數列極限與函數極限的統一

唐海波

(漢江師范學院 教育系，湖北 十堰 442000)

數列極限與函數極限的統一

唐海波

(漢江師范學院教育系，湖北十堰442000)

極限思想是高等數學中常用的思想方法，也是解決函數問題最基本和最常用的方法。函數極限表現為自變量在變化過程中函數值的變化趨勢；數列作為一種特殊的函數，可以用函數性質及其相關思想方法對數列進行學習和研究；數列極限與函數極限之間存在較多相似之處，但同時也有很多不同之處，研究數列極限與函數極限之間的異同點，就應當把握“數列是特殊的函數”這一關鍵點。從數列極限與函數極限的定義和性質出發，介紹二者之間的異同點，并從極限的定義、極限的證明、極限的求解方法等方面描述二者之間的統一。

極限；數列；函數；統一

0 引言

極限是高等數學中極為重要的內容板塊，同時極限思想也是進行數學分析的主要方法[1]。在高等數學中，有較多的內容體系，諸如連續、導數及積分等都與極限密切相關，都可以通過極限進行定義和描述。因而，從極限的定義與性質出發，掌握豐富的極限理論，熟練運用極限思想和方法，這在數學分析及解決數學問題方面至關重要。數列是特殊的函數，其定義域為自然數集，可以用函數的性質及相關的思想方法對其進行研究[2]。數列極限與函數極限之間存在較多的聯系，二者既有區別，也相互統一，本文從數列極限與函數極限的定義與性質出發，介紹二者之間的異同點，并從極限的定義、極限的證明、極限的求解方法等方面解析二者之間的統一與聯系。

1 數列極限

1.1 數列極限的定義

即當n趨于無窮大時，數列an將無限趨近于A或數列an的極限為A。若數列的極限存在，則稱此數列屬于收斂數列，若不存在則表示數列發散。

上述數列定義所對應的幾何意義如下：以A為中心，以ε為半徑所對應的任意一個開區間(A-ε，A+ε)，都能夠于數列{an}中找出某一項aN，使aN之后的任意項均處于這一開區間中，并且在此區間以外，最多存在數列{an}中的有限項。

上述定義中的正整數N應當關注以下兩點：①N是基于ε存在的，通常情況下，N是隨著ε值的減小而不斷增大的，但正整數N并不唯一；②在上述定義中僅僅是注重正整數N的存在性，而不是找出其中最小的正整數N，我們僅僅關注第N項之后的各項均可以保持與常數a之間的距離小于給定的任意小正數ε。

1.2 數列極限的性質

一數列{an}具有極限，說明此數列收斂，其具有以下幾方面性質：

(1)如果數列極限存在，則此極限必定是唯一的；

(2)如果數列{an}是收斂的，則{an}必定是有界數列；

(3)如果數列{an}存在極限，且為A，則數列{an}的任何一個子數列{ank}也必定收斂于A；

(4)保號性，如果數列極限A為正數，則一定存在正整數N1，當ngt;N1時有angt;0；

定理1：(收斂數列及其對應奇、偶項數列之間的關系)數列{an}能夠收斂于a一個充要條件為{an}的奇數項數列{a2k-1}以及偶數項數列{a2k}均收斂，且都收斂于a。

2 函數極限

2.1 函數極限的定義

(1)當自變量為有限值時對應的函數極限

函數f(x)在某點x0相應去心鄰域，即U0(X0)中有定義，若對于任何既定的正數ε，且不管其值如何小，總會存在一正數δ，保證不等式0lt;|X-X0|lt;δ所規定所有自變量x，相應函數值f(x)均符合不等式|f(x)-A|lt;ε，此時稱常數A是函數f(x)基于x→x0時所對應的極限，并記作

函數極限定義的幾何意義如下：將上述函數極限的定義用幾何語言進行描述：①對于任意正數ε，并以兩條直線y=A+ε與y=A-ε作為邊界所形成的區域；②總會有δgt;0，并以點x0為中心，以δ為半徑所構成的圓域；③當x滿足不等式0lt;|x-x0|lt;δ時，即x位于上述圓域中；④總會有|f(x)-A|lt;ε成立，即函數f(x)所對應的圖像是位于這一帶形區域中的。

(2)當自變量為無窮大時相應函數所對應的極限

函數f(x)自變量滿足|x|gt;0，若任意給定εgt;0，必會存在某一正數Χ，對于滿足不等式|x|gt;Χ所對應的所有自變量x，相應函數值f(x)均滿足|f(x)-A|lt;ε，此時將常數A稱為函數f(x)當自變量x→∞時所對應的極限，并記作

