分開是另一種美
——淺析高考壓軸題中的分離變量法

廣東省東莞市東莞實驗中學(523120) 薛新建

分開是另一種美
——淺析高考壓軸題中的分離變量法

廣東省東莞市東莞實驗中學(523120) 薛新建

一、問題的提出

題目(2013年新課標全國 (I)第 21題)已知函數f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.

(I)求a,b,c,d的值;

(II)若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.

本題考察函數知識,尤其是利用導數研究函數性質的一道典型題目,其中考察到了曲線與方程的關系,導數的幾何意義,利用導數研究函數的單調性極值等知識.從題目結構來看,一個二次函數,一個超越函數,大多數學生拿到題目會感到既熟悉又新鮮,有一種朦朧美.解題過程集中體現了數形結合思想,分類討論思想,函數與方程思想,轉化與化歸思想等數學思想.題目入手難度不大,第一問在不考慮時間以及計算失誤等其他考場因素的情況下,學生基本上能夠摸清思路,找到突破口,較為完整的求出4個系數,但第二問難度較大,對學生各項能力有較高的要求,需要學生在把握和堅持基本思路的基礎上,按照參數對導數的符號的影響進行分類討論,除去能力要求,還需要學生平時對此類題目有較為系統的訓練和總結,才能在考場上有限時間內進行很好的處理.該題是一道區分度較為明顯的經典函數題目,作為2013年理科數學全國卷的壓軸題也是當之無愧.

二、解題方法探究

利用函數與導數知識可以把第(I)小題做出來,得到f(x)=x2+4x+2,g(x)=ex(2x+2).以下解答(II).

解法一設函數

(i)若1≤k＜e2,則-2＜x1≤0.從而當x∈(-2,x1)時,F′(x)＜0;當x∈(x1,+∞)時,F′(x)＞0.即F(x)在(-2,x1)單調遞減,在(x1,+∞)單調遞增.故F(x)在[-2,+∞)的最小值為F(x1).而F(x1)=2x1+2-x21-4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故當x≥-2時,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.

(ii)若k=e2,則

從而當x＞-2時,F′(x)＞0,即F(x)在(-2,+∞)單調遞增.而F(-2)=0,故當x≥-2時,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.

(iii)若k＞e2,則

從而當x≥-2時,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.

綜上,k的取值范圍是[1,e2].

解法二由題意,x≥-2時,

恒成立,(i)當x=-1時,(?)式可化為-1≤0,恒成立.

(ii)當-2≤x＜-1時,(?)式可化為

則y=φ(x)在[-2,-1)上單調遞增,所以φmin=φ(-2)=e2,故k≤φmin=e2.

(iii)當x＞-1時,(?)式可化為

易見y=φ(x)在(-1,0)上單調遞增,在(0,+∞)上單調遞減,從而y=φ(x)在x=0處有極大值,也是最大值.所以φmax=φ(0)=1,故k≥1.

綜上,k的取值范圍是[1,e2].

上述方法一,采用的是構造單一函數解決恒成立問題的基本思路,這種思路容易被一般學生接受和使用,其難點在于后面的運算和對導數符號的討論.原因是參數k的存在,造成了導數符號的不確定性.大部分學生對于帶參數的求導結果的討論會知難而退,只有少部分優秀學生能夠耐下心來對后面的導函數進行分類討論并得到正確答案.因此這種方法對學生本身素質要求過高.而且在一開始由F(0)≥0得到k≥1這一步是利用特殊點得到的k的取值范圍,結論的取得有比較大的隨機性,需要學生具備豐富的解題經驗和在考場上的應變能力,或者說更多的是一種運氣成分.

而方法二,采用的是用分離變量法解決恒成立問題的基本思路,這種思路在平時的練習題里應該經常碰到,所以對大部分學生來講并不陌生.縱觀方法二的整個過程,討論標準就是在分離變量的過程中,(x+1)這個因式符號的正負對不等號開口方向的影響,這一點對學生素質并無太高要求,只要平時有過相關練習就可以輕易完成整個過程,而構造出來的函數y=φ(x)的單調性和最值可以通過求導進行很好的考察.通過對變量k和x的分離,避開了對含參因式的分辨,以及主次變量的討論,將問題轉化成了給定函數求最值的問題,從而降低了題目難度層次,解決起來更加容易.

將兩種方法進行比較的話,方法一經典大氣,但不免高冷,讓人難以接近.方法二通過將變量分開,將含參導函數符號的討論這種疑難問題輕易轉化成了給定函數求最值的問題,給人一種撥云見日,曲徑通幽的感覺,當然,這種分離轉化本身就是數學的另一種美!

