火星探測器捕獲段自主導航模型選擇與精度分析

祝佳芳+王新龍+李群生+車歡

摘要： 對于火星探測器在捕獲段的自主導航系統而言， 隨著探測器不斷接近火星， 系統模型會從多體運動模型（模型1）變換到受攝二體運動模型（模型2）， 并且捕獲段探測器可觀測的天體也是多樣的， 包括火星、 火衛1、 火衛2和太陽。 為了分析捕獲段不同模型的精度， 首先推導建立兩個狀態模型與多個量測模型； 在此基礎上利用PWCS法、 FIM法和條件數三種方法， 分析在模型1和模型2條件下， 不同觀測量的選取對系統可觀測度的影響。 通過仿真驗證給出了最佳的系統模型和量測模型的組合策略， 為火星探測器捕獲段自主導航系統的設計提供了重要參考。

關鍵詞： 火星探測器； 捕獲段； 自主導航； 可觀測性分析

中圖分類號： TJ765.1； V448.22+4文獻標識碼： A文章編號： 1673-5048（2017）05-0018-070引言

火星探測是國內深空探測計劃的重要組成， 也是繼探月工程之后的又一重要研究領域[1]。 捕獲段是火星探測器進入火星引力范圍到最終被火星捕獲的階段， 捕獲段的導航精度直接決定了后續探測任務的成敗。 由于捕獲段與地面距離較遠， 無線電通信雙向延遲長達24.4 min， 而探測器被火星捕獲的機會卻僅有50 min， 這就對探測器導航系統的自主性、 實時性以及精度提出了極高的要求[2-4]。

天文導航具有全自主、 高精度、 誤差不隨時間干擾等優點， 是實現深空探測自主導航的有效手段之一[5-6]。 天文觀測方法是影響天文導航精度的一項重要因素。 火星探測器在捕獲段的自主天文導航方法最常采用基于太陽和行星的自主導航。 當探測器處于捕獲段， 可觀測的天體主要包括太陽、 火星、 火衛1、 火衛2以及大量的恒星。 利用這些測量信息能否解算出探測器的軌道主要依賴于系統的可觀測性[7-9]， 因此， 有必要對自主導航系統的可觀測性進行分析。

由于火星探測捕獲段自主導航系統的狀態方程和量測方程都是非線性的， 可觀測性分析存在一定的困難。 目前， 主要有三種方法： 第一種是通過在狀態變量與觀測數據間建立固定的幾何關系， 利用推導的位置誤差大小作為可觀測性判據。 該方法物理意義明顯， 但是適用范圍狹窄。 第二種是從非線性系統出發， 引入局部弱可觀測理論進行可觀測性分析。 由于火星探測器觀測量多為星光角距， Lee導數求解非常復雜， 此方法并不適用。

收稿日期： 2016-12-23

基金項目： 航空科學基金項目（20130151004； 2015ZC51038）； 天地一體化信息技術國家重點實驗室開放基金項目（2015-SGIIT-KFJJ-DH-01）

作者簡介： 祝佳芳（1990-）， 女， 四川樂山人， 碩士研究生， 研究方向為慣性導航、 組合導航。

引用格式： 祝佳芳， 王新龍， 李群生， 等. 火星探測器捕獲段自立導航模型選擇與精度分析[ J]. 航空兵器， 2017（ 5）： 18-24.

Zhu Jiafang， Wang Xinlong， Li Qunsheng， et al. Autonomous Navigation Model Design and Analysis for Mars Probe in Capture Stage[ J]. Aero Weaponry， 2017（ 5）： 18-24. （ in Chinese）.

第三種是將非線性系統線性化之后， 利用線性系統可觀測性理論對其進行分析。 該方法精度較高并且簡單， 適用于火星探測器的自主導航系統[10-12]。

基于此， 結合火星探測器捕獲段特點， 選用線性化可觀測性分析方法， 針對不同模型以及不同量測情況下， 對自主導航系統的可觀測性進行詳細分析， 為導航系統的狀態模型以及量測模型的選取提供工程性參考。

