機器人與激光跟蹤儀的坐標系轉換方法研究

劉湛基，王 晗，陳 桪，夏遠祥，杜澤峰，李沅時，林家平

（廣東工業大學，廣東 廣州 510006）

機器人與激光跟蹤儀的坐標系轉換方法研究

劉湛基，王 晗，陳 桪，夏遠祥，杜澤峰，李沅時，林家平

（廣東工業大學，廣東 廣州 510006）

激光跟蹤儀對工業機器人的末端位姿進行絕對定位精度標定時，需要把測量坐標系和機器人坐標系下的坐標值轉換到同一坐標系下，坐標值的比較才有意義。因為機器人運動學模型誤差的存在，使得機器人坐標系下的點不能遵循著唯一確定的變換關系變換到測量坐標系，所以坐標系的變換精度不高。在建立齊次變換形式的變換模型之后，通過分析坐標系變換過程中的誤差來源，提出結合最小二乘法的RANSAC快速轉換算法。從測量樣點中隨機選擇一定量的樣點擬合變換模型，在獲得多個變換模型之后，利用評判模型選擇最優模型。結果表明：相比于常規的求解方法，機器人和激光跟蹤儀的坐標轉換精度提高3倍。RANSAC算法能有效地降低機器人模型誤差對求解變換關系的影響，并且實驗過程快速、操作簡單。

機器人；坐標變換；RANSAC算法；激光跟蹤儀

0 引 言

工業機器人的連桿幾何參數誤差和隨機誤差影響其絕對定位精度[1-5]。通過借助具有高測量精度的激光跟蹤儀實現對機器人絕對定位精度的測量[6]。在實際應用中，往往最后的數據處理部分，需要把機器人控制器反饋獲得的數據和激光跟蹤儀獲得的數據進行對比、運算等操作。而進行以上操作的關鍵步驟是兩者的數據需要在同一個坐標系下，所以，獲取機器人坐標系和激光跟蹤儀坐標系的變換關系至關重要。獲得兩者坐標系變換關系主流方法大概有3種[7-9]，第1種是通過標定板，分別求取標定板和機器人的關系、標定板與激光跟蹤儀的關系，從而求得機器人與激光跟蹤儀的關系；第2種是使用點云測量方法利用大量的實驗數據擬合出所有的變換模型參數；第3種是通過分別控制機器人做3次單軸運動，分別求得變換的模型的旋轉量和移動量。第1種方法，求得的變換關系相對于后兩種方法較準確，因為其方法避開了測量對象的運動模型誤差的影響，但同時對標定板的要求較高而且操作較為不便，對實驗過程的操作要求較高。后兩種方法操作簡單快捷，測量數據的準確性受限于機器人本身的誤差，這樣數據樣本會對求取的變換模型帶入較大的誤差[10-12]。

針對上述問題，本文提出一種基于RANSAC算法的機器人坐標系與激光跟蹤儀坐標系的快速準確的轉換方法。該法只需要控制機器人在工作空間中測量適量的采樣點，即可快速準確地計算出機器人與激光跟蹤儀的變換關系，具有操作簡單快捷、適用范圍廣等優點。

1 坐標系變換模型建立方法

1.1 變換模型構建原理

假設任意一空間點p在機器人基坐標系下的描述為Pr，在激光跟蹤儀坐標系下的描述為Pt，在忽略姿態的情況下，由空間幾何變換可得如下的變換關系：

式中：R——旋轉矩陣；

T——平移矩陣。

把式（1）中的旋轉矩陣和平移矩陣合并表示成齊次矩陣的形式：

展開有：

觀察上述3個方程，每個方程有4個未知數。單獨4個未知數，至少需要4組數據。綜合所得，求解此擁有12個未知數的模型至少需要4組實驗點的數據。

1.2 模型參數求解方式建立

在實際的測量過程中，為了提高求解的精度和擴大模型的適用范圍，利用大量的數據去擬合模型，這就使得式（3）成為了超定方程組。當所得的數據比較準確時，可擬合出逼近客觀存在的變換模型，擬合的原則是要求擬合模型都適用于這些數據點。但往往測量數據含有不可避免的誤差，當無法同時滿足某一確定的模型，則按誤差最小的原則，使得逼近模型最優地靠近樣點，逼近模型最可信賴的結果應在測量誤差殘差的平方和最小的條件下得到。

