基于轉化思想的高中數學解題分類總結

楊雯

摘 要：轉化思想也稱為歸化思維，它是將復雜和未知的問題，通過歸集、聯想、方向等各種途徑轉化為簡單和已知知識的組合，精髓在于化繁為簡。轉化方法主要有變量和常量轉化、正與反轉化、等與不等轉化、數與形轉化、一般與極端轉化。一般而言，在解決數學題時，轉化都是等價的，也就是轉化前和轉化后的必須是同一個問題的兩面，例如正與反的轉化必須是前后互斥，不能互相干擾。而一些不等價的轉化通過修正能夠幫助我們解決一些異常復雜的問題。無論哪一種轉化方法，一方面需要對問題進行正確觀察和梳理，另一方面需要對簡單知識進行熟練掌握。因此，轉化思維能力不僅需要加強常識和簡單知識的掌握，還需要培養沉著冷靜的心理素質。本文首先概述了轉化思想的意義和本質，并對轉化方法的類別進行總結，最后提出訓練轉化思維能力的措施建議。

關鍵詞：轉化思想；解題；分類；總結

一、 引言

高中數學體系復雜多變，它不僅以小學和初中的知識為基礎，本階段的知識點更需要大量的時間和精力去理解和掌握。對于課業繁重的高中階段學生而言，如果沒有一套高效的工具，很難輕松地在高中數學以及其他各科之間游刃有余。轉化思維作為一個普遍使用的思維方法和工具，能夠幫助學生更高效地解決數學難題。轉化思維是將較為復雜的問題，通過觀察梳理，經過歸類變形、替代、反向、拆分等手段，將交錯或者難懂的關系形態轉化為區塊分明、條理清晰的已知知識的組合和關聯。轉化不是隨機或者碰運氣，它需要科學理解問題為前提。一個數學難題，可能有多重解題方法，正是由于一開始轉化的方法選擇不同，才有了最終的殊途同歸。當然，其中有拐彎，有一點即通。其區別也正是在于前提觀察分析是否透徹。只有經過不斷地訓練和遭遇各種各樣的問題，并且能夠從不同角度去思考，才能快速地識別問題來源和類型，從而匹配最有效的轉化方法。

二、 高中數學解題的轉化方法

在運用轉化思維解決數學問題時，并沒有統一的模式和套路，它因每個人看問題習慣以及擅長的領域而不同，例如有人對圖形很敏感，那么他會習慣于進行數和形的轉化；也有人對公式熟悉，那么他能夠很輕松地發現數與數之間的關聯。轉化思想具有靈活性和多樣性，它隨著個人對知識掌握的全面深刻程度的提高而更加具有效力。在解決高中數學問題時，常用的轉化方法有以下幾種：

正與反之間的轉化。很多數學問題從正面去觀察，答案將不是唯一的數值，例如求解f（x）=4x2-ax+1在（0，1）內具有至少一個零點時，其系數的取值范圍。從正面看，該問題應分三種情形，即左曲線相交，右曲線相交及兩邊相交。如果分類討論也可以解決該問題，但是效率將大大降低。但是運用正與反的轉化方法，從問題的反面也就是沒有實數根的情形入手，那么只有一種情形，而其答案的方面正好是原問題的結論。正與反之間的轉化本質在于，能夠找到與問題相對，或者互補的另一面。

一般和特殊之間的轉化。對于答案是確定數值的問題，可以運用一般和特殊之間的轉化。一般情況成立，那么特殊情形也將成立。例如對于兩個確定確數關系的變量，可以通過帶入兩個常數來代替，這也是常量和變量之間轉化的一種形式。但對于答案一個固定值的問題，則不能用一般和特殊之間的轉化。