1火星探測器捕獲段自主導航模型建立

1.1捕獲段自主導航方案設計

以美國國家宇航局2013年規劃的一條火星探測器全軌道為例， 對火星探測器捕獲段導航過程進行說明， 如圖1所示。 由于火星探測器在捕獲階段不斷接近火星， 在這一過程中受到的天體引力不斷變化。 通常將距離火星半徑為5.773×106 m的球面定義為火星影響球。 當探測器處于火星影響球以外， 即rpm>5.773×106 m時， 這一階段稱為捕獲段初期； 而當探測器進入火星影響球以內， 即rpm≤5.773×106 m時， 稱為捕獲段末段。 捕獲段初期太陽引力不可忽略， 因而自主導航系統的狀態模型考慮為以太陽為主引力體的圓形限制性四體模型； 而在捕獲段末段， 火星引力遠大于其他天體， 通常使用以火星為主引力體的受攝二體運動模型[13-15]。

圖1火星探測器捕獲段導航過程示意圖

Fig.1Navigation process diagram of Mars probe in

capture stage

火星探測器在捕獲段依靠觀測多個天體信息來實現自主導航， 通常可以選擇的觀測信息是火星、 火衛1和火衛2分別與3顆恒星的星光角距θm， θp和θd（如圖1所示）， 但天體的光學觀測受到火星遮擋、 火星陰影區以及太陽逆光三方面因素的限制。 分析美國國家宇航局2013年規劃的火星探測器全軌道數據可知， 在火星探測器處于捕獲段末段即將被火星捕獲的時候， 由于火星的遮擋， 火衛2光學不可見。 為了保證導航精度， 確保火星探測器精確入軌， 可以將太陽納入觀測范圍， 即觀測量可在火星、 火衛1和太陽分別與3顆恒星的星光角距θm， θp和θs中進行選擇。

1.2捕獲段初期自主導航系統模型建立

航空兵器2017年第5期祝佳芳， 等： 火星探測器捕獲段自主導航模型選擇與精度分析（1） 狀態模型——以太陽為主引力體的圓形限制性四體模型（模型1）endprint

圓形限制性四體模型將太陽中心引力、 火星中心引力和地球中心引力對火星探測器的作用都考慮在內， 選取歷元（J2000.0）日心慣性坐標系為參考坐標系， 狀態變量設為探測器的位置和速度[x， y， z， vx， vy， vz]T， 則系統狀態模型寫作：

x·=vx

y·=vy

z· =vz

v· x=-μsxr3ps-μmx-xmr3pm+xmr3sm-μex-xer3pe+xer3se+wx

v· y=-μsyr3ps-μmy-ymr3pm+ymr3sm-μey-yer3pe+yer3se+wy

v· z=-μszr3ps-μmz-zmr3pm+zmr3sm-μez-zer3pe+zer3se+wz（1）

式中： μs， μm和μe分別為日心、 火心和地心引力常數； rpe， rps和rpm分別為探測器到地球、 太陽和火星的距離； rsm和rse分別為太陽到火星和地球的距離； xm， ym， zm和xe， ye， ze分別為火星和地球在日心慣性坐標系中的位置， 根據時間可由行星星歷表獲得； wx， wy， wz為系統噪聲。

式（1）組成的系統方程可簡化為

X·=f1（X， t）+W（2）

式中： W=[wx， wy， wz]T為噪聲矩陣。

（2） 量測模型

根據圖1所示的導航流程， 探測器飛行在捕獲段初期可以利用的觀測信息主要是火星、 火衛1和火衛2的星光角距θm， θp和θd， 可以表示為

θm=arccos（-lcpm·sc1）

θp=arccos（-lcpp·sc2）

θd=arccos（-lcpd·sc3）（3）

式中： sc1， sc2， sc3分別為探測器能夠捕獲到的任意3顆恒星星光方向的單位矢量； lcpm， lcpp， 和lcps分別為火星、 火衛1和太陽到火星探測器方向的方向矢量。