且y=A是函數y=f(x)對應圖像的水平的漸近線。

2.2 函數極限的性質

定理2：對于函數f(x)在x→x0時，其極限存在的一個充要條件為函數f(x)在x→x0時所對應的左、右極限均存在，且相等，即

3 數列極限與函數極限之間的異同

(1)如果極限存在那么極限值一定是唯一的，因而數列極限及函數極限均具有唯一性。

(2)若數列極限是存在的，則其是有界的，并且數列的整體是有界的，也就是存在正整數M，對于對數列中的所有項均有|an|≤M，但函數界性與此不同，函數極限表現為一種局部性，例如當x趨近于正無窮時，函數極限相應局部有界性可以表述為：存在正數M，保證f(x)在自變量xgt;M的區域中滿足|f(x)|≤M，在這里主要注重局部性，并不考慮比M小于函數值其是否有界，因而，函數極限所表現的局部性是與數列極限存在本質區別的。

(3)數列極限是否存在的判別方法主要有兩個，即單調有界定理及柯西收斂準則，這是高等數學中對于數列極限進行判斷的常用方法[3]。基于單調有界定理，若一個數列是單調遞增的，且有上界，此時便可以判定數列極限是存在的，并且其極限值就是數列對應的上確界，同理，若一個數列是單調遞減的，并且具有下界，此時也可以說此數列極限是存在的，并且極限值為其下確界。

基于柯西收斂準則，隨著n值的增加，收斂數列其各項值將會越來越靠近，因而當n值適當時，必然會有任意兩項的距離能夠小于所給定的任何一個正數ε。柯西收斂準則可以根據數列自身的特點進行極限存在與否的判定。與函數極限相應存在條件相比，數列極限中的柯西準則是與函數極限完全類似的，而所不同的就是在函數極限中涉及了歸結原則，也就是海涅定理。然而，在實際的運用中，基于柯西收斂準則進行極限的判斷是不太現實的，對于數列來說，收斂于x0的數列有很多，因而，我們不可能針對每一個數列都去驗證其極限值。在實際的解題過程中，運用的最多的就是其推論：通過找到一個數列，其收斂于x0，但函數的極限值并不存在，或者找到同時收斂于x0的兩個數列，然而這兩個函數的極限值并不相等。上述推論與通過尋找數列的子列來判斷數列極限存在與否的方法是一致的，這兩種方法的思路也是完全一樣的。對于函數極限來說，單調有界定理同樣適用，但該定理用在函數的表達中因為其單調具有增減的變化，因而只能對函數一側進行研究，也就是只能對單側極限進行研究。其方法與數列極限有較大的相似之處，只需要進行適當的調整即可。

(4)數列極限與函數極限在其應用方面也存在較多的相似之處，諸如極限的四則運算及相應的證明過程，而對于平均收斂及幾何收斂方面也存在一定的相似之處，只需要進行稍微改動就可以互通使用。但這里應當注意一點，在運用洛必達法則時，若對數列極限進行處理，應當先將數列極限轉化為函數極限，然后借助歸結原則求解數列極限，這主要是因為洛必達法則不能直接用于求解數列極限，其原因在于對離散變量取導數并沒有實際意義。

4 數列極限與函數極限之間的統一

4.1 數列極限與函數極限在定義上的統一

數列及函數極限都可以通過定義來進行證明，即借助ε-δ(或N)描述進行證明，一般步驟如下：

若極限為有限值時，相應證明過程如下：

(1)首先給定任意一個正數ε；

(2)求解不等式|f(x)-A|lt;ε或|an-A|lt;ε，找出δ或N值；

(3)選定δ或N值；

若極限值為無窮大，相應證明過程如下：

(1)給定任意一個正數G；

(2)求解不等式f(x)gt;G(或f(x)lt;-G)；

(3)選定δ值；

4.2 數列極限與函數極限在極限的存在條件方面的統一

(1)夾逼定理

①數列極限中的夾逼準則

若數列{an}，{bn}與{cn}均滿足以下條件：(i)存在正整數N，當ngt;N時，有bn≤an≤cn；(ii)數列{bn}與{cn}的極限相等，且為a，此時數列{an}極限一定存在，且為a[4]。

②函數極限的夾逼準則

(2)柯西準則

①數列極限的柯西準則

數列{an}收斂的充要條件為：對于任意給定的正數ε，存在正整數N，使得當m，ngt;N時，有|xn-xm|lt;ε成立。

②函數極限的柯西準則

設函數f定義域為x0的去心鄰域U0(x0；δ′)，那么f(x)當x→x0極限存在的一個充要條件為：對于任意給定的正數ε，一定有正數δlt;δ′，保證對任意x′，x″∈U0(x0；δ′)時，有|f(x′)-f(x″)|lt;ε成立[5]。