數與型之間的轉化。很多數量關系可以轉化為圖形，尤其是在求解出關鍵交點后，可以利用圖形的規律來理解數量之間的關系。圖形更加直觀，通過觀察圖形的規律，還能夠找到更加快捷的解決問題的途徑。例如求解f（x）=2-cos2x-4asinx的最大值和最小值，直接對函數進行處理比較困難。由于三角函數曲線具有特定的形狀和趨勢，因此可以考慮將其轉化為函數的最值問題，即找到關鍵的交點。通過轉化可得y=1-2a2+2（sinx-a）2，由于sinx的值在-1和1之間，是一個相對確定的區間。因此可以僅對a進行分類討論，從而得出不同情形下的最大值和最小值。

陌生與已知的轉化。陌生與已知之間的轉化是轉化思想最為核心的邏輯，無論問題是否有一個明確的結論，都可以將其從最復雜的狀態分解到完全透徹或者相對可以理解的階段。例如平行四邊形有ABCD四個角，其中相鄰兩角A、B是4∶5的關系，求四邊形的每一個角的度數。雖然這個問題一眼看不出每個角的度數，但是我們知道平行四邊形有兩個特征，一是兩組對角相等，二是兩個相鄰角相加等于180度。從而可以算出A角的度數為80度，B角的度數為100度，C角的度數為80度，D角為100度。

以上幾種轉化方案具有的共同特點是，將未知的問題，逐步轉化為已知或者已經解決的問題的組合，甚至是常識問題。而這個轉化的過程不是隨機和碰運氣的，它需要遵循一定的原則，這些原則也是能夠幫助一些對基礎知識掌握不牢固或者思維比較定勢的學生，減少隨機轉化帶來的困擾。

三、 運用轉化思想解題是應遵循的原則

由于數學問題形式的多樣性和靈活性，我們要科學地選擇轉化的方向和路徑，應避免生搬硬套例題，最終的考核中以及生活中，我們不可能全都遇到完全一樣的問題。在聯系數學解題時，我們應遵循熟悉化、標準化、簡單化、直觀化、有效化的原則。

熟悉化原則，就是將問題轉化為我們熟悉的知識來尋找突破口。如已知a，b都是實數，且a*平方根（1-b2）+b*平方根（1-a2）=1，求證：a2+b2=1。從問題表面看，a，b都是變量，且無法通過等式變化歸集到結論。但我們很明顯可以觀察到，a*平方根（1-b2）和 b*平方根（1-a2）有一個我們很熟悉的不等式，即a*平方根（1-b2）≤1/2*{a2+（1-b）2}和b*平方根（1-a2）≤1/2*{b2+（1-a）2}，進而得到a*平方根（1-b2）+b*平方根（1-a2）≤1，而由題目已知a*平方根（1-b2）+b*平方根（1-a2）=1，則可判斷要使得等式成立，必有a=平方根（1-b2）且 b=平方根（1-a2），即a2+b2=1。因此，在遇到復雜問題時，需要自己觀察問題屬于哪一塊知識，進而聯想與之相關的已知知識。

簡單化原則，就是將問題通過歸類、分割等方式進行簡化，而不是按部就班或者混亂顛倒地糾纏于各種關系之間。我們日常生活中也會遇到很多最為簡單的分類統計的問題，例如三種不同長度的一堆筷子共有1000根需要分類清點數量，那么最快方法就是將其一端對齊，從而很快能夠進行分類。然后找一個寬度固定的盒子將分好的筷子層層疊起來對齊，最后算下每層多少根，總共幾層即可。這比起一根根撿和數起來要高效很多。很多數學問題以及日常中遇到的問題，表面都被很多迷霧遮擋，或者有意繞了一個彎子，實際上進行梳理和拆分，就能夠看到問題各個因子之間的關系本質。對于高中數學問題，簡單化的方式主要有從分式到整式、從超越式到代數式、從無理式到有理式等等。

數形結合原則，對于比較抽象的問題，通過作圖可以轉化為比較直觀的幾何關系，以便準確把握問題的求解過程。例如對于三開的衣柜門尺寸計算，已知櫥柜總寬度3米，內部空間均分為3塊，左右各有相等寬度抽屜拉出。三塊移門不僅要求關閉時互相重疊2厘米不能有空隙，還要求三者左右移動并且不阻礙抽屜拉出。對于這樣抽象的問題描述，很難直接寫出數量關系式，而直接作圖能夠很直觀地觀察移門不同位置下所需要的數值。數形轉化的用途很廣，能夠解決生活和工作中的大量疑難問題，對轉化思維的鍛煉很有幫助。