1.3捕獲段末段自主導航系統模型建立

（1） 狀態模型——以火星為主引力體的受攝二體運動模型（模型2）

探測器進入火星影響球之后， 選取歷元（J2000.0）火星質心慣性坐標系作為參考坐標系， 選取參考坐標系下探測器的位置和速度[x′， y′， z′， v′x， v′y， v′z]T為狀態量， 此時探測器的狀態模型（二體受攝軌道動力學模型）表示為

x·′=v′x

y·′=v′y

z·′=v′z

v· ′x=-μmx′r′3pm-μsx′-x′sr′3ps+x′sr′3ms-μex′-x′er′3pe+x′er′3me+wx2

v· ′y=-μmy′r′3pm-μsy′-y′sr′3ps+y′sr′3ms-μey′-y′er′3pe+y′er′3me+wy2

v· ′z=-μmz′r′3pm-μsz′-z′sr′3ps+z′sr′3ms-μez′-z′er′3pe+z′er′3me+wz2（4）

式中： r′pm， r′ps和r′pe分別為探測器到火星、 太陽和地球的距離； r′ms和r′me分別為火星到太陽和地球的距離； （x′s， y′s， z′s）和（x′e， y′e， z′e）分別為太陽和地球在火星質心慣性坐標系中的位置分量； wx2， wy2， wz2為系統噪聲； 其他變量定義與模型1一致。

式（4）所示的系統方程都可簡化為

X· =f2（X， t）+W2（5）

式中： W2=[wx2， wy2， wz2]T為噪聲矩陣。

（2） 量測模型

由于此時火衛2被遮擋， 可以利用的觀測信息變為火星、 火衛1和太陽的星光角距θm， θp和θs， 可以表示為

θm=arccos（-lcpm·sc1）

θp=arccos（-lcpp·sc2）

θs=arccos（lcps·sc4）（6）

式中： sc1， sc2和sc4分別為任意3顆恒星星光方向的單位矢量； lcpm， lcpp和lcps分別為火星、 火衛1和太陽到火星探測器方向的方向矢量。

2非線性系統的可觀測性分析方法[16-18]

2.1基于PWCS的可觀測性分析方法

火星探測器自主導航系統是一個連續的非線性時變系統， 表示為

X·=f（X）+W

Z=h（X）+ε（7）

線性化之后寫作：

X·（t）=FjX（t）

Z=HjX（t）（8）

式中： Fj=I+ΔT·fXXX=X（k）； Hj=hXXX=X（k）。

如果在所選的每個時間區域tj（j=1， 2， 3， …， n）內， 式（8）中的Fj和Hj可認為是不變的， 那么這樣的系統稱為分段線性定常系統， 即PWCS（PieceWise Constant System）。 代表PWCS的可觀測性特征的總可觀測矩陣TOM（Total Observability Matrix）記作Q（r）， 表示為

Qr=Q1

Q2Fn-11

QrFn-1r-1Fn-1r-2…Fn-11（9）

其中Qj（j=1， 2， 3， …， r）為

QTj=（Hj）T（HjFj）T…（HjFn-1j）T （10）

Qj被稱為提取可觀測矩陣SOM（Stripped Observability Matrix）， 根據相關引理可知， 當PWCS的不可觀測空間是TOM的零空間時， rank（Qj）=rank（Q）， 即可以用SOM直接代替TOM矩陣， 進行可觀測性分析。endprint

2.2基于FIM的非線性系統可觀測性分析方法

Fisher信息是衡量隨機觀測變量所攜帶的關于待估狀態信息量大小的重要指標。 在多維狀態估計理論中， Fisher信息表現為矩陣形式， 簡稱為FIM （Fisher Information Matrix）[4]。 對于連續非線性時變系統式（8）， 可認為是隨機系統。 記觀測噪聲ε的概率密度為pε， 觀測向量Z的概率密度為pz。 對于一組確定的N維觀測序列z=[z1， z2， …， zN]T， 似然函數的對數形式表示為

lnLx（z）=ln[pz（z|x）]=-N2ln（2πσ2i）-

12∑Ni=1（zi-hi（x））2σ2i（11）

根據定義， 系統的FIM矩陣表示為

Fx=-E2lnLx（z）xxT=∑Ni=11σ2ihi（x）xhi（x）Tx（12）

如果對x0∈Rn有Fx可逆， 那么式（8）對應的確定性觀測系統在x0處局部可觀測。 因此， Fx的大小與狀態量的估計精度有著密切的聯系， 這里引入Cramer-Rao不等式來描述：

P=E[（x^-x）（x^-x）T]≥F-1x（13）

式中： P為狀態估計誤差方差陣， 直接反映狀態變量的估計精度； Fx為狀態估計誤差方差陣的下限， 描述了狀態估計所能夠達到的最高精度。 因此， 可以將tr（F-1x）作為系統可觀測性的度量標準， 即

