籌算對中國古代數學發展的影響探析

白宇航

摘 要：中國古代數學取得了十分輝煌的成就，但最后被西方數學所兼容，可謂是成也籌算，敗也籌算。本文簡單分析了籌算并總結了其對中國古代數學的影響，以供參考。

關鍵詞：籌算；古代數學；影響

一、 引言

籌算是我國古代數學中一種計算方法，大約始于春秋時期，是用刻有數字的竹籌記數、運算。明代時珠算替代了籌算。《漢書·律歷志》：其算法用竹，徑一分，長六寸，二百七十一枚而成六觚，為一握。算術本質上來源于籌算技術。它對中國古代數學的發展影響深遠，值得探討。

二、 籌算

在珠算出現以前，算籌是中國獨創且最有效的計算工具，擁有約2000年的應用歷史，對中國古代數學的發展功不可沒。元朝數學家朱世杰能用籌算解四元高次方程，其數學水平世界領先，但籌算也有一個顯著的缺點，即無法保留運算過程。

中國古代數學講究計算，取得的成果也十分輝煌，其中十進位值記數法、籌算和珠算在數學的發展中所起的作用在世界數學史上也是值得稱道的。十進位值記數法被馬克思稱為最妙的發明之一。珠算則演變自籌算，出現于明代。籌算則是我國春秋時期，社會劇變，由于生產技術與科學技術的進步出現了很多需要大量復雜數字計算的問題，籌算應運而生。

籌又稱算籌（算子），一般用竹來制作，此外還有鐵制、象牙制、玉石制的算籌。最初是用小竹棍來作為記數工具，列式以及演算，后來才成為專門的計算工具，后期才出現了專門盛裝算籌的算子筒和算袋。在記數時如圖，有兩種方式。《漢書·律歷志》是已知最早記載算籌大小和形狀的文獻。

從左到右依次表示1-9

籌算則是計算方法，也就是用算籌來記數、列式和計算。計算過程一般稱為運籌。《老子》中記載善計者不用籌策，表明當時算籌很普遍。我國古代人則可以用算籌來做四則運算、乘方開方，甚至能夠解多元高次方程。當然作為中華文化中的獨創數學形式，其在符號、運算以及構建等方面同西方古代數學存在較大差異。這種差異表現在籌算利用竹棍等實物表現計算過程和運演結果，而西方古代數學則多書寫文字符號來表現。具體差異則可比對《九章算術》與《幾何原本》。

三、 籌算對中國古代數學發展的影響

中國古代數學，被稱為算術，它體現了我國古代數學以算為主的特點。比對《九章算術》與《幾何原本》可以明顯看出，中國古代數學慣常利用算器進行運算，早期的算子以及后期的算盤。這些均對我國古代數學有著深遠的影響。

首先，籌算的出現造就了我國古代數學高超的計算技術。在考古中發現的早期甲骨文中，就有十進位值記數法，春秋時期的籌算則將其進一步完善，并為當時的術士提供了方便快捷的記數和計算工具。當然其最大的優越性在于能夠應用分離系數法，使復雜的數學關系和計算簡化。當時的算學家在代數以及算術領域領先世界，原因就是籌算的記數制度以及計算工具優勢明顯，比如朱世杰開創的四元術（四元高次多項式方程）、招差術（高次內插法）、跺積法（高階等差數列求和法）。而歐洲解多元高次方程組的研究則是在18、19世紀，朱世杰的成就比歐洲早400多年。

其次，籌算造就了機械化算法。對比《九章算術》和《幾何原本》來看，籌算是用算器來進行計算，而幾何原本則是書寫文字符號來計算。這表現了中西方不同的數學思想和價值取向。就中國古代數學來說，之所以出現機械法算法的趨勢就在于經世致用以及籌算技藝的價值取向。古希臘數學家崇尚去發現幾何定理，而中國古代算學家則傾向構建精致算法。用可行的、符合實際的手段把復雜問題轉化為數學模型，然后利用算法求解，這能夠更加有效地得到正確答案，對邏輯基礎的要求不高，使我國古代數學更加實用。而古代數學教育時強調籌算技藝，但不能保留運算過程則給學習者帶來了困難，出錯了只能從頭再來，這也是我國古代數學無法進化為現代數學的一個關鍵限制因素。

第三，造就了構造性思維模式。比如在《九章算術》均從實際生活中提煉數學問題，然后在解決問題時形成了機械化與構造性的算法體系，這造就了人們認識世界的構造思維模式。也正是因為這種思維模式使我國古代數學早于歐洲取得了輝煌的數學成就，比如割圓術、開方術、天元術以及引入負數等等。這種帶有顯著的解決問題的思維模式充滿了想象力、創造力以及開拓精神。

第四，開創了獨特的推理模式。不同于古希臘崇尚的邏輯推理。中國古代數學中，算法是根本，雖然同樣需要說理以及邏輯推理，但這種推理則是暗含與算法中的，通俗的說法就是要使別人理解或是認同這個算法，需要以事實為根據。而古希臘數學家推崇的邏輯推理則是純粹的演繹推理。而中國的這種推理模式形成的理論體系均以“術”為基點，然后帶題，用術解題。以現代數學思想來說，中國古代數學就已經形成完備的數形結合思想和方法，而方法就是“術”。比如《九章算術》第九卷勾股：今有股四尺，弦五尺，問為句幾何？答曰四尺。勾股術曰：勾股各自乘，并，而開方除之，即弦……

總的來說，籌算對我國古代數學的發展起著積極的推動作用，但不可忽視的是由于籌算本身的局限性，也對中國古代數學的發展有著負面影響。最為顯著的就是跛足現象，儒學經世致用的思想一直影響著我國古代數學的發展，使其一直作為應用型數學來發展，實用性很強。但籌算始終是一種形而上的技藝，比較缺乏邏輯性和理性，中國古代數學機械計算很強，但演繹論證卻偏弱，最終在封建社會末期衰落，西方數學進入我國后便被兼容。而之所以能夠兼容就是因為古希臘數學和我國古代數學分別秉持公理化思想和機械化思想，二者能夠很好地互補。

四、 結語

作為中國古代數學中的計算方法，籌算對我國古代數學的發展所起到的作用是顯而易見的，它推動著我國古代數學的不斷進步，并取得了輝煌的成果。如果用現代化的詞匯來形容，可以將籌算看做是計算機應用程序，依靠固定的算法（術）來解決問題。當無法解決問題的時候，就需要更新算法。也就是說籌算是一種模式化、程序化的“術”，而數學內容則是“術”的結果，這有利有弊，而籌算最后衰敗，中國古代數學被西方數學兼容，就是這種極致的“術”或者說極致的實用主義所導致的。

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