一種顧及坡度因子與極值的地表面積計算法

程傳錄,蔣光偉,田曉靜，馬新瑩，王文利

(國家測繪地理信息局大地測量數據處理中心，陜西 西安 710054)

一種顧及坡度因子與極值的地表面積計算法

程傳錄,蔣光偉,田曉靜，馬新瑩，王文利

(國家測繪地理信息局大地測量數據處理中心，陜西 西安 710054)

針對局部地形的非線性變化與圖形的極值信息對地表面積計算結果的影響，提出了一種顧及坡度因子與圖形極值的地表面積計算法，分析了地表面積計算理論與誤差。最后以中國西部具有典型地貌特征的兩縣數據為例進行試驗分析。試驗結果表明，該方法在一定程度上對局部地形逼近具有一定的改進，宏觀上與規格格網交叉對角劃線法具有一定的相似度。文中推導的三角網面積傳遞誤差可初步表明考慮局部地形坡度因子與極值的地表面積計算結果可靠性更高。

坡度；地表面積計算；三角網；數字高程模型；破碎圖斑

DEM是連續地形變化地形表面的離散化表達，是空間信息資料和地形分析的核心數據。對DEM信息挖掘可分析地表對象的內在空間特性、相互關系、分布規律和發展趨勢。圖斑表面積是地理國情監測的重要對象，而影響表面積計算的結果涉及坐標系統、投影變形、DEM精度、地表粗糙度、地形參數、內插算法、曲面逼近、原始數據分布等問題[1-2]，目前地表面積計算大都基于DEM數據。相關學者對DEM作了深入研究：文獻[3—6]對DEM坡度、坡向的有效尺度范圍及坡度計算的適宜窗口進行了研究；王耀革研究了DEM建模與不確定性分析[1]。在圖斑面積計算方面：文獻[7—8]研究了橢球體表面積計算方法，楊學祥建立了地球3個半周與地表面積之間的函數關系[7]；江帆研究了基于復化公式的DEM表面積算法分析[9]；陳吉龍運用微積分的方法對林地的表面積進行計算[10]；曹振宇研究了大地坐標系中多邊形面積計算，提出了顧及地形起伏的任意多邊形表面積計算方法[11]；黨亞民研究了不同坐標系坐標轉換及其對國土資源面積量算的影響[12]；薛樹強研究了一種顧及復雜地形因子的地表面積計算方法，對比了不同分辨率DEM計算地表表面積的差異，得出顧及地形因子的地表面積統計可明顯提高低分辨率DEM地表表面積的統計精度[13]；秦艷紅從數學角度利用多分辨率分析，從理論上給出了實現由單一比例尺數據的坡度面積生成任意多比例尺系列坡度面積的依據和途徑，并證明了小波變換前后面積差平方的對數與復雜地貌復雜度及尺度之間的變化關系，對不同尺度下坡度面積的變化進行了量化估計[14]。

地形表面的非線性變化及一些不確定性因素決定了地形表面表達的復雜度，任何曲面的逼近都是對地表形態的近似表達。本文在以上基礎上研究了地表不規則圖斑表面積計算的理論，闡述了影響地表面積統計的誤差因素，重點分析了規格格網模擬地表趨勢方法的差異，提出了一種考慮地形坡度因子與圖形極值信息的表面積計算方法。

1 地表面積計算理論與誤差分析

1.1 地表面積計算理論

設地表曲面S可表示為方程H=h(x,y)，D為曲面S在xOy面上的投影區域，函數h(x,y)在D上具有連續偏導數hx(x,y)和hy(x,y)，則曲面S面積可表示為

(1)

由式(1)可知，局部區域的地形曲面函數h(x,y)在邊界區域內進行積分可得到地形表面積。實際的地形曲面h(x,y)很難得到，較常用的方法是對規則格網的DEM表面進行整體建模與分塊建模。整體建模大都用于研究地形的趨勢性，不能反映局部地形的粗糙度；分塊建模能較好地顧及地形粗糙度與計算復雜度，設第i塊函數為hi(x,y)，則地表面積可表示為

∑dSisec(β)=

(2)

由式(2)可知，地表面積計算可采用分塊DEM模擬地形曲面hi(x,y)基于積分方法計算，也可使用投影面積與坡度來計算。實際的地形曲面是未知的，采用數值模擬的方法獲取局部hi(x,y)計算復雜，常采用構建地表三角網法局部地形逼近

(3)

