樂學善思 勇于探究

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蘇科版《數學》九年級下冊第72頁有這樣一道習題：

如圖1，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，QM在BC上.設BC=48，AD=16，PQ∶PN=5∶9，求矩形PQMN的面積.

解：設PQ=5x，則PN=9x，AE=16-5x.

∵四邊形PQMN是矩形，

∴PN∥QM，∴△APN∽△ABC.

∵AD是△ABC的高，∴AE是△APN的高，

∴[PNBC]=[AEAD]，即[9x48]=[16-5x16]，

解得：x=2，則PQ=5x=10，PN=9x=18.

∴矩形PQMN的面積為180.

探究一：求△ABC中矩形PQMN面積的最大值.

如圖2，在△ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為 .（用含a，h的代數式表示）

解：∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，

∴[PNBC]=[AEAD]，

即[PNa]=[h-PQh]，

∴PN=a-[ah]PQ，

設PQ=x，則S矩形PQMN=PQ·PN=x（a-[ah]x）=

-[ah]x2+ax=-[ah]（x-[h2]）2+[ah4]，

∴當PQ=[h2]時，S矩形PQMN最大值為[ah4].

探究二：求“缺角矩形”中剪出的矩形PQMN面積的最大值.

如圖3，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內角），求該矩形的面積.

【分析】小明從一塊“缺角矩形”ABCDE中剪出了一個面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內角），結合題設和探究一，可將缺角矩形問題轉化為三角形問題加以解決.

解：如圖4，延長BA、DE交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF中點I，FG的中點K.

由題意知四邊形ABCH是矩形，

∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，

∴EH=20，DH=16，∴AE=EH，CD=DH，

在△AEF和△HED中，

∵[∠FAE=∠DHE，AE=EH，∠AEF=∠HED，]

∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，

同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，

∴BI=[AB+AF2]=24，

∵BI=24<32，BI=24>16，∴中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，

過點K作KL⊥BC于點L，由探究一知矩形的最大面積為[14]×BG·BF=[14]×（40+20）×（32+16）=720.

答：該矩形的面積為720.

探究三：求木板余料中剪出的矩形PQMN面積的最大值.

如圖5，現有一塊四邊形的木板余料ABCD，經測量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且∠B=∠C，AG⊥BC，AG∶BG=[43]，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，求該矩形的面積.

【分析】由題設中的∠B=∠C，只要延長BA、CD交于點E，便可將探究三中不規則四邊形問題轉化為等腰三角形問題解決，再利用探究一結論解答即可.

解：如圖6，延長BA、CD交于點E，過點E作EH⊥BC于點H，∵∠B=∠C，∴EB=EC，

∵BC=108（cm），且EH⊥BC，

∴BH=CH=[12]BC=54（cm），

∵AG⊥BC，EH⊥BC，∴∠AGB=∠EHB，

∵∠B=∠B，∴△ABG∽△EBH.

∴[EHBH]=[AGBG]=[43]，

∴EH=[43]×54=72（cm），

在Rt△BHE中，BE=[EH2+BH2]=90（cm），

∵AB=50（cm），∴AE=40（cm），

∴BE的中點Q在線段AB上，

∵CD=60（cm），∴ED=30（cm），

∴CE的中點P在線段CD上，

∴中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，由探究一知，矩形PQMN的最大面積為[14]BC·EH=1944cm2.

答：該矩形的面積為1944cm2.

同學們，問渠哪得清如許，為有源頭活水來.我們在平時學習中要多注意課本中的“源頭活水”——課本例題、習題，要樂學善思，勇于探究，注重題目的本質，尋求一題多變，豐富題目的內涵，拓展題目的外延，實現舉一反三，觸類旁通，從而不斷提高自己的思維能力和數學素養.

（作者單位：江蘇省東臺市唐洋鎮中學）endprint