微分求積方法解時間分數階擴散方程

曹 煥, 張學瑩, 劉 薈

(河海大學 理學院， 江蘇 南京 211100)

微分求積方法解時間分數階擴散方程

曹 煥, 張學瑩*, 劉 薈

(河海大學 理學院， 江蘇 南京 211100)

微分求積(DQ)法是一種基于徑向基函數(RBFs)插值的無網格方法.本文選MultiQ-uadrics(MQ)函數作為徑向基函數,并采用微分求積方法解決時間分數階擴散方程。在離散過程中,采用有限差分法離散時間項,采用微分求積方法離散空間項.最后，結合數值求解的結果做出相應的誤差分析.

徑向基函數； MQ函數； 微分求積法； 時間分數階擴散方程

0 引言

近年來,反常擴散現象在物理學和工程學等領域得到了廣泛的關注[1,2],比如：污染物的運輸、滲流、損耗以及磁等離子體等問題.與正常的擴散現象相比,反常擴散現象具有較強的遠程相互作用與歷史依賴性等特點,而標準的整數階偏微分方程已經無法準確的描述這類反常擴散行為[3].隨后,分

數階導數被陸續的證實是一種可以準確的描述這類反常擴散現象的數學模型[4].所以,為了解決這些問題,引入了分數階擴散方程.

由于分數階偏微分方程中含有分數階的導數,不容易求解分數階偏微分方程的解析解,因此很多人研究其數值解法.目前,有限差分方法[5]已被證實為對分數階擴散方程進行時間和空間上離散的一種有效方法.對于分數階擴散方程的數值解法，也可以選擇其他合適的方法對其空間上的離散,例如:邊界元法[6],有限元法[7,8],傅里葉法[9],無網格徑向基函數法[10-13]等.與傳統的有限差分方法對空間的離散相比較，對于處理一些大規模問題，這些方法在一定程度上減少了計算量，同時又提高了計算效率.2003年，Shu C提出DQ法解整數階的偏微分方程,且取得較理想的結果.本文將這一方法運用到解分數階偏微分方程中，并給出誤差結果分析.

1 基本理論

1.1 時間分數階擴散方程

(1)

0lt;αlt;1,X∈Ω,t∈(0,T)

邊界條件:

u(X,t)=g(X,t)，X∈?Ω,t∈(0,T)

(2)

初始條件:

u(X,0)=u0(X),X∈Ω

(3)

式(1)～(3)中：Q(X,t),g(X,t),u0(x)是給定的函數,T是總時間,?α/?tα是關于時間t的分數階導.

本文采用Caputo時間分數階導數的定義,定義如下:

(4)

這里0lt;αlt;1.

1.2 FDM方法對時間的離散

首先把區間[0,T]分割成K個小區間,定義tk=kτ,k=0,1,…,K,這里τ=T/K為時間步長.用u(X,tk)表示函數u(X,t)在tk處的精確解.本文利用有限差分方法在t=tk+1處對時間分數階導數進行離散,有

(5)

式(5)中：

根據式(5),對方程式(1)進行時間離散,得到

Δuk+1+Qk+1=

(6)

1.3 微分求積方法對空間的離散

設f(x)是光滑函數,其中x=(x1,x2,…,xn)T.已知它在節點xi及其支撐域內各支撐點xj,j=1,2,…,n上的函數值,則f(x)關于xk的m階導數可以表示為

(7)

(8)

可將其寫成矩陣形式是

(9)

由文獻[14]可知式(9)中的矩陣是條件正定的,故系數矩陣是可逆的,從而可求得系數.再將其代入式(7),就可以求出函數f(x)關于xk的m階導數的近似值.

由上述過程,本文采用DQ方法對方程式(6)進行空間離散,可知

(10)

再將式(10)代入式(6)得到對空間的離散,并對其整理可得

(11)

2 數值算例

本文考慮在規則區域Ω=[0,0.5]×[0,0.5]內,檢驗時間分數階擴散方程的有效性和準確性.數值的準確性由均方根誤差(RMSE),最大絕對誤差(MAE)和最大相對誤差(RAE)計算.其誤差定義如下：

算例

0lt;αlt;1,X∈Ω,t∈T

邊界條件:

u(X,t)=t2ex+y,

X∈?Ω,t∈(0,T)

初始條件:

u(X,0)=0,X∈Ω.

