利用線性平均值巧解電磁感應問題

(遼寧省凌源市職教中心，遼寧 朝陽 122500)

利用線性平均值巧解電磁感應問題

鄭金

(遼寧省凌源市職教中心，遼寧 朝陽 122500)

本文歸納了線性函數平均值的兩個公式及性質，利用線性平均值公式，巧妙解答有關導體棒在各種磁場中運動、垂直切割磁感線時產生感應電動勢和感應電流的問題。

線性平均值；電磁感應；導體棒；安培力

在有關電磁感應問題中常見的磁場有三種，其一是穩恒勻強磁場，即磁感應強度處處相同，而且不隨時間變化；其二是隨時間均勻變化的勻強磁場；其三是隨空間均勻變化的穩恒磁場。在閉合電路中的導體棒切割磁感線的過程中，某些物理量可能隨時間線性變化，也可能隨位移線性變化，因此需計算平均值。下面按磁場的不同特點,從三方面舉例分析。

1 恒定勻強磁場問題

例1：如圖1所示，兩條水平放置、彼此平行的光滑金屬導軌MN、PQ，間距為L，勻強磁場垂直于導軌平面，磁感應強度為B，導軌左端接阻值為R的電阻。垂直于導軌跨接金屬桿ab，質量為m，電阻為r，導軌電阻不計。現用水平恒力F向右拉ab桿，使之從靜止開始運動，經時間t位移為s，速度為v，求在時間t內流過金屬桿的電流的平均值以及電荷量。

圖1

點評：求感應電動勢時應利用平均值公式，而不用瞬時值公式。求電荷量必須利用電流的平均值，而不能利用瞬時值或有效值。解方程需要一定的技巧，即在求電流的平均值時以BL為整體消去未知量。

例2：如圖2所示，光滑的平行金屬導軌水平放置，電阻不計，間距為l=1m，左端接有阻值為R=0.3Ω的電阻。在區域cdef內存在垂直于導軌平面向下的有界勻強磁場，其邊界寬度為s=1m，磁感應強度的大小為B=0.5T。一質量為m=1kg，電阻為r=0.2Ω的金屬棒置于導軌上，與導軌垂直且接觸良好，以初速度v0=2m/s從磁場的左邊界開始向右運動，并越過磁場的右邊界，假設金屬棒MN在運動過程中始終受到大小與速度成正比的阻力f=kv(k=0.3Ns/m)。求：(1) 金屬棒MN離開磁場時的速度v；(2) 電路中產生的焦耳熱。

圖2

2 隨時間均勻變化的勻強磁場問題

例3：如圖3所示，兩平行金屬導軌MN、PQ固定在絕緣水平面上，間距為L=1.0m，圖中MP、ab、cd、ef之間的距離也為L=1.0m。導軌MN、PQ和導線MP單位長度的電阻為R0=0.1Ω，虛線ab右側空間存在勻強磁場，方向豎直向下，且磁感應強度大小隨時間的變化關系式為Bt=(0.2+0.1t)T，導體棒的電阻不計。若導體棒在外力作用下以2m/s的速度勻速向右運動，在t=0時剛好經過cd處，求：(1) 導體棒從cd處運動到ef的過程中安培力的沖量為多大？(2) 安培力做的功為多少？(3) 電路中產生的焦耳熱為多少？

圖3

點評：在導體棒切割磁感線的同時，磁場還隨時間變化，因此電路中產生兩種感應電動勢，即動生電動勢和感生電動勢。在求解電路中總的感應電動勢時，利用了法拉第電磁感應定律的瞬時值表達式，而不是平均值表達式，要注意回路的面積與回路中磁場區域的面積不相同。在求解沖量、功和熱量時，關鍵是推導出安培力和電功率的瞬時表達式。

3 隨空間均勻變化的穩恒磁場問題

例4(2013年上海高考壓軸題)：如圖4所示，兩根相距l=0.4m、電阻不計的平行光滑金屬導軌水平放置，一端與阻值R=0.15Ω的電阻相連。導軌xgt;0一側存在沿x方向均勻增大的穩恒磁場，其方向與導軌平面垂直，變化率k=0.5T/m，x=0處磁場的磁感應強度B0=0.5T。一根質量m=0.1kg、電阻r=0.05Ω的金屬棒置于導軌上，并與導軌垂直。棒在外力作用下從x=0處以初速度v0=2m/s沿導軌向右運動，運動過程中電阻上消耗的功率不變。求：(1) 回路中的電流；(2) 金屬棒在x=2m處的速度；(3) 金屬棒從x=0運動到x=2m過程中安培力做功的大小；(4) 金屬棒從x=0運動到x=2m過程中外力的平均功率。

圖4

點評：本題解答的關鍵是利用金屬棒克服安培力做的功等于焦耳熱以及焦耳定律來求運動時間，而在求解外力的平均功率時，因難以推導外力的瞬時值表達式，只能應用動能定理求出外力做的功，與時間的比值即為平均功率。要注意安培力對金屬棒做的功為負值，而金屬棒克服安培力做的功則為正值。

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