基于共軛先驗分布的鋼筋混凝土梁受剪承載力預測

呂貝貝，勾靖國，高 峰，譚朝明

（山西大同大學建筑與測繪工程學院，山西大同037003）

基于共軛先驗分布的鋼筋混凝土梁受剪承載力預測

呂貝貝，勾靖國，高 峰，譚朝明

（山西大同大學建筑與測繪工程學院，山西大同037003）

根據貝葉斯統計理論思想，基于我國規范(GB 50010-2010)中鋼筋混凝土梁斜截面受剪承載力計算模型，對鋼筋混凝土梁斜截面受剪承載力進行預測。以共軛分布為先驗分布，以收集到的79組試驗數據為樣本點，對未知模型參數進行估計。研究表明：該方法繼承了先驗模型的完備性和試驗數據的準確性，能對鋼筋混凝土梁斜截面受剪承載力進行合理預測。

共軛先驗分布；鋼筋混凝土梁；斜截面受剪；參數估計

鋼筋混凝土梁作為主要的受彎構件，截面受力復雜，為彎矩、軸力和剪力的綜合作用，但剪切破壞較彎曲破壞危險性大，為沒有明顯征兆的脆性破壞。且抗剪機理復雜，剪切強度的影響因素眾多，各種關于鋼筋混凝土梁斜截面抗剪承載力的預測模型中均蘊含可能占主導作用的主觀不確定性。近年來，貝葉斯統計分析理論已逐漸被引入混凝土領域[1-3]，利用其特殊的解決問題的理念，綜合考慮先驗信息和樣本信息來進行構件或結構的相關計算，并取得了較好的效果。

本文在已有研究的基礎上，以鋼筋混凝土梁為研究對象，收集整理以往試驗數據，結合我國規范GB 50010-2010[4]中的抗剪承載力計算模型，利用貝葉斯共軛先驗分布的思想對梁的抗剪承載能力進行預測研究。

1 基于貝葉斯理論的參數估計法

1.1 無信息先驗分布參數估計

設x1,…,xn為來自正態總體N(μ,σ2)的一組隨機變量，其中均值μ和方差σ2未知，且未掌握其相關信息，則取未知參數(μ,σ)的先驗分布為無信息先驗分布[5]，即

未知參數(μ,σ)聯合后驗分布密度為：

其中：

將式(2)所示聯合后驗分布密度函數，對σ進行積分，即可得參數μ的后驗分布密度函數為：

可見，μ的后驗分布符合t分布，則可根據t分布性質對μ進行估計，即可求得μ的后驗期望及方差。同理將公式(2)所示函數對μ進行積分，可得σ的后驗密度函數為：

所以，σ的后驗分布符合逆Gamma分布，根據逆Gamma分布的性質可對其進行估計。

1.2 共軛先驗分布參數估計

設x1,…,xn為來自正態總體N(μ,σ2)的一組隨機變量，其中σ2已知，μ未知，并取其共軛先驗分布為正態分布N(μ0,)，則其后驗分布仍為正態分布[6]，計算如下：

由公式(7)可知，未知參數μ的共軛后驗分布符合正態分布N(B∕A，A-1)，根據正態分布性質可得其估計值。

2 Bayes剪力預測

2.1 先驗模型

本文選取規范(GB 50010-2010)中有腹筋梁斜截面受剪承載力計算模型為先驗模型。當僅配置箍筋時，矩形、T形和I形截面一般受彎構件的斜截面受剪承載力應符合：

式中：Vcs為斜截面受剪承載力設計值；Asv為箍筋截面面積；s為箍筋間距；ft為混凝土軸心抗拉強度設計值；fyv為箍筋抗拉強度設計值；b為截面寬度；h0為構件截面有效高度。

當同時配有箍筋和彎起鋼筋時，矩形、T形和I形截面受彎構件的斜截面受剪承載力應符合下列規定：

式中：Vu為配彎起鋼筋的剪力計算值；Vsb為彎起鋼筋承擔的拉力在垂直梁軸方向上的分力值；fy為彎起鋼筋的抗拉強度設計值；Asb為彎起鋼筋截面面積；αs為彎起鋼筋與構件縱軸線的夾角。

2.2 基于共軛先驗分布的剪力預測

參閱鋼筋混凝土構件試驗數據集[7]，整理集中荷載作用下鋼筋混凝土簡支梁抗剪試驗數據，共得79組。鑒于篇幅原因，本文以數據出處為單位，根據鋼筋混凝土梁受剪承載力的影響因素對該試驗數據進行了統一整理，見表1。