三、高考同類題目規律探尋

本題考查的函數知識點都是近年全國I卷重點考查的內容,通過對近幾年函數壓軸題的對比分析可以發現很多共性的地方,具體如下：①不等式恒成立求參數范圍的問題,在2010-2013年連續4年考查,2014年則是證明不等式恒成立,2015年稍有變化考查函數零點分布的問題.②2011年在函數題目的設置上,第一問考查曲線與方程關系以及曲線的切線方程的問題,第二問再考查不等式恒成立問題.這樣設置題目的好處就是,第一問入手門檻降低,不會在第一問就將大多數學生拒之門外,避免了出現廢題的情況,第二問再考查學生能力,題目區分度較高.于是在之后的2013-2015年函數題目的布局都采用了這一方式,第一問考查切線問題似乎已成慣例.③通過對2013-2015年高考題解法的研究,不難發現分離變量法作為數學中的一種通性通法,在解決函數問題中的巨大作用,通過對字母的分離,避開主次變量間的干擾,降低問題難度的層次,體現了數學上轉化與化歸的思想以及正難則轉的智慧.下面我們會把分離變量法在2014和2015年高考題目中的巨大作用進行展示

四、近年高考函數題的多題一解

例1 (2014年新課標全國I卷)設函數f(x)=aexlnx+曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線為y=e(x-1)+2.(I)求a,b;(II)證明：f(x)＞1.

解：(I)利用導數知識可以得到a=1,b=2.

(II)由(I)知,

(I)當a為何值時,x軸為曲線y=f(x)的切線;

(II)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設函數h(x)= min{f(x),g(x)}(x＞0),討論h(x)零點的個數.

解：(I)略;(II)當x∈(1,+∞)時,g(x)=-lnx＜0,從而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)＜0,故h(x)在(1,+∞)無零點.

當x=1時,若min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是h(x)的零點;若則f(1)＜0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)＜0,故x=1不是h(x)的零點.

當x∈(0,1)時,g(x)=-lnx＞0,所以只需要考慮f(x)在(0,1)的零點個數.令得,則

圖1

思路分析本題關鍵就是求y=f(x)在(0,1)上的零點個數,而y=f(x)由于有字母a的干擾,導函數需要進行討論,這種討論對學生能力有較高要求.通過對a和x兩個變量的分離,得到然后構造兩個函數y=a和將問題轉化成這兩個簡單函數的交點個數的問題,通過對y=φ(x)求導分析單調性,很容易就得到正確結論.

通過上述對2013-2015年的高考函數壓軸題的分析,我們不難發現,分離變量法作為解決函數問題的一個基本思想方法,在高考實戰中有著巨大的戰略意義,那就是可以將含參問題的討論轉化成簡單函數求最值的問題,對題目難度進行大幅拉低,使得更多學生具備了拿下函數壓軸題的可能性,所以在以后的教學中應該特別注意強化落實這一方法.

五、變式探究

對2013年高考函數題的變式訓練主要可以做如下思考：

第一類是恒成立問題變成存在性問題,因為這兩類問題其實是共生的,可以做如下變式訓練：

變式一已知函數f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.

(I)求a,b,c,d的值;

(II)若?x0∈(-1,+∞)使得f(x0)≥-kg(x0),求k的取值范圍.

第二類是恒成立問題變成方程的根的分布問題,可以做如下變式訓練：

變式二已知函數

若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.

(I)求a,b,c,d的值;

(II)若x∈(-1,+∞),討論方程f(x)=kg(x)的根的個數.

當然還可以對不同類型的函數進行搭配,進行相應的變式訓練.

六、高考備考策略分析

從前述分析來看,以后函數大題的高考備考需要注意以下兩個方面：

1.從知識點來講,首先要特別注意切線問題的備考,確保以后切線問題在壓軸題出現的時候,學生能夠得到相應分數(主要是第一問),這一部分是通過扎實備考完全可以拿下的,其次是恒成立問題求參數范圍的題型的備考,要注重基本思路基本方法的普及,為優秀學生拿下壓軸題打好基礎,即便不能完全拿下,也可以盡量分步得分.

2.從思想方法來講,函數部分的備考要特別注意分離變量法這一方法,前面已經展示了這一方法在近三年高考壓軸題中轉化函數問題時的巨大作用,而這一方法不止針對恒成立問題,在很多問題中都能找到它的影子,例如,不等式恒成立問題和存在性問題,零點存在性及分布問題,方程有解及根的分布問題,分式函數求最值(基本不等式)問題等等.分離變量的形式也是比較靈活,可以完全分離也可以不完全分離.而且分離變量法在高等數學里也有較大用處,比如解微分方程等.