(3)歸結原則(海涅定理)

對于歸結原則的理解和運用應當關注以下兩個方面：

歸結原則能夠將函數極限和數列極限相應存在性緊密地聯系在一起，基于歸結原則我們能夠對兩種極限之間的區別與聯系進行清晰而準確的理解和認識。歸結原則其另一個重要作用和意義在于能夠將函數極限轉化為數列極限或是將數列極限轉化為函數極限來進行處理，這體現了數列極限與函數極限之間的統一性。

4.3 數列極限與函數極限求解方法上的統一

盡管數列極限和函數極限的定義是相互獨立的，但兩者之間存在較為明確的聯系。下面通過歸結原則在數列極限與函數極限中的運用來描述兩者在求解方面中的聯系與統一[7]。

(1)用數列極限來求解函數極限

運用歸結原則實現函數極限與數列極限之間的轉化，應當注意以下兩點：

(2)用函數極限求解數列極限

運用函數極限來求解數列極限，要求實現數列極限向函數極限的轉化。目前，求解函數極限的方法很多，如可以運用函數對應的連續性特征，借助洛必達法則，將函數以泰勒公式展開，或者運用變量代換等相應方法。對于數列向函數的轉化主要是借助歸結原則[8]。

運用函數一系列基本性質，我們可以將數列施以必要的恒等變形，將其轉化為函數形式，然后再借助函數極限相應性質、求解思想以及歸結原則，對轉化后的函數極限進行求解。

例如：

解：首先將此數列極限進行轉化，即

對函數取對數有：

4.4 數列極限與函數極限在應用上的統一

數列極限與函數極限在應用方面存在較多的相似之處，諸如四則運算及相應證明過程，平均收斂與幾何收斂、證明過程以及一些構造性的方法等，二者的基本思路大致相似，僅需要依據條件進行稍微改動就可以了。然而這里應強調一下，在運用洛必達法則時，若遇到數列極限的處理時，應首先轉化為函數極限，然后在進行求解，最后運用歸結原則求出數列的極限值，這是因為在數列極限的形式下是無法運用洛必達法則的，主要是離散變量的求導其本身沒有意義，因而這一點應當特別注意。

5 結語

數列作為特殊的函數，其定義域是自然數集，定義域上的特殊性使得數列極限較為簡單，具有一系列較為特殊的性質，并且這些性質體現出較為明顯的特殊性；而對于函數其定義域為實數集，因而其極限表現出較為明顯的局部性。數列極限與函數極限之間存在較多差別，同時也緊密聯系，因而在極限的求解與運用過程中要能夠明確二者之間的區別與聯系，善于將數列極限與函數極限統一起來，綜合運用極限求解思想和方法來解決實際問題。

[1]張德華.淺析高中數學中有關極限的知識[J].考試周刊，2012(37)：66-67.

[2]游志林.淺析數列極限與函數極限的異同——以華東師范大學《數學分析》第四版為例[J].文理導航，2017(11)：35-35.

[3]何天榮.數列極限與函數極限的異同及其本質原因[J].考試周刊，2016(55)：58-58.

[4]賀飛，劉德.用數列極限計算函數極限的夾逼定理[J].高等數學研究，2007，10(5)：5-8.

[5]蔣志強.函數極限的幾種特殊求法[J].牡丹江教育學院學報，2009(5)：122-123.

[6]張夢陽.一類用數列極限計算函數極限的方法[J].成才之路，2012(33)：33-33.

[7]王金芝.數列極限與函數極限的統一[J].科技致富向導，2010(26)：74-75.

[8]曾祥遠，程功任，李科贊.關于函數和數列極限的相關理論及計算方法的探討[J].教育現代化，2015(12)：253-256.

2017-09-23

[責任編輯姚勝勛]

TheUnificationoftheSequenceLimitandFunctionalLimit

TANGHaibo

(DepartmentofEducation，HanjiangNormalUniversity，ShiyanHubei442000，China)

Limit thought is a common thought method in higher mathematics，which is also the most basic and commonly used method in solving function problems and research.The function limit shows the change of function value in the change process of the independent variable.As a special function，the sequence can be learned and studied by the function and its related thought methods.Sequence limit and function limit have many similarities，but also a lot of differences.The study of similarities and differences between the sequence limit and function limit should grasp the "the sequence is a special function" as the key point.This article，from the definition and nature of sequence limit and the function limit，introduces the similarities and differences between them，and from the definition of limit，the proof of limit，limit’s solving method，describes the unification of them.

limit；the sequence；functions；unification

O143

A

1672-9021(2017)05-00070-06

唐海波(1980-)，男，湖北丹江口人，漢江師范學院教育系講師，主要研究方向：高等數學，初等數學。