表1 試驗數據

圖1 Vexp/VGB頻數直方圖

圖1繪制了鋼筋混凝土梁剪力試驗值與對應試件規范剪力計算值比值Vexp∕VGB的頻數直方圖，呈倒鐘形，可見Vexp∕VGB近似服從正態分布?，F假設Vexp∕VGB～N(μ,σ2)，其中μ和σ均未知，利用上述貝葉斯參數估計法以及79組試驗數據對其進行估計。首先以前40組試驗數據為樣本信息，根據無信息先驗分布參數估計法對未知參數(μ,σ)進行估計；然后以后39組試驗數據為樣本信息，且假設σ已知，并以上一環節計算結果為參數(μ,σ)的先驗信息，根據共軛先驗分布參數估計法對未知參數μ進行估計，結果見表2。據此對鋼筋混凝土梁抗剪承載力進行預測，預測結果為VGB,B。

表2 參數估計結果

3 驗證

表3給出了鋼筋混凝土梁基于先驗模型的剪力預測值VGB與基于共軛先驗分布的剪力預測值VGB,B相對試驗值Vexp的對比結果，其中μ(Vexp∕VGB,B)=1.024 8，較μ(Vexp∕VGB)=1.468 5更接近于 1；且σ2(Vexp∕VGB,B)=0.016 7，較方差σ2(Vexp∕VGB)=0.034 3顯著減小。可見基于共軛先驗分布的剪力預測值VGB,B與試驗值Vexp更加吻合，且隨機性較小。

表3 貝葉斯更新前后對比

圖2以散點圖的形式描繪了鋼筋混凝土梁進行貝葉斯更新前后的剪力預測值與試驗值的對比情況，其中實心方框代表基于共軛先驗分布的剪力預測值VGB,B，空心方框代表基于中國規范模型的剪力預測值VGB，位于斜直線上方的樣本點表示該構件的剪力預測值較試驗值偏大，相反，位于斜直線下方的樣本點表示預測值較試驗值偏小。因此，由圖可知貝葉斯更新前后的兩組剪力預測值VGB與VGB,B分布相同，但VGB,B分布更為集中且更靠近直線。說明，經貝葉斯更新后的鋼筋混凝土梁剪力預測值較更新前更接近試驗值，認為基于共軛先驗分布的剪力預測模型可對鋼筋混凝土梁抗剪承載能力進行無偏估計。

圖2 貝葉斯更新前后對比散點圖

4 結論

在已有研究基礎上，本文以規范模型為先驗模型，以試驗數據為樣本信息，采用貝葉斯統計推斷的思想，利用共軛先驗分布對未知模型參數進行估計，從而達到對鋼筋混凝土梁斜截面抗剪承載力預測的目的。研究表明，基于貝葉斯共軛先驗分布的剪力預測值繼承了先驗模型的發展趨勢，且與試驗值吻合良好，能對鋼筋混凝土梁抗剪承載力進行無偏估計。

[1]劉伯權,劉喜,吳濤.基于共軛先驗分布的深受彎構件受剪承載力概率模型分析[J].工程力學,2015,32(4):160-177.

[2]潘亮,劉喜,邢國華.鋼筋混凝土梁受剪概率模型分析[J].世界地震工程,2015,31(3):107-113.

[3]Paolo Gardon,Armen Der Kiureghian.Probabilistic Capacity Models and Fragility Estimates for Reinforced Concrete Columns based on Experimental Observations[J].Journal of Engineering Mechanics,2002,128(10):1024-1038.

[4]中華人民共和國住房和城鄉建設部.混凝土結構設計規范:GB 50010-2010[S].北京:中國建筑工業出版社,2010.

[5]張堯庭,陳漢峰.貝葉斯統計推斷[M].北京:科學出版社,1991.

[6]朱慧明,韓玉啟.貝葉斯多元統計推斷理論[M].北京：科學出版社,2006.

[7]中國建筑科學研究院.鋼筋混凝土構件試驗數據集-85年設計規范背景資料續編[M].北京:中國建筑工業出版社,1985.

[8]李艷艷.配置500MPa鋼筋的混凝土梁受力性能的試驗研究[D].天津:天津大學,2007.

〔責任編輯 王東〕

Shear Strength Prediction for Reinforced Concrete Beams Based on Conjugate Prior Information

LV Bei-bei，GOU Jing-guo，GAO Feng，TAN Zhao-ming

(School of Archi trcture and Surveying and Mapping Engineering,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037003)

Shear strength prediction of reinforced concrete beams is analyzed based on the Bayesian theory.Two types of informa ?tion,the prior model that shear capacity calculation formula in Chinese code,and the conjugate prior information,are synthesized into Bayesian posterior estimate for unknown parameters.It shows that this method inherits the completeness of prior model and the accura?cy of test data.The shear strength based on conjugate prior information can be conveniently used for the prediction of the shear capaci?ty for reinforced concrete beams,and the calculated results are proved good by test data.

conjugate prior information;reinforced concrete beams;shear strength;Bayesian parameter estimation

TU375.4

A

1674-0874(2017)05-0063-03

2017-05-08

呂貝貝（1989-），女，河北衡水人，碩士，助教，研究方向：鋼筋混凝土結構抗震。