“借題發(fā)揮”探索解題的應(yīng)用價(jià)值

黎康麗

【摘 要】學(xué)會(huì)解題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一，解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教師的基本功，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的“微觀藝術(shù)”。文章分別探討了一題多解、一題多變、一題多用的教學(xué)價(jià)值，提出一題多解有助于拓寬學(xué)生的解題思路，發(fā)展其觀察、想象、探索及思維能力；一題多變可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平；一題多用既可以幫助學(xué)生掌握概念、定理以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的手段，又可以使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，形成技能技巧以及數(shù)學(xué)能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；應(yīng)用價(jià)值

文玩，不用不晶瑩潤(rùn)澤；玉器，不盤不潤(rùn)澤透亮；香茶，不品不馥郁回甘；陳題，不整理不能體會(huì)解題之樂，不反思不能品味解題之趣。如果說解題的過程要出現(xiàn)思維火花的碰撞之美，那么比較陳題的多種解法，歸納解題思路，理順解題策略就是把玩數(shù)學(xué)思維的千姿百態(tài)和欣賞數(shù)學(xué)方法的暖玉生香。

問題是數(shù)學(xué)的心臟，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，關(guān)鍵之一是學(xué)會(huì)解題。解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教師的基本功，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的“微觀藝術(shù)”，而任何藝術(shù)的精彩之處和感人之處，也許就在這“微觀”之中?！敖桀}發(fā)揮”，探索一題多解、一題多變、一題多用的價(jià)值，以促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)從多層次、廣視角、全方位地認(rèn)識(shí)、研究問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。

一、一題多解的教學(xué)價(jià)值

一道數(shù)學(xué)題，由不同角度思考可得到多種不同的思路，廣闊尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發(fā)展觀察、想象、探索及思維能力。如何充分發(fā)掘利用例題的價(jià)值，是數(shù)學(xué)教育工作者不斷探索的一個(gè)熱點(diǎn)問題。重視習(xí)題潛存著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性，從解題到獨(dú)立地提出類似問題到解答問題，這個(gè)過程顯然在擴(kuò)大解題的武器庫(kù)，學(xué)生利用類比和概括的能力在形成；辯證思維、思維的獨(dú)立性以及創(chuàng)造性的素質(zhì)也在發(fā)展。

如圖，某煤氣公司安裝煤氣管道，他們從點(diǎn)A處鋪設(shè)到點(diǎn)B處時(shí)，由于有一個(gè)人工湖擋住了去路，需要改變方向經(jīng)過點(diǎn)C，再拐到點(diǎn)D，然后沿與AB平行的DE方向繼續(xù)鋪設(shè)。如果∠ABC=135°，∠BCD=60°，那么∠CDE的度數(shù)為 。

思路分析：解答此類實(shí)際問題應(yīng)先轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，明確從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形以及圖形中的數(shù)量和位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是添加輔助線。通過觀察可知，已知條件∠ABC、∠BCD與所求的∠CDE之間沒有直接關(guān)系，要想計(jì)算∠CDE的度數(shù)，關(guān)鍵在于AB∥DE這個(gè)條件的應(yīng)用。

解法一：延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F。

∵AB∥GE

∴∠GFC=∠ABC=135°

∴∠DFC=180°-∠GFC

=180°-135°=45°

∵∠FDC=180°-∠DFC-∠FCD

=180°-45°-60°=75°

∴∠CDE=180°-∠FDC

=180°-75°=105°

解法二：延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F。

∵AB∥EF

∴∠BFD=∠ABC=135°

∴∠DFC=45°

∵∠FDC=180°-∠DFC-∠FCD

=180°-45°-60°=75°

∴∠CDE=180°-∠FDC

=180°-75°=105°

解法三：過點(diǎn)C作CF∥DE。

則∠CDE+∠DCF=180°

∵AB∥DE

∴AB∥CF

∴∠BCF=∠ABC=135°

即∠BCD+∠DCF=135°

∵∠BCD=60°

∴∠DCF=75°

∴∠CDE=180°-∠DCF

=180°-75°=105°

二、一題多變的教學(xué)價(jià)值

一個(gè)例題，如果靜止地、孤立地去解答它，那么再好充其量也只不過是解決了一個(gè)問題。把原題目進(jìn)行變式，難度進(jìn)一步加大，數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)突出探索活動(dòng)，探索活動(dòng)不僅停留在對(duì)原習(xí)題的解法上探索上，而應(yīng)適當(dāng)?shù)赜袡C(jī)地對(duì)原習(xí)題進(jìn)行深層的探索，挖掘出更深刻的結(jié)論，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式藝術(shù)。變式，是一種探索問題的方法，也是一種值得提倡的學(xué)習(xí)方法；變式，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，可以有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。