α=0.9,Ω=[0,0.5]2，

Q(X,t)=(2t2-α/Γ(3-α)-2t2)ex+y.

該方程的精確解為

u(X,t)=t2ex+y,x∈Ω,t∈(0,T).

圖1為選取網格點N=961,分數階導數α=0.9,時間步長dt=0.1,參數c=0.05時的絕對誤差和相對誤差圖.

(a) N=961,α=0.9,dt=0.1,c=0.5時絕對誤差圖

(b) N=961,α=0.9,dt=0.1,c=0.5時相對誤差分布圖

圖2為選取分數階導數α=0.9,參數c=0.02時,隨著插值點個數增加,不同時間步長下的均方差對比圖;圖3為選取分數階導數α=0.9,時間步長t=0.1時,隨著插值點個數增加,不同參數下的均方差對比圖.

圖2 不同時間步長下的均方根誤差比較

圖3 不同參數c下的均方根誤差比較

從圖2和圖3可以看出,參數c和時間步長的選取對數值結果有較大的影響,當選取較大的時間步長時,精度有明顯的提高,當插值點個數為256時,精度達到最高,當插值點個數的增加,精度變化幅度逐漸減小,最終趨于穩定,但如果點再繼續增加,就可能會出現病態;當選取較小的參數c時,隨著插值點個數的增加,精度開始有明顯的提高,但當插值點個數再增加時,精度變化幅度逐漸減小,最終趨于穩定.因此,選取適當的時間步長和參數c是提高數值結果精度的有效方法.

表1為選取時間步長t=0.1,參數c=0.02時,不同分數階導數下的絕對誤差和相對誤差的結果比較.

表1 t=0.1，c=0.02時不同α下的絕對誤差和相對誤差比較

從表1可以看出,當取時間步長t=0.1,參數c=0.02,分數階的導數越接近1時,隨著插值點個數的增加,誤差越來越精確.

3 結論

本文在結合有限差分方法的基礎上，應用微分求積方法對規則區域上的時間分數階擴散方程進行數值求解.根據Caputo分數階導數的積分定義,利用有限差分方法對時間導數進行離散,利用微分求積方法對空間導數進行離散,并通過數值算例得出數值結果.

數值結果表明,微分求積方法是解決時間分數階擴散方程比較可行的方法.在解決問題的過程中，選取了MQ函數作為徑向基函數,從圖3可以看出參數c的選擇對數值結果具有很大的影響,當選取適當參數c時,數值結果的精度更高.同時，還可得出時間步長和插值點個數也對其具有一定影響.

后續，還可進一步討論在不規則區域上此方法的可行性以及怎樣選取參數c可使數值結果達到更好的精度.

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【責任編輯：蔣亞儒】

Thedifferentialquadraturemethodsolutionsforthetime-fractionaldiffusionequation

CAO Huan, ZHANG Xue-ying*, LIU Hui

(School of Science, Hohai University, Nanjing 211100, China)

The differential quadrature method is an alternative radial basis functions (RBFs) meshless method.This article selects MQ function as the radial basis function,and applys the differential quadrature method to solve the time fractional diffusion equation.In the discretization formulation,a finite difference scheme and the DQ are used repectively to discretize time fractional derivative and spatial derivative terms.Finally we make the error analysis with the results of the numerical investigation example.

RBFs; MQ function; DQ method; time fractional diffusion function

2017-08-27

教育部留學回國人員科研啟動基金項目(20145003412)； 江蘇省自然科學基金項目(BK20160853)

曹 煥(1992-)，女，山東菏澤人，在讀碩士研究生，研究方向：計算數學

張學瑩(1973-)，男，山東郯城人，副教授，碩士生導師，研究方向：計算數學， zhangxy@hhu.edu.cn

2096-398X(2017)06-0179-04

O241.82

A