對于以上幾個原則，不能教條式地執行，而需要結合自己的經驗和觀察能力，針對不同類型的問題，巧妙地運用。而個人經驗和觀察能力的培養，則是一個漫長積累的過程，需要從小就從家庭、學校和自我內心持續性地強化。

四、 轉化思想的培養方法

轉化思想的本質是化繁為簡：抽絲剝繭的過程。它被運用在數學解題中能夠幫助我們更具有邏輯思維，培養我們養成一種良好的解決問題的思維習慣和應變能力。但是在日常教學中，老師盡管每天都在灌輸轉化思想，不斷地對解題進行剖析，但絕大部分學生還是很難真正掌握，更不用說運用到其他學科以及日常生活和未來的工作中。可見轉化思想需要從小就進行系統性的訓練，本文認為可以從以下幾個方面來促進學生轉化思維能力的提高：

首先，應從小幼兒開始培養主動思考和交流的能力。轉化思想的運用必須以冷靜的心態和活躍的思維為基礎，尤其是高中數學紛繁復雜的知識體系，更需要學生在極端的時間內冷靜而快速地找到解決辦法。一直以來，我們的教育主要以灌輸式為主，即老師講套路式的教學內容按部就班地“移交”給學生；在家中，家長在與孩子交流和討論時，也是指令式地傳遞知識和觀念。學生無論是在遇到課本中問題還是日常生活中的問題時，都缺少分析問題的能力，只會按部就班地去已被告知的案例中尋找答案。一旦題目稍加轉化或者遇到全新的題型，就很難找到突破口。而國外教育的領先之處在于，家長和幼兒老師在孩子小時候就建立起平等的交流關系，充分發揮孩子主動思考和探索的主動性，因此我們能夠看到國外的小孩子在與人對話時邏輯性很強，而且思維很發散。

其次，基礎知識必須牢牢掌握。數學之所以是學生感到最為頭疼的學科之一，是因為從你接觸它的一開始就必須一點一滴地積累，從最簡單的數字、關系、圖形到函數、級數、向量等。后面學習的知識必須以前面的為基礎，如果基礎打得不牢固，就會在理解新知識和問題時受到非常大的制約。轉化思維的精髓在于化繁為簡，但前提是學生必須知道什么是簡單。如果連最簡單的知識點都沒有理解或者熟練掌握，那么在短時間里解題時，就很難會想到某一個突破口。因此，轉化思維的訓練，必須從小學和初中開始。在原有的教學范圍里，加入一些超年級的內容，然后讓學生自己運用本階段已學習的知識或者自己從課外學習到的技能去解決，將能夠更好地強化轉化思維能力，同時也帶來一定的成就感。

最后，加強在生活中的知識運用。轉化思維不僅可以用于數學題的解答，它更是生活和工作中核心的工具。遇到任何問題，都需要冷靜對待和閱讀，讀出問題的來源、聯系、本質等，才能通過各種工具和經驗，甚至是創造性的嘗試，去有步驟、有條理地拆分問題，解決問題。在日常生活中，我們無時無刻不在運用數學知識，如果能夠不斷地思考如何通過快捷的方式，更好地去解決，那將是轉化思維最為生動的應用，也是數學解題訓練為我們帶來的終極能力。

參考文獻：

[1]林雪.關于轉化思想方法在高中數學解題中的應用探討[J].中國校外教育，2016，（13）.

[2]許諾.關于高中數學函數解題思路多元化的方法舉例探索[J].科學大眾，2016，（02）.

[3]郭秀英.高中數學教學方法研究——以人教版為例[J].中國校外教育，2016，（31）.

[4]周佩青.轉化思想在數學解題中的妙用[J].教育教學論壇，2013，（18）.