η=ntrF-1x （14）

式中： n為觀測量的維數。 當tr（F-1x）越小， 表示狀態估計的精度越高， 那么其對應的狀態量的可觀測性就越好。

2.3基于矩陣譜條件數的非線性系統可觀測性分析方法

受到PWCS法的啟示， 將線性系統的可觀測性分析方法結合矩陣擾動分析理論， 提出譜條件數的可觀測度分析方法。

定義火星探測器捕獲段自主導航系統的可觀測性矩陣為

Ok=H（k）

H（k+1）F（k）

H（k+2）F（k+1）F（k）

H（k+n-1）F（k+n-2）…F（k）（15）

定義M=OTkOk， λi是矩陣M的特征值， 條件數可以表示為

κM=maxλ∈λ（M）λ/minλ∈λ（M）λ （16）

由式（16）可知， 條件數κ（M）越大， 矩陣越接近奇異， 說明系統的可觀測性越差； κ（M）越小， 矩陣奇異程度越低， 說明系統的可觀測性越好。

3仿真驗證

根據火星探測器在捕獲段的飛行環境， 比較適宜觀測的近天體主要包括： 火星、 太陽、 火衛1和火衛2。 對于模型1， 可以選用的觀測量包括： 火星+火衛1+火衛2（MPD）、 火星+火衛1（MP）、 火星+火衛2（MD）和火衛1+火衛2（PD）； 而模型2對應的可選觀測量為： 火星+火衛1+太陽（MPS）、 火星+火衛1（為了區別模型1的MP， 這里用MP2表示）、 火星+太陽（MS）以及火衛1+太陽（PS）。

3.1可觀測度分析結果

首先利用PWCS法、 FIM法以及譜條件數法， 對上述8組不同觀測量對應的自主導航系統的可觀測性進行分析， 結果如表1～2所示。

表1和表2數據表明， 利用PWCS法、 FIM法和譜條件數法都可以對火星探測器自主導航系統進行可觀測性分析， 并且三種方法的分析結果是一致的。 火星探測器自主導航系統可觀測度同時受到系統模型和觀測模型的影響。 在系統模型確定的條件下， 以模型1為例， 選擇不同的觀測量MPD， MP， MD和PD， 對應系統的可觀測度是不同的； 而當觀測量相同時， 以MP為例， 模型1和模型2系統的可觀測度也存在差異。

表1捕獲段初期系統可觀測性分析結果

Table 1Results of observability analysis in the initial stage of capture section模型1

觀測量PWCS法rank（Q）最大奇異值FIM法的可

觀測度η譜條件數法

的條件數MPD60.024 4178.307 67×10-161.259 89×1014MP50.019 8173.250 9×10-151.052 8×1017MD50.019 9791.598 3×10-151.654 3×1017PD50.020 0126.414 8×10-152.061 1×1017

表2捕獲段末段系統可觀測性分析結果

Table 2Results of observability analysis in the end of capture section模型2

觀測量PWCS法rank（Q）最大奇異值FIM法的可

觀測度η譜條件數法

的條件數MPS50.014 0364.362 2×10-219.841 8×1015MP250.014 0364.872 6×10-127.547 3×1016MS40.001 0241.365 2×10-153.433 6×1017PS40.014 0367.357 1×10-181.729 4×1017

3.2觀測信息有效性分析

為了進一步分析8組觀測量對導航系統性能的影響， 給出模型1和模型2條件下， 不同組觀測模型對應的位置誤差曲線， 見圖2～5。

圖2捕獲段初期采用模型1在0～3 000 s不同觀測量的位置誤差

Fig.2Position errors of different measurements at 0～3 000 s in the initial stage of capture section using model 1endprint

圖3捕獲段初期采用模型1在18 400-18 800 s不同觀測量的位置誤差

Fig.3Position errors of different measurements at 18 400～

18 800 s in the initial stage of capture section using

model 1

圖4捕獲段末段采用模型2在0～1 000 s不同觀測量的位置誤差

Fig.4Position errors of different measurements at 0～1 000 s in the end of capture section using model 2

