人力資本的最優投入路徑和控制路徑

王露梅

(陜西師范大學西北歷史環境與經濟社會發展研究院 陜西 西安 710062)

人力資本的最優投入路徑和控制路徑

王露梅

(陜西師范大學西北歷史環境與經濟社會發展研究院 陜西 西安 710062)

本文呈現了一個包含人力資本和物質資本投入的內生增長模型。人力資本和物質資本是拉動經濟增長的兩大主要動力是普遍接受的觀點。本文關注人力資本對經濟增長的作用，進而探索最優的人力資本投入路徑，以及如何實現最優的配置路徑。模擬的結果表明，人力資本的最優投入路徑是時間的分段函數，在所考察的經濟周期的前半部分，最優的人力資本應該保持在比較低的投入水平，大量的人力資本應該在經濟周期的后半時期投入，同時最優的人力資本投入應該在最優的控制路徑的指導之下進行。

人力資本;經濟增長;最優投入路徑;最優控制路徑

一、 文獻綜述

20世紀60年代Solow提出的新古典經濟增長理論認為，人口增長和技術進步等外生因素是長期經濟增長的決定因素，認為經濟最終會收斂到一條平衡增長的路徑上。缺陷在于新古典經濟增長模型將資本廣義化，將人力資本和物質資本等同處理，沒有體現出人力資本積累在經濟增長過程的特殊作用和貢獻，不能清楚地解釋技術進步的原因和經濟中的規模報酬遞增現象。

20世紀80年代新經濟增長理論的提出彌補了新古典增長理論的不足，強調知識積累、人力資本投資和技術創新對經濟增長持續不斷的作用，更加關注人力資本在經濟中的作用，將“知識、技術”內生于模型中，認為技術進步取決于知識積累、人力資本的溢出等外部效應，并使生產出現規模收益遞增。這一結果與20世紀60年代的新古典理論的預測不一致，主要原因是新古典主義理論單純注重物質資本對經濟增長的推動作用，忽視了人力資本的作用以及人力資本的邊際報酬非遞減性特征，認為外生的技術進步是經濟持續增長的源泉。

相比之下，新增長理論認為，除了物質資本，人力資本的提升可以是內源性的。此外，它假定人力資本的投入不滿足邊際報酬遞減規律，但是在將人力資本和物質資本作為總投入考慮時，總產出能保持邊際報酬不變。在長期中，這些假設條件使得經濟增長平衡成為可能，是內生的人力資本的積累而不是外生的技術進步拉動經濟增長。通過強調人力資本在長期經濟增長的至關重要的作用，新增長理論確實將新古典增長理論向前推動了一步。然而，新增長理論卻忽視了人力資本是如何影響經濟增長的，以及影響的機理和方式。

Robert M. Solow(1956) 提出了長期增長模型并做了靜態分析，Hirofumi Uzaw(1965) 建立了關于資本-勞動的平衡點以及產出的綜合模型，對靜態模型進行了比較分析，但是沒有提出動態的技術路徑。 Robert E.Lucas, Jr(1988) 著重探討了人力資本積累和物質資本積累以及經濟增長的關系，雖然文章的觀點對于后來經濟增長理論的研究具有重大意義，但是作者并沒有提出最優的人力資本以及物質資本的猶如路徑，此外，文章也只是進行了靜態分析。Job Graca, Saqib Jafarey and Apostolis Philippopoulos(1995) 研究了人力資本和物質資本之間的影響關系。JinliZeng(1997) 通過綜合考慮資本積累帶動經濟增長以及技術進步兩方面因素，探究了綜合的內生增長模型。作者認為資本積累和技術進步都是內生性決定的，這兩種不同類型的因素相互作用拉動經濟增長。作者探究了最優的經濟增長率和經濟因素之間的關系，結果表明最優的經濟增長率和人力資本積累、經濟規模、生產效率、以及創新程度正相關，同時在非效率的情況下，經濟增長率將偏離最優的增長率。文章的缺陷在于并未解釋人力資本是如何影響經濟增長的，也沒有提及最優的人力資本的積累路徑。

國內外有很多關于人力資本、物質資本與經濟增長關系的文獻，但是大多數都是從理論層面進行分析，很少有從數理的角度探討人力資本是如何影響經濟增長以及最優的人力資本的投入路徑是什么，相應的最優的控制路徑是什么。這也正是驅動本文進行這方面分析的動力所在。

本文中我們運用最大化原理、控制論知識、以及經濟學原理探究人力資本的最優投入路徑和控制路徑。結果表明，人力資本的最優投入路徑是時間的分段函數，其性質取決于經濟體內部因素之間的相互作用，詳細說來，取決于人力資本的折舊率、平均的物質資本投入水平、以及人力資本投入時間在總時間所占比例。最優的控制路徑也是時間的分段函數，其性質取決于經濟體內部因素。只有在最優的控制路徑下的指導下，才能實現最優的投入路徑。最后，我們通過計算機仿真模擬，以直觀、形象化的方式呈現了最優的人力資本的投入路徑和控制路徑的動態變化，這也正是本文的創新之處。

