生活中的二次函數

隨著人類文明不斷進步，數學生活化、生活數學化越來越明顯，現代數學以技術化的方式迅速影響到人們日常生活的各個領域，生活中也越來越需要數學，數學遍布人們的衣、食、住、行等各方面.下面我們就一起來領略生活中的二次函數.

一、二次函數與利潤

利用二次函數的性質可以幫助我們解決生活中的最大利潤問題，這種問題也是中考中常見的熱點題型.

例1 某商場以每件42元的價格購進一種服裝，由試銷知，每天的銷售量t（件）與每件的銷售價x（元/件）之間的函數關系為t=-3x+204.

（1）寫出商場每天銷售這種服裝的毛利潤y（元）與每件的銷售價x（元）之間的函數關系.

（2）商場要想每天獲得最大銷售毛利潤，每件的銷售價應定為多少元？最大銷售毛利潤為多少？

【解答】（1）由題意，銷售利潤y（元）與每件的銷售價x（元）之間的函數關系為：y=（x-42）（-3x+204），即y=-3x2+330x-8568.

（2）配方得y=-3（x-55）2+507.故當每件的銷售價為55元時，可取得最大銷售毛利潤，每天最大銷售毛利潤為507元.

【點評】本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用.最大銷售利潤的問題常根據銷售利潤=（售價-成本）×銷售量列出函數關系式，利用函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案，從而得最大值（或最小值）.

例2 某賓館有100張床位，每床每晚收費100元，客床可全部租出，若每床每晚每次收費提高20元，則減少10張床位租出；以每次提高20元這種方法變化下去，為了投資少且獲利多，每床每晚應提高多少元？

【解答】設每床每晚收費應提高x個20元，獲得利潤為y元，y=（100+20x）（100-10x）=

-200（x-[52]）2+11250，∵x取整數，∴當x=2或3時，y最大，當x=3時，每床收費提高60元，床位最少，即投資少，∴為了投資少而獲利大，每床每晚收費應提高60元.

【點評】此題要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=[-b2a]時取得.

例3 某企業信息部進行市場調研發現：

信息一：如果單獨投資A種產品，則所獲利潤yA（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在正比例函數關系：yA=kx，并且當投資5萬元時，可獲利潤2萬元.

信息二：如果單獨投資B種產品，則所獲利潤yB（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在二次函數關系：yB=ax2+bx，并且當投資2萬元時，可獲利潤2.4萬元；當投資4萬元時，可獲利潤3.2萬元.

（1）請分別求出上述的正比例函數表達式與二次函數表達式；

（2）如果企業同時對A，B兩種產品共投資10萬元，請你設計一個能獲得最大利潤的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少？

【解答】（1）當x=5時，yA=2，則2=5k，

解得k=0.4，∴yA=0.4x；

當x=2時，yB=2.4；當x=4時，yB=3.2，

[2.4=4a+2b，3.2=16a+4b，]解得[a=-0.2，b=1.6.]

∴yB=-0.2x2+1.6x.

（2）設投資B種商品x萬元，則投資A種商品（10-x）萬元，獲得利潤W萬元，

根據題意可得：

W=0.4（10-x）+（-0.2x2+1.6x），

∴W=-0.2（x-3）2+5.8，

所以投資A種商品7萬元，B種商品3萬元，這樣投資可以獲得最大利潤5.8萬元.

【點評】此題主要考查了一次函數與二次函數的綜合應用，屬于雙函數的問題.第（2）問中要注意當設投資B種商品為x萬元時，yA=0.4x中的自變量為10-x；為防止混淆，也可以換個字母，如可設投資B種商品m萬元.

二、二次函數與旅游

“世界那么大，我想去看看”一句話紅遍網絡，如今隨著人們生活水平的提高，各景點要接待的游客也逐漸增加.

例4 某景點試開放期間，團隊收費方案如下：不超過30人時，人均收費120元；超過30人且不超過m（30

（1）求y關于x的函數表達式；

（2）景點工作人員發現：當接待某團隊人數超過一定數量時，會出現隨著人數的增加收取的總費用反而減少這一現象.為了讓收取的總費用隨著團隊中人數的增加而增加，求m的取值范圍.

【解答】

（1）y=[120x 0

（2）由（1）可知當0

【點評】本題考查二次函數的應用、分段函數等知識.問題（1）需要分0

三、二次函數與運動

運動過程中，人、球或其他物體在某一段過程形成的軌跡可看成拋物線.

例5 甲、乙兩人羽毛球比賽，甲發出一個十分關鍵的球，出手點為P，羽毛球飛行的水平距離s（m）與其距地面高度h（m）之間的關系式為h=[-112]s2+[23]s+[32].如圖，已知球網AB距原點5m，乙（用線段CD表示）扣球的最大高度為[94]m，設乙的起跳點C的橫坐標為a，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導致接球失敗.（1）求羽毛球出手時的高度；（2）求a的取值范圍.

【解答】（1）令解析式中s=0時，h=[32]，則羽毛球的出手點高度為1.5m.

（2）令解析式中h=2.25，得a=4±[7].但扣球點必須在球網右邊，即a>5，∴a=4-[7]舍去，由于乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導致接球失敗，∴5

【點評】第（1）問求出函數圖像與y軸的交點坐標即可得到結果.第（2）問先求乙恰好扣中的情況，由于乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導致接球失敗，說明乙站到了恰好扣中的那個點和網之間.在利用二次函數解決生活實際問題時，如果題中未給出平面直角坐標系，還需要根據實際情況建立合適的坐標系再進行解答.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區實驗初級中學）