集合轉化的等價性

例3 已知集合A={x|a x2+2x+1=0}為一元集,求a的值。

錯解:集合A為一元集,即方程a x2+2x+1=0有兩等根,由Δ=4-4a=0,得a=1。

剖析:上述解法誤認為所給方程為一元二次方程,忽視了對二次項系數的討論。

當a≠0時,由Δ=4-4a=0,得a=1;當a=0時,可得也符合題意。所以a=1或a=0。

提醒:在進行集合轉化時,要注意轉化的等價性,否則就會產生增解或漏解。

跟蹤練習3 (2 0 1 7年浙江溫州高三模擬)已知集合M={(x,y)|x2+y2≤1},若實數λ,μ滿足:對任意的(x,y)∈M,都有(λ x,μ y)∈M,則稱(λ,μ)是集合M 的“和諧實數對”,則以下集合中,存在“和諧實數對”的是( )。

A.{(λ,μ)|λ+μ=4}

B.{(λ,μ)|λ2+μ2=4}

C.{(λ,μ)|λ2-4μ=4}

D.{(λ,μ)|λ2-μ2=4}

易錯點:缺少“和諧實數對”的等價轉化,實際上它可以轉化為平面區域與直線、圓和雙曲線的交點。

正解:分析題意可知,所有滿足題意的有序實數對(λ,μ)所構成的集合為{(λ,μ)|-1≤λ≤1,-1≤μ≤1},將其看作點的集合,為中心在原點,(-1,1),(-1,-1),(1,-1),(1,1)為頂點的正方形及其內部,A、B、D選項分別表示直線、圓、雙曲線與該正方形及其內部無公共點,選項C為拋物線,有公共點(0,-1),故選C。

聚焦4——求解否定型或正面較復雜的集合問題缺少“補集”思想的應用

錯解:有些同學遇到本題往往不知所措,不知道從其反面逆向思維,導致無法解決。

剖析:從反面入手,利用元素和集合之間的關系進行切入,3?P,則3∈?RP,?RP=3a+2≤a,所以a≤-1,即a的取值范圍是(-∞,-1]。

提醒:已知全集U,若直接求其子集A有困難,則可先考慮其補集?UA,再利用?U(?UA)=A而間接求出A。這種在正向思維受阻后改用逆向思維的思想,就是數學上的補集思想方法。從哲學意義上講,它是通過兩次否定實現一次肯定,體現了否定之否定規律。

跟蹤練習4 已知集合P={x|4≤x＜5,x∈R},Q={x|k+1≤x＜2k-1,x∈R},當P∩Q≠Q時,求實數k的取值范圍。

易錯點:缺少“補集”思想的應用,直接求解無從下手。

正解:從反面入手,當P∩Q=Q,則Q?P。

當Q=?時,滿足Q?P,此時k+1≥2k-1,解得k≤2;

由上可知,當P∩Q=Q時,k≤2。

由補集思想可知,當P∩Q≠Q時,k＞2,即所求實數k的取值范圍是(2,+∞)。

聚焦5——忽視數軸和韋恩圖可以形象地求解集合問題

例5 對某村家庭擁有洗衣機、電冰箱、電視機的情況進行調查統計,統計表如表1,那么該村中,擁有三種電器的家庭與全村家庭總數的比例應為多少?

表1

錯解:本題所給的為三個集合之間的關系,比較錯綜復雜,難以下手。

剖析:利用韋恩圖(圖1)形象地表示出各數量間的關系,將文字語言翻譯成集合語言,用“容斥原理”求解。設全村家庭總數為1 0 0,A={洗衣機}=7 2,B={電冰箱}=6 4,C={電視機}=8 0,A∩B={洗衣機和電冰箱}=5 2,A∩C={洗衣機和電視機}=5 6,B∩C={電冰箱和電視機}=5 2______。

圖1

由表1可知,n(A∪B∪C)=2,由“容斥原理”和表1,有n(A∪B∪C)=9 8,且9 8=7 2+6 4+8 0-5 2-5 6—5 2+n(A∩B∩C),解得n(A∩B∩C)=4 2,故擁有三種電器的家庭與全村家庭總數的比例應為4 2%。

提醒:韋恩圖可以形象地反映三個集合之間的關系,即 “容斥原理”,三個集合并集個數n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)。用此結論計數可避免重復和遺漏。數軸和韋恩圖可以形象地反映變量范圍和變量之間的關系,為數形結合法研究集合問題提供了方法和依據,同學們要自覺養成這種習慣。

跟蹤練習5 某高級中學高三特長班有1 0 0名學生,其中學繪畫的學生6 7人,學音樂的學生4 5人,而學體育的學生既不能學繪畫,又不能學音樂,人數是2 1人,那么同時學繪畫和音樂的學生有多少人?