把式（4）改寫并簡寫成AX=B：

其中，i=1，2，3，…，n；n=4，5，6，…。

當測量數據量n=4時，式（5）為適定方程組，能擬合出一個變換模型。當n＞4時，式（5）成為超定方程組。為使擬合出來的變換模型最優地靠近測量點，變換模型的殘差盡可能的小，利用最小二乘法對式（5）進行求解。由最小二乘法求解原理可知：

在矩陣運算的過程中，列向量[nxoxaxTx]T、[nyoy ayTy]T和[nzozazTz]T的解相互獨立，在不考慮過擬合的情況下，選取的測試點數量不同，或同一數量但不同組合的測試點都會求出不同的解。事實上，由于旋轉矩陣R為正交矩陣，即：

使得上述3個向量的解存在相互約束的關系，因此可以根據式（7）篩選出最符合式（6）的解，從而提高解的精度。

1.3 模型理論誤差分析

工業機器人的運動精度主要由其控制器中的運動模型的準確性決定。但由于客觀原因，機器人控制器中的模型不可能和實際的模型完全相同。其中機器人各連桿的幾何參數誤差是造成機器人定位誤差的主要因素，主要是由于制造和安裝過程中產生的連桿實際幾何參數與理論值之間的偏差造成了系統誤差。除此之外，其他的因素還包括環境、負載等隨機誤差。基于上述原因，機器人規劃點并不是遵循著唯一的規律通過機器人運動映射到實際工作空間中，所以激光跟蹤儀所測到的點也不是遵循著唯一的變換。其變換關系如圖1所示。

圖1 變換關系

運用最小二乘法求出的解Ft，實際是在映射集合{ft1，ft2，…}上擬合出誤差最小的映射。所以，每一個映射fti都會對最終的求解造成相同的影響。映射關系fti由一定數量的測試點集合解得。正如上文所述，由于機器人運動存在誤差，某些測量點會存在較大的誤差。若不把這些誤差較大的測量點從采樣數據中剔除，勢必會求解得出一個只適用于求解點集的映射關系，對于全局的數據變換會得出很大的誤差。基于這一問題，本文提出了結合RANSAC的求解方法。

2 模型參數求解優化

Fischler和Bolles于1981年提出了隨機抽樣一致性（random sample consensus，RANSAC）[13-14]算法，該算法是從一組包含異常值的觀測數據集中估計其數學模型參數的迭代方法。RANSAC是一種不確定的算法，因此從某種意義上說，它只有一定的概率得到一個合理的結果。為了增加這種可能性，應適當增加迭代次數。RANSAC的思想是利用迭代的方式隨機選出一組數據擬合出模型，為了使該模型能夠最優地解釋或者適用于這些數據，利用此模型去測試測量數據，篩選出符合模型的最佳點集（局內點），同時去除錯誤點以及誤差較大點（局外點），得到正確的測量結果，從而大大提高了測量的可靠性和測量準確度。其算法流程如圖2所示。

圖2 RANSAC算法流程圖

利用最小二乘法求解機器人坐標系和激光跟蹤儀坐標系的變換關系最少需要4個點，因此隨機從數據樣點中取N個點pn作為模型點集合M，其中N≥4，然后對變換模型進行參數求解。求出變換關系f后，需要判斷模型是否正確。分別從機器人坐標系點集B、激光跟蹤儀坐標系點集T剔除前面已經選出的N個相應的點，得到集合Bc={p|p∈CBM}、Tc={p|p∈CTM}。根據變換關系有Bc→fA。假設內點的判斷模型為

其中pA∈A，pTc∈Tc，i=1，2，…。

若Δ小于設定的閾值limit，則認為此點為內點,歸于點集I。統計內點集的點數total，若大于設計的閾值total，則認為此次求得的變換模型為合適的。根據迭代的求解過程可知，有可能會計算出多個合適的模型，為了評價最優模型，增加最優化評價函數：