1.2 地表面積計算誤差分析

當DEM格網分辨率越高時，每個格網認為是線性變化，此時DEM曲面常采用雙線性曲面進行表達。李志林采用雙線性模擬DEM表面[1]，給出了地形表面精度估計公式

(4)

(5)

εmax=cdtanβ

(6)

由式(4)—式(6)可知，在用DEM模擬地形時,誤差主要分為兩類:一類是生成DEM時節點的傳遞誤差；另一類是用線性曲面代表地表時的損失誤差。當格網分辨率越高時，地形模擬誤差越小，地表面積越精確。在計算地表面積時，不同地形的DEM傳遞誤差與地形曲面模擬誤差所占的比例雖然都不一致，但是地形曲面模擬的準確度在一定程度上能夠反映地表面積計算的可靠性。

2 顧及局部坡度因子與極值的地表面積計算

2.1 規格格網地表面積計算

規格格網地表面積計算常采用同向對角劃線或交叉對角劃線將空間四邊形轉換為兩空間三角形。該方法假設條件是局部地形變化在空間上是連續的、相關的，地形曲面的極值條件與對角線方向是一致的，對角連線方向貼近地面。對角劃線法在一定范圍內雖具有一定的補償性，然而實際地形具有的不規則性、非線性特點，在地形變化復雜的山區尤為突出，該方法也可能與地形變化不一致，造成局部地形逼近失真。

hi(x,y)=a1x3y3+a2x2y3+a3xy3+a4y3+a5x3y2+a6x2y2+

a7xy2+a8y2+a9x3y+a10x2y+a11xy+a12y+

a13x3+a14x2+a15x+a16

(7)

2.2 邊界破碎格網表面積計算

邊界破碎格網表面積計算常采用坡度比例法反推地表面積，坡度計算適宜的窗口選擇、坡度參數的有效范圍都與地形復雜度緊密相關，一般以3×3的局部窗口計算。不規則三角網(TIN)具有多分辨率、貼近局部地形、精度高的特征，多用于三維地形仿真上[15-16]。建立不規則三角網的方法有多種，如Green-Sibson、角度判別法、Delaunay法等，其中Delaunay三角劃分的理論更完善。相關研究表明，Delaunay三角網擬合性能最優越，具有從局部到整體最優的特點。因此，本文采用Delaunay方法構建不規則三角網近似表達邊界破碎格網地表形態。

2.3 三角形面積誤差

(8)

(9)

依據協方差傳播規律可求得空間邊長L的誤差為

(10)

假設空間邊長誤差中，高程誤差起主要作用，忽略x、y誤差，則

(11)

(12)

根據泰勒級數與協方差傳播規律可推導出空間三角形面積誤差(見式(12)，限于文中篇幅要求，不再詳細推導)

(13)

依據式(4)、式(11)、式(13)可初步得出顧及坡度因子與圖形極值信息的地表面積統計結果精度與可靠性較高。

3 算例分析

使用我國西部具有典型地貌特征的K縣、S縣的邊界數據與10 m分辨率DEM數據，通過與其他常規方法對比，采用4種方案計算兩區域地表面積。文中分析了顧及坡度因子與極值的地表面積計算方法的可靠性與差異性。其中，K縣地形復雜，地貌以盆地、山地、平原為主，縣區內水域較多；S縣地形較簡單，以沙漠、平原為主。

方案1：采用顧及坡度因子與極值的地表面積計算法；

方案2：構建地表三角網法，規格格網對角線西北方向劃分，邊界破碎格網采用Delaunay構TIN；

方案3：構建地表三角網法，規格格網對角線東北方向劃分，邊界破碎格網采用Delaunay構TIN；

方案4：地表三角網與坡度法組合方法，規格格網依次交叉對角劃分，邊界破碎格網采用坡度比例法計算。

表1 4種方案表面積差異

表1給出了4種方案計算的兩縣地表面積差異。從統計結果可以看出：4種方案計算的結果在地形復雜區域K方案1與方案4差異較小、符合性好，方案2、方案3與方案1差異較大。在地形相對平緩的區域S，4種方案計算結果差異不大。從地表面積對比結果可得出：規格格網的表面積計算方法的差異占主要因素，破碎格網表面積方法差異影響較小。

本文提出的顧及坡度因子與圖形極值信息的地表面積計算法圖形結構上與交叉對角劃線法相比，宏觀上二者具有一定的相似度，存在尺度上細小的差異；微觀上文中提出的方法在地形變化為非線性，考慮局部地形極值出現的區間，對局部地形逼近具有一定的改進，可削弱同向對角劃線構建的圖形二異性與不合理性。