易錯點:所給的數量關系比較錯綜復雜,一時理不清頭緒,不好找線索。

正解:利用韋恩圖(圖2)形象地表示出各數量間的關系,設學繪畫的學生有x人,學音樂的人有y人,既學繪畫又學音樂的人有

圖2

所以,同時學繪畫和音樂的有3 3人。

聚焦6——新定義集合計數中混淆分類和分步

A.4 B.8 C.9 D.1 6

錯解:由A∩B=1,3{},從元素2,4中不取,取1個,取2個,則共有1+2+1=4(個),選A。

剖析:錯解按求子集個數分類完成致錯,由理解“理想配集”的意義,應從元素2和4所在集合的情形連續分步完成,元素1,3既屬于A,又屬于B,考慮元素2,有3種可能:(1)2∈A,2?B;(2)2?A,2∈B;(3)2?A,2?B。再考慮元素4,同樣有3種可能,2和4需連續完成才能構成“理想配集”,所以符合條件的“理想配集”的個數為3×3=9,故選C。

提醒:求解集合元素個數題的關鍵是過好雙關:第一關,分類討論關,即對集合中的元素所具有的特點,分類進行討論;第二關,統計關,即利用排列組合的公式,計算此集合中的元素的總的個數。在新定義的集合組成中要注意分類和分步的區別,一種方法能完成這件事用分類計數,一種方法能完成這件事的某一步用分步計數,分類時應把握分類的標準,分步時應清楚分步過程,本題還可對元素逐一列舉完成求解,同學們不妨一試。

跟蹤練習6 (2 0 1 7年福建泉州段考)若集合A1,A2滿足A1∪A2=A,則稱(A1,A2)為集合A的一種分拆,并規定:當且僅當A1=A2時,(A1,A2)與(A2,A1)是集合A的同一種分拆。若集合A有三個元素,則集合A的不同分拆種數是____。

易錯點:對新定義集合計數缺少特殊化和列舉法嘗試的意識。

正解:設A=1,2,3{ }。

①若A1=?時,此時只有1種分拆。

②若A1是單元素集時,A共有6種分拆:{1}與{2,3},{1}與{1,2,3},{2}與{1,3},{2}與{1,2,3},{3}與{1,2},{3}與{1,2,3}。

③若A1是雙元素集時,A共有1 2種分拆:{1,2}與{3},{1,3},{2,3},{1,2,3};{1,3}與{2},{1,2},{2,3},{1,2,3};{2,3}與{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}。

④若A1=A={1,2,3}時,A共有8種分拆:{1,2,3}與?,{1},{2},{3},{1,2}{1,3},{2,3},{1,2,3}。

綜上,共有1+6+1 2+8=2 7(種)。

聚焦7——對新定義集合的屬性探究不徹底

例7 設S為滿足下列條件的實數構成的非空集合:①1?S;②若a∈S,則問:集合S中至少有多少個元素?試證明你的結論。

錯解:假設0為集合S中的元素,并把它當作條件做進一步分析。若0∈S,則1∈S,從而可得這是不可能的,所以集合S中至少有一個元素0。

提醒:本題是結論開放性問題,題目的特點是結論不確定,集合A的特點是它的元素隨著實數a(a≠0,a≠1)的變化而變化。解題時,要注意在假設存在的條件下進行推理,若由此導出矛盾,則否定假設,否則,給出肯定的結論。同時,要對集合A中的元素的確定性和互異性加以歸納證明。

跟蹤練習7 (2 0 1 7年廣東揭陽模擬)非空數集A如果滿足:①0?A;② 若?x∈A,有

∈A,則稱A是“互倒集”。給出以下數集:

其中“互倒集”的個數是( )。

A.4 B.3 C.2 D.1

易錯點:對新定義集合的屬性應用不徹底。

正解:對集合①,當-2＜a＜2時為空集,所以集合①不是“互倒集”;

(責任編輯 王福華)