反向思維在實變函數教學中應用

許剛

摘 要：實變函數是數學專業學生在大學本科階段遇到的最難學的專業課之一，同時也是非常重要的專業學位課程，也是很多高水平大學數學專業研究生入學考試的必備課程，因此，學好這樣一門課的重要性是不言而喻的。反向思維是實變函數學習中一種重要的學習方法，合理利用反向思維，可以讓學生快速掌握相關學習內容。

關鍵詞：反向思維；實變函數；反證法

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）35-0026-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.35.012

一、實變函數

實變函數是數學分析課程的進階課程，數學分析的學習中盡管也強調理論證明和邏輯分析的嚴密性，但是由于內容的特點，仍不可避免地有大量的計算題，這就導致學生在學習過程中往往忽略了分析的本質，而片面地追求計算方法和計算的準確性。但是實變函數就完全不同，它的產生主要是為了克服Riemann積分的不足，試圖建立更完美的微積分體系，因此，它是從集合論出發，建立相應的Lebesgue可測集理論，在此基礎上建立可測函數理論，從而最終建立起Lebesgue積分。因此，實變函數需要將分析進一步嚴密化，回歸到分析的本質上。在學習過程中，幾乎遇不到計算題，從開始學這門課程的第一天到最后一天都是在證明中度過的，這就給學習這門課程帶來了很大的難度。

二、反向思維

如果能夠在教學過程中合理地引導學生利用反向思維，往往起到事半功倍的效果。反向思維是指能夠從問題的反面思考問題，多問幾個為什么，特別是問問如果不滿足命題的條件會怎么樣？如果要得到相反的結論又需要什么不同的條件？能不能舉一些簡單的反例？反向思維就是體現在學會使用反證法。其實對于學生來說，為什么會遇到題目不知如何證明，最直觀的認識就是覺得條件不夠用，因此就特別希望能夠增加一些條件，反證法正好就提供了這么一個便利，通過增加一個與結論相反的條件，推導出與已知條件相矛盾的結論，從而證明相關命題。

三、反向思維對實變函數學習的幫助

（一）利于學生更加直觀理解問題

這就說明“<”是能夠取到的，這就會引導學生仔細地研究Fatou引理的證明，并判斷到底是什么樣過程讓這個式子取“≤”而不是“=”，并且會進一步探究到底添加什么樣的條件才能使“=”成立，從而推導出后面著名的Lebesgue控制定理。

（二）利于學生更加準確理解概念

課本往往只介紹了正面的結果，對于一些不成立的事實卻只字不提，從而給學生的理解帶來很大的誤解，導致學生對于很多概念的理解很表面，甚至不正確。例如，在學習“集合測度”這個概念前，總是會先學習“集合外測度”的概念，盡管教師給學生強調過這兩個概念有相同的地方，也有不同的地方，主要取決于集合本身的性質，在教學中也會舉不可測集的例子，說明這個集合只有外測度，卻沒有測度。但是很多學生仍然會想當然地對這兩個概念不加以區分，導致很多理解上的錯誤。

例如，在講可測集時一定會提到，對于一個可測集E，一定存在可測集H和G，使得G？奐E？奐H，且m（H）=m（E）=m（G），即他們的測度都相等，這樣的集合H和G，我們分別稱之為集合E的等測包和等測核。而對于一個一般的集合E，周明強先生編寫的《實變函數》課本上也會說，利用和前面類似的證明可以知道，存在可測集H，使得E？奐H，且m*（E）=m（H），即集合E的外測度等于可測集H的測度，這樣的可測集H仍然稱為E的等測包。但是課本上沒有說明對于這樣的一般集合E是否存在等測核？可以給學生提出這樣一個思考題：“對于一般集合E，是否存在可測集合G，使得E？勱G，且m*（E）=m（G）？”絕大多數學生往往都會回答“存在的”。這就說明學生并沒有理解測度和外測度的區別，因此，在課堂上需要再次引導學生“能否給出一個證明”，學生大都證明不出來。這時候再次引導學生利用反向思維來思考這個問題——“如果存在等測核會怎樣？”從而進一步利用反證法來說明這個問題。

反證：如果存在E的等測核G，使得m*（E）=m（G）。那么從課本上的定理可知，等測包H也是存在的。從而就可以推導出H＼E？奐H＼G，且m（H＼G）=m（H）-m（G）=0，因此有m*（H＼E）=0，再由零測集一定是可測集可知，H＼E是可測集，再由E=H＼（H＼E）可知，E一定是可測集，從而與E是一般集合矛盾。這就說明對于不可測集是不存在等測核的。通過這個例子，讓學生進一步明白了可測集與不可測集的區別、測度和外測度概念的不同。

四、結論

在教學中靈活運用反向思維，能夠使學生快速準確理解實變函數中的概念和定理，并且這個記憶和理解是直觀的，不容易忘記。

參考文獻：

[1] 劉向華.反例在教學中的作用[J].數學理論與應用，2001（4）：82-85.

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