4 結束語

地表起伏的不確定性與復雜性，影響地表面積統計結果的可靠性。本文采用實際算例進行比對試驗，試驗結果證明筆者提出的顧及坡度因子與極值的地表面積計算方法可以獲取較可靠的地表面積統計結果。另外，文中推導的三角網地表面積的傳遞誤差，理論上也初步得出顧及坡度因子與局部圖形極值信息的地表面積計算法對地形非線性變化復雜的區域具有一定的改善作用。

[1] 王耀革.DEM建模與不確定性分析[D].鄭州：信息工程大學,2009.

[2] 趙杰.數字地形模擬-地形數據獲取與數字地形分析研究[D].武漢：武漢大學,2004.

[3] 劉學軍,龔健雅,周啟鳴,等.DEM結構特征對坡度坡向的影響分析[J].地理與地理信息科學,2004, 20(6):1-5.

[4] 劉學軍,張平.DEM坡度、坡向的有效尺度范圍[J].武漢大學學報(信息科學版),2008, 33(12):1254-1258.

[5] 劉學軍,張平,朱瑩. DEM坡度計算的適宜窗口分析[J].測繪學報,2009, 38(3):264-271.

[6] 陳艷麗,李少梅,劉岱岳.基于規則格網DEM的坡度坡向分析研究[J].測繪與空間地理信息, 2009,32(5):36-39.

[7] 楊學祥.地球表面積的計算[J].長春地質學院學報,1987, 17(3):346-352.

[8] 紀兵,邊少鋒.三軸橢球體表面積的計算[J].海軍工程大學學報, 2008,20(4):21-24.

[9] 江帆,呂曉華,王仲蘭.基于復化公式的DEM表面積算法分析[J].測繪學院學報,2005, 22(4):263-265.

[10] 陳吉龍,武偉,劉洪斌.DEM在林地表面積計算中的應用研究[J].西南農業學報,2008, 21(5):1348-1352.

[11] 曹振宇,譚明建,沈艷敏.大地坐標系中多邊形面積計算方法研究[J].測繪通報,2012(S1)：570-572.

[12] 黨亞民,程英燕,吳秀娟,等.不同坐標系圖斑理論面積計算研究[J].測繪科學,2005, 30(6):23-25.

[13] 薛樹強,黨亞民,秘金鐘,等.顧及非線性地形因子的地表面積計算[J].測繪學報,2015, 44(3):330-337.

[14] 秦艷紅,盧林,吳紀桃.地形坡度面積的二維多分辨率分析研究[J].數學理論與應用,2005, 25(2):43-48.

[15] 蔣光偉,焦立芬,田曉靜,等.基于三角剖分與方向線拼接的高精度坐標轉換格網模型的建立[J].大地測量與地球動力學,2015, 35(2):222-224.

[16] 徐青.地形三維可視化技術[M].北京:測繪出版社,2000.

AMethodofTerrainAreaCalculationinConsideringofSlopeFactorsandExtremeValue

CHENG Chuanlu,JIANG Guangwei,TIAN Xiaojing,MA Xinying,WANG Wenli

(Geodetic Data Processing Center, National Administration of Surveying,Mapping and Geoinformation, Xi’an 710054, China)

In connection with the effection of the local terrain slope factors and extreme value to terrain area calculation, a new method that considering of slope factors and extreme value is proposed. The surface area theory and errors are analyzed. Finally the typical two region’s data of west China are used experiment analysis. The results indicate that the algorithm enhance the terrain fitting, on the macro, the graphic property is similar with the regular grid of cross-diagonal method. The deduce area errors formula indicated that the terrain surface area calculation is more reliable in considering the slope factors and extremevalue.

slope; terrain area calculation; triangulation network; DEM; patch

P208

A

0494-0911(2017)01-0126-04

程傳錄,蔣光偉,田曉靜,等.一種顧及坡度因子與極值的地表面積計算法[J].測繪通報，2017(1)：126-129.

10.13474/j.cnki.11-2246.2017.0028.

2016-02-18

2015年測繪地理信息公益性行業科研專項(201512004)；國家測繪地理信息局基礎測繪科技項目；現代工程測量國家測繪地理信息局重點實驗室開放課題(TJES1504)

程傳錄(1965—),男,高級工程師,主要從事大地測量數據處理研究。E-mail: xianccl@163.com