碗筷問題分析
——兼談虛功原理在競賽中的應用

朱國強 項秉坷

(1. 浙江省蕭山中學,浙江 杭州 311201； 2. 浙江師范大學初陽學院物理學,浙江 金華 321000)

·競賽園地·

碗筷問題分析
——兼談虛功原理在競賽中的應用

朱國強 項秉坷

(1. 浙江省蕭山中學,浙江 杭州 311201； 2. 浙江師范大學初陽學院物理學,浙江 金華 321000)

分別從牛頓力學與分析力學角度出發,結合幾何學知識,對中學物理競賽經典訓練題——碗筷問題——給出了多種解法,并對各種解法進行比較評析.

碗筷問題； 虛功原理； 虛位移； 力矩； 共點力

1 問題的緣起

碗筷問題是靜力學中一類經典問題,題設條件非常簡潔,但又能較好地考察學生應用數學解決物理問題的的綜合能力.題目如下.

圖1

一根均勻粗細的筷子放置在半徑為r的半球形碗內,筷子靜止在光滑的碗內,筷子在碗內長度為c,如圖1所示.求筷子總長l.

虛功原理是2016版全國中學生物理競賽大綱新增的內容,且為決賽內容.碗筷問題屬于靜力學平衡問題,可以應用包括虛功原理在內的多種方法解決.

2 幾種解法介紹

圖2

首先,這是一個靜力學問題,一般根據受力平衡和力矩平衡,列出方程組來求解.

解法1(如圖2):對筷子,力矩平衡,以P為支點,

對筷子,水平方向受力平衡,N2sinθ=N1cos2θ，

又據幾何關系，

其次,注意到這是一個剛體平衡問題,根據共點力原理,筷子所受到的3個力應該交于一點,如圖2所示.根據幾何關系可確定重心位置進而求出筷子長度.

第三,靜力學問題,可以應用虛功原理求解.虛功原理由伯努利(Bernoulli)1717年提出的,到1764年拉格朗日(Lagrange)進一步完善.虛功原理是指具有理想約束力學體系,其平衡的充要條件是所有主動力在任意虛位移中所作元功之和等于0.1788年拉格朗日出版了世界上最早分析力學的著作《分析力學》.分析力學是建立在虛功原理和達朗貝爾原理的基礎上,兩者結合,可得到動力學普遍方程,從而導出分析力學各種系統的動力方程.

圖3

解法3:建立坐標系如圖3所示.

根據虛功原理,筷子的主動力在任意虛位移中所作元功之和等于0,δW=0.

消去x、y得

第四,由于該碗筷問題的自由度s=1,取δθ為虛位移,應用虛功原理.

解法4:根據虛功原理,筷子的主動力在任意虛位移中所作元功之和等于0,δW=0.

得

第五,該碗筷問題中,主動力只有重力,根據虛功原理可知,重力在任意虛位移中所作元功等于0.

第六,上述虛功原理是力學變分原理的微分形式,同樣可以用力學變分原理的積分形式——哈密頓原理來解決這個問題.

最后,體系的動能T=0且勢能形式非常簡潔,也可以用保守系的拉格朗日方程快速地求解.

3 解法比較分析

牛頓定律及建立在此基礎上的理論稱為牛頓力學(也稱矢量力學),拉格朗日方程及建立在此基礎上的理論稱為拉格朗日力學(也稱分析力學).

(1) 解法1、2是從牛頓力學出發的解法.解法1運用了受力平衡和力矩平衡是解決靜力學問題最基本方法,原則上所有靜力學問題都可由這種方法求解,其不足之處在于需要聯立多條方程求解,計算過程相對復雜.而解法2則利用共點力的3力匯交原理簡化了運算過程,可直接由幾何關系確定重心位置,進而得到了筷子長度.帶來這種便捷的原因是共點力3力匯交原理是剛體力矩平衡方程的體現,故直接運用它可使問題得到簡化.

(2) 解法3到解法6是從分析力學角度出發的解法.其中解法3到解法5的3種解法應用的都是虛功原理,本質相同,不同之處在于對廣義坐標選擇的不同.解法5就是通過靈活選取了廣義坐標θ以及運用幾何關系得到了較為簡潔的求解過程.

(3) 解法6用到的哈密頓原理是和牛頓運動定律等價的原理,同樣是力學的第一性原理,并且廣泛地被用來推導其他原理、定律和方程.我們可以用拉格朗日方程推出哈密頓原理,也可以反過來從哈密頓原理推出拉格朗日方程.解法7則是運用了拉格朗日方程解決問題.可以說,拉格朗日方程是微分變分原理,哈密頓原理是積分變分原理.而虛功原理和哈密頓原理的共同點是也都用到了變分法的精神.分析力學將關注點從力轉向了具有更廣泛意義的能量,同時又擴大了坐標的概念,因而這種方法更便于運用到物理學的其他領域,具有更豐富的內涵和外延.

1 周衍柏.理論力學教程[M].北京:高等教育出版社,1985.

2 韓亞萍,徐曉峰.應用虛功原理時應注意的一個問題[J].大學物理,2000，19(5)： 22-23.

2017-07-30)