【變式一】如圖，某煤氣公司安裝煤氣管道，他們從點(diǎn)A處鋪設(shè)到點(diǎn)B處時(shí)，由于有一個(gè)人工湖擋住了去路，需要改變方向經(jīng)過點(diǎn)C，再拐到點(diǎn)D，然后沿與AB平行的DE方向繼續(xù)鋪設(shè)。如果∠BCD=50°，那么∠ABC+∠CDE= 度。

解：過C作QW∥AB

∵AB∥DE

∴AB∥DE∥QW

∴∠ABC+∠QCB

=180°，

∠CDE+∠DCW=180°

∴∠ABC=180°-∠QCB，

∠CDE=180°-∠DCW

∴∠ABC+∠CDE

=360°-（∠QCB+∠DCW）

∵∠BCD=50°

∴∠QCB+∠DCW

=180°-50°=130°

∴∠ABC+∠CDE=230°

【變式二】如圖，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC=60°，∠CDE=140°，求∠BCD的度數(shù) 。

解：

∵AB∥CF

∴∠BCF=∠ABC=60°

∵DE∥CF

∴∠DCF+∠CDE=180°

∴∠DCF=180°-∠CDE

=180°-140°=40°

∴∠BCD=∠BCF-∠DCF

=60°-40°=20°endprint

【變式三】如圖，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD= 度。

方法一：像原題作CF∥DE，解題方法與原題一樣，除了以上做法，經(jīng)過思考同學(xué)們還有新的想法。

方法二：反向延長(zhǎng)DE交BC于M。

∵AB∥DE

∴∠BMD=∠ABC=80°

∴∠CMD=180°-∠BMD=100°

又∵∠CDE=∠CMD+∠DCM

∴∠BCD=∠CDE-∠CMD

=140°-100°=40°

【變式四】如圖1，已知AB∥CD，則∠α、∠β、∠γ三者之間的關(guān)系為 。

解：過點(diǎn)E作EF∥AB（如圖2）

∴∠α+∠AEF=180°

∵AB∥CD

∴EF∥CD

∴∠FED=∠EDC

∵∠β=∠AEF+∠FED

又∵∠γ=∠EDC

∴∠α+∠β-∠γ=180°

三、一題多用的數(shù)學(xué)價(jià)值

教學(xué)例題大多有其廣泛的應(yīng)用，一題多解，實(shí)現(xiàn)“由點(diǎn)到線”的變化；一題多解，又實(shí)現(xiàn)“由線擴(kuò)大到面”的變化；而“借題發(fā)揮”，則進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)“由面到體”的變化。這樣，例題教學(xué)便可多層次、廣視角、全方位地進(jìn)行研究與拓展，充分發(fā)揮其潛能。一個(gè)有責(zé)任心的教師與其窮于以為是煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當(dāng)選擇某些有意義又不太復(fù)雜的題目，以幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題過程中，提高他們的才智與推理能力。探索解題，幫助學(xué)生掌握概念、定理及其數(shù)學(xué)知識(shí)的手段，又使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，形成技能技巧以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要手段。

如圖3，MA1∥NA2，則∠A1+∠A2= 度。

如圖4，MA1∥NA3，則∠A1+∠A2+∠A3= 度。

如圖5，MA1∥NA4，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 度。

從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

如圖6，MA1∥NAn，則∠A1+∠A2+∠A3+……+∠An= 度。

為驗(yàn)證你的結(jié)論，請(qǐng)你對(duì)圖4證明它的正確性。

如圖3，180度；如圖4，360度；如圖5，540度；如圖6，180（n-1）度。

證明：如圖4，過點(diǎn)A2作PQ∥MA1。

∵PQ∥MA1，MA1∥NA3

∴PQ∥MA1∥NA3

∴∠A1+∠A1A2P=180°

∠PA2A3+∠A3=180°

∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3=360°endprint