分析圖2～5曲線， 得出以下結論：

（1） 隨著可觀測的近天體數目的增加， 系統可觀測度可以得到提升， 導航性能也將得到改善。 當選擇模型1為狀態模型時， 以MPD為觀測量的自主導航系統位置誤差收斂速度快并且精度高， 系統導航性能明顯優于以MP， MD和PD為觀測量的導航系統。

（2） 模型2中MS和PS兩組觀測量不能滿足自主導航要求。 圖4～5曲線表明， 當選擇模型2時， 以MPS為觀測量的導航系統性能最優； 而MS和PS位置誤差是發散的， 最終的導航誤差很大， 認為這兩組觀測量不可用。

圖5捕獲段末段采用模型2在18 000～19 000 s不同觀測量的位置誤差

Fig.5Position errors of different measurements at 18 000～

19 000 s in the end of capture section using model 2

為了更加詳細分析上述6組可行的觀測模型MPD， MP， MD， PD， MPS以及MP2的差異， 將6組觀測收斂之后的導航誤差數據進行統計分析， 結果如表3所示。

表36組觀測量收斂之后的速度誤差與位置誤差

Table 3Velocity errors and position errors after

convergence of six groups of measurements觀測模型位置誤差均值/km均方差

/（km）2速度誤差均值

/（km/s）均方差

/（km/s）2模型1MPD5.031 46.798 70.009 30.005 4MP20.948 946.008 20.011 70.008 4MD17.021 117.869 00.012 80.006 1PD26.241 731.615 90.012 00.006 3模型2MPS14.551 816.253 40.004 50.002 3MP219.251 726.444 00.004 70.002 7

表3的數據表明， 模型1中MPD位置均方差和速度均方差僅有6.798 7 （km）2和0.005 4 （km/s）2， 優于其他的觀測模型； 而MPS對應的位置均方差和速度均方差為16.253 4 （km）2和0.002 3 （km/s）2， 是模型2中最小。 結果表明： 捕獲段初期， 選用MPD為觀測最最佳， 而捕獲段末段， 以MPS為觀測量的自主導航系統性能最優。

4結束語

本文深入分析了火星探測器自主導航系統的狀態模型以及觀測模型， 利用PWCS， FIM以及基于矩陣譜條件數的非線性可觀測性分析方法對多種系統模型進行了可觀測度分析， 得出了以下結論：

（1） 隨著所觀測的近天體數目的增加， 系統可觀測度可以得到提升， 導航性能也將得到改善。 以MPD和MPS三個近天體為觀測的自主導航系統， 導航精度優于其他以兩個近天體為觀測的導航系統。

（2） 以兩個近天體為觀測的導航系統有些是可行的， 例如MD， MP和PD， 而MS和PS是不可行的， 這與天體和探測器在空間中相對位置的分布情況有關。 因此， 在選擇天體時， 應盡量避免選取位置近乎在一條直線上的天體， 而應選擇一些分布相對松散的天體。

（3） 火星探測器捕獲段全程， 系統模型從以太陽為主引力體的多體運動模型（模型1）變換到以火星為主引力體的受攝二體運動模型（模型2）， 導致在捕獲段初期， 選取MPD為觀測是最佳方案， 而在捕獲段末段MPS的導航結果卻優于MPD。 因此， 根據模型的變換來選擇不同的觀測量可以全面提升探測器的導航精度。

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Autonomous Navigation Model Design and Analysis for

Mars Probe in Capture Stage

Zhu Jiafang1， Wang Xinlong1， Li Qunsheng2， Che Huan3

（1. School of Astronautics， Beihang University， Beijing 100191， China；

2. School of Instrumentation Science and OptoElectronics Engineering， Beihang University， Beijing 100191， China；

3. State Key Laboratory of SpaceGround Information Technology， Beijing 100086， China）

Abstract： For the autonomous navigation system of Mars probe in capture stage， when the probe is approaching to Mars， the system model will vary from multibody motion model （model 1） to twobody motion model （model 2）， and observable celestial bodies are various including Mars， Phobos， Deimos and the Sun. In order to analyze the precision of different models， two state models and multiple measurement models are established. Then， based on PWCS method， FIM method and condition number method， the influences of different measurements on the degree of observability of system are analyzed under model 1 and model 2. Optimal combination strategy of system model with measurement model is given by simulation results， which provides an important reference for the design of autonomous navigation system of Mars probe.

Key words： Mars probe； capture stage； autonomous navigation； observability analysisendprint