二、 人力資源基本最優投入和控制的數學模型

(一)模型假設

(1)我們考慮一個封閉的經濟體系，只有物質資本和人力資本兩種投入要素；

(2)其中平均的物質資本的投入是固定的，經濟體系內部不存在人口的自由流動；

(3)人口增長率不變；

(4)在一個經濟周期內沒有技術進步發生(即假設在所研究的時期內技術水平不變)；

(5)假設個人的總時間用來生產和教育，接受教育的時間即為人力資本投入的時間，而且個人可以自行決定工作時間和教育時間；

(二)模型建立

我們以考察時期內總產量最大化為目標函數：

(1)

人力資本的積累方程：

h′(t)=δ(1-u)h

(2)

其中:h代表人力資本，δ是人力資本的折舊率，為一常數。

(三)模型求解

我們的目標是求得左右的人力資本投入h*(t)和最優人力資本投入時間占比u*(t)。我們運用最大化原理，建立 Hamilton方程，表達式如下：

(3)

其中:λ是約束條件(2)的乘數因子

H關于u的一階倒數：

(4)

求解上述方程，我們得到最優的人力資本投入時間占比u*(t)

(5)

很明顯最優的人力資本投入時間占比u*(t)是h(t)和λ(t)的函數，所以如果能得到h(t)和λ(t)，就能求得最優的u*(t)。

H關于h的一階倒數：

(6)

從(4)式我們可知：

(7)

然后(6)可以被化簡為：

λδu+λδ(1-u)=-λ′

(8)

求解上述微分方程(8),我們可得到λ(t)：

λ*(t)=c1e-δt

(9)

最大化H關于λ的一階倒數：

(10)

已知：

求解上述微分方程，得到最優的人力資本投入h*(t)：

(1)

最終求得最優的人力資本投入時間占比u*(t)：

(12)

三、 計算機動態仿真模擬

我們用計算機仿真模擬系統來模擬本文描述的經濟系統。我們將模型中的參數和初試條件設定如下：

仿真模擬的過程和結果如下圖所示。最優的人力資本投入在模擬的20年內一直增加，并且增加的速度越來越快，最優的人力資本的控制路徑表明應逐漸增加人力資本的投入。

圖1 計算機仿真模擬過程

圖2 人力資本的動態模擬

圖3 控制路徑的動態模擬

四、 結果分析和結論

本文探討了以物質資本和人力資本為基礎要素投入的經濟增長模型的最優人力資本投入路徑和相應的最優的人力資本投入占比的控制路徑。結果表明人力資本的最優投入路徑是時間的分段函數，在所考察的經濟周期的前半部分，最優的人力資本應該保持在比較低的投入水平，大量的人力資本應該在經濟周期的后半時期投入，同時最優的人力資本投入應該沿著最優的控制路徑的進行。為了實現經濟最大的增長率，根據最優的控制方程的結果來看，應該在經濟周期的后半部分進行較多的人力資本投入。

對于一個給定的經濟體而言，最優的人力資本投入路徑和控制路徑是唯一的，他取決于經濟體系的內部因素，比如平均的物質資本的投入水平，人力資本的折舊率，人力資本和物質資本的投入占比，技術水平，以及其他的經濟因素。沿著最優的投入路徑和控制路徑，經濟體可實現最大的經濟增長率。同時，最優的投入路徑必須沿著最優的控制路徑進行。

[1]Robert M. Solow, A Contribution to the Theory of Economic Growth, The Quarterly Journal of Economics, Vol. 70, No. 1 (Feb., 1956), pp. 65-94.

[2]Robert M. Solow, Technical Change and the Aggregate Production Function, The Review of Economics and Statistics, Vol. 39, No. 3 (Aug., 1957), pp. 312-320.

[3]Hirofumi Uzawa, Optimum Technical Change in An Aggregative Model of Economic Growth, International Economic Review, Vol. 6, No. 1 (Jan., 1965), pp. 18-31.

[4]Robert E.Lucas,Jr. On the Mechanics of Economic Development, Journal of Monetary Economics 22 (1998)3-42. North-Holland.

[5]Job Graca, Saqib Jafarey and Apost0lis Philippopoulos, Interaction of Human and Physical Capital in a Model of Endogenous Growth, Economics of Planning 28: 93-118, 1995.

[6]Alberto Bucci.Davide La Torre, Population and economic growth with human and physical capital investments, Int Rev Econ (2009) 56:17-27.

[7]Jinlin Zeng, Physical and Human Capital Accumulation,R&D and Economic Growth, Southern Economic Jounal,Vol.63,No.4(Apr,1997), pp.1023-1038

[8]Wei-Bin Zhang, Endogenous Population with Human and Physical Capital Accumulation, Int Rev Econ (2014)61:231-152

[9]Yoram Ben-Porath .The Producti of the Human Capital and the Life of Earnings, the Journal of the Political Economy ,Vol .75, No.4, Part 1(Aug, 1967), pp.352-365

[10]Anna Sjogren, Human capital, R&D and Economic Growth, Working Paper Series in Economics and Finance No.238,May 1998

王露梅(1990- )，女，陜西安康人，陜西師范大學西北歷史環境與經濟社會發展研究院,人口、資源與環境經濟學專業2015級碩士研究生，研究方向:資源環境科學。