若有多個合適變換模型，以方差為標準，評價出最優的變換模型。通過上述的求解過程，可以剔除誤差較大的采樣點并最終得出最優的變換模型，保證了模型的穩健性、準確性。

3 實驗方案與實驗結果分析

3.1 實驗方案建立

實驗現場如圖3所示，右側為激光跟蹤儀，左側為工業機器人和控制器，均固定放置。

通過設計加工好的連接板把激光跟蹤儀的靶球固定到機器人末端法蘭盤上，如圖4所示。鏈接板的加工精度在0.02mm。在連接板結構尺寸已知的情況下，可以直接寫出工具坐標系，并將其添加到機器人控制器中。為了提高測量精度，工具坐標系應該通過測量標定。本次實驗只基于保證連接板的加工精度和安裝精度情況下，直接求取工具坐標系。

圖3 實驗現場

在機器人的工作空間中，選取一個中心點（800，200，700），選擇邊長為200mm的立方體測量空間。在測量空間中，隨機測量100個點。實驗測量的數據如圖5所示。

3.2 實驗結果分析

圖4 激光跟蹤儀靶球

圖5 機器人的目標點和激光跟蹤儀的測量點

由RANSAC算法可知，指定擬合模型的數據量，多次選擇不同的數據組合，求出最優解。為了探討多少個點所組成的數據集能解出最優解，在（4，40）的范圍里，以2為步長，選擇不同的數據量進行RANSAC算法實驗。其結果如圖6所示。

圖6 不同精度下，不同擬合數據組合的內點

從圖中可以看出，隨著參與擬合模型的數據集增大，解越準確，內點越多。同時，隨著精度要求的提高，內點數減少。在精度0.18，0.19，0.20mm要求下，數據量在（30，36）區間里的組合都可以滿足內點數量占85%的條件。在同樣的數據量（30，36）區間內，由于0.23 mm精度要求較低，所以包含的內點更多。在不斷提高精度的同時，解的組合種類也在縮小，經過多次迭代發現，精度要求0.18mm是最高精度的解。在精度要求0.18mm的條件下，解出了兩組解如表1所示。

表1 0.18mm精度下的解

根據式（9）的最優解條件，第一組解為最優解。

圖7 不同解法的誤差比較

圖8 同一變換關系在不同空間中的變換誤差比較

選擇50個點組成集合，并比較由基于RANSAC算法和常規最小二乘法求解得到的變換誤差，如圖7所示。實驗結果表明，基于RANSAC算法的求解比常規算法求解，變換關系的精度可以提高3倍。

基于1.3節的誤差分析可以知道，數據采集的空間的大小也影響著求解的精度，在機器人標定文獻中也表明了這種特性[15]。在同一精度下，不同的數據采集空間獲得的結果也是不一樣的，特定空間中的求解結果適應于該空間中。同樣以（800，200，700）為中心點，分別以200，400mm為邊長，構建立方體測量空間。在小空間（200 mm邊長的立方體）中經過RANSAC算法求解得到變換關系，分別從大空間、小空間中選擇50個測試點，測試變換關系的準確性。誤差分析如圖8所示。由圖可知，在小空間中，變換關系滿足精度要求，但是對于大空間并不滿足。

4 結束語

本文在分析機器人坐標系與激光跟蹤儀坐標系變換的主要誤差來源的基礎上，探究快速準確地求解變換模型方法。本文提出了基于RANSAC算法的最小二乘法變換求解，該算法去除外點的特性，解決了由機器人本體模型誤差帶來的測量誤差而造成的模型擬合失敗的問題。實驗表明，結合RANSAC算法的最小二乘法比常規的解法提高了3倍的求解精度。此外，該方法避免了通過多次單軸運動再擬合求解的復雜過程，也減少了對高精度標定板的依賴。本方法同時適用于求解不同設備間的坐標系變換，為生產、科研的過程中，坐標系轉換需求提供了一種方便快捷、低成本、穩定準確的方法。

[1]ALBERT N， MOHAMED S， AHMED J， et al.Comparison of two calibration methods for a small industrial robot based on an optical CMM and a laser tracker[J].Robotica，2014，32（3）：447-466.

[2]MA N， SU C， ZHANG X.Research on fast field calibration method of industrial robot[C]∥Chinese Automation Congress，2015.

[3]SU C， ZHONG L， SU C， et al.Modelling and control for simultaneous laser beam alignment of a dual-PSD industrial robot calibration system[C]∥International Conference on Cyber Technology in Automation Control and Intelligent Systems.IEEE，2015.

[4]陳鋼，賈慶軒，李彤，等.基于誤差模型的機器人運動學參數標定方法與實驗[J].機器人，2012，34（6）：680-688.

[5]王智源，朱剛.測定工業機器人位置特性的誤差不確定度分析[J].電子測量技術，2016，39（9）：8-11.

[6]BORRMANN C，WOLLNACK J.Calibration of external linear robot axes using spline interpolation[C]∥Proceedings of the International Conference on Modelling Identificationamp;Control.IEEE，2014.

[7]劉常杰，段宇，王一，等.機器人柔性坐標測量系統現場校準技術研究[J].機械工程學報，2010，46（18）：1-6.

[8]SHIU Y C，AHMAD S.Calibration of wrist-mounted robotic sensors by solving homogeneous transform equations ofthe form AX=XB[J].IEEE Transactions on Roboticsamp;Automation，1989，5（1）：16-29.

[9]任永杰，邾繼貴，楊學友，等.利用激光跟蹤儀對機器人進行標定的方法[J].機械工程學報，2007，43（9）：195-200.

[10]洪鵬，田威，梅東棋，等.空間網格化的機器人變參數精度補償技術[J].機器人，2015（3）：327-335.

[11]吳德烽，李愛國.三維表面掃描機器人誤差建模與補償方法[J].機械工程學報，2012，48（13）：61-67.

[12]TABB A，YOUSEF K M A.Parameterizations for reducing camera reprojection error for robot-world handeye calibration[C]∥Ieee/rsj International Conference on Intelligent Robots and Systems，2015.

[13]CHUM O， MATAS J， KITTLER J.Locally optimized RANSAC[J].Joint Pattern Recognition Symposium，2003（2781）：236-243.

[14]FISCHLER M A，BOLLES R C.Random sample consensus：a paradigm for model fitting with applications to image analysis and automated cartography[J].Communications of the Acm，1981，24（6）：381-395.

[15]周煒，廖文和，田威.基于空間插值的工業機器人精度補償方法理論與試驗[J].機械工程學報，2013，49（3）：42-48.

（編輯：商丹丹）

Study on the method of coordinate transformation between robot and laser tracker

LIU Zhanji， WANG Han， CHEN Xun， XIA Yuanxiang， DU Zefeng， LI Yuanshi， LIN Jiaping
（Guangdong University of Technology，Guangzhou 510006，China）

When the laser tracker calibrates the absolute positioning accuracy of the end position of the industrial robot，it is necessary to transform the coordinate values of the measurement coordinate system and the robotcoordinate system to a same coordinate system， thusthe comparison of the coordinate values makes sense.Because the existence of the robot kinematics model error makes the point in the robot coordinate system cannot follow the only definite transformation relation to the measurement coordinate system，the coordinate system transformation precision is not high.After the transformation model of homogeneous transformation is established，the RANSAC fast conversion algorithm combined with least squares method is proposed by analyzing the error sources in the transformation process of the coordinate system.A certain number of samples are randomly selected to fit the transformation model from the measurement sample.After obtaining multiple transformation models，the optimal model is selected by the evaluation model.The results show that the coordinate transformation accuracy of the robot and the laser tracker is increased by three times compared with the conventional solution method.The RANSAC algorithm can effectively reduce the influence ofthe robotmodelerroron the transformation relation a，the experiment process is fast and the operation is simple.

robot； coordinate transformation； RANSAC algorithm； laser tracker

A

1674-5124（2017）11-0102-06

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.11.020

2017-02-10；

2017-04-19

廣東省前沿與關鍵技術創新專項資金（2015B010124001）；廣東省高等學校優秀青年教師培養計劃（YQ2015056）；“廣東特支計劃”科技青年拔尖人才項目（2014TQ01X212）；東莞市產學研項目（2013509109101）

劉湛基（1991-），男，廣東佛山市人，碩士研究生，專業方向為工業機器人的應用開發。