相似抓對應 分類防漏解

兩個圖形相似，一定要注意相似形的對應邊和對應角，不少同學因概念不清或考慮不周經(jīng)常出現(xiàn)錯解或漏解，下面對一些典型的犯錯點進行剖析，希望對大家的學習有所幫助.

例1 如圖1，在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，[ADDB]=[12]，DE=4cm，求BC的長.

【典型錯解】∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴[DEBC]=[ADDB]，即：[4BC]=[12]，

∴BC=8.

【錯因分析】本題錯解中用錯了兩個相似三角形的對應邊，由△ADE∽△ABC應得[DEBC]=[ADAB]=[13]，從而得BC=3DE=12（cm）.

所以學習相似三角形一定要注意對應.

【糾錯訓練1】如圖2，在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，[ADBD]=[23]，則[DEBC]= .

例2 如圖3，在已建立平面直角坐標系的4×4的正方形方格紙中，△ABC是格點三角形，若以格點P、A、B為頂點的三角形與△ABC相似（C點除外），則格點P的坐標是 .

【典型錯解】P點坐標為（1，4），（3，4）.

【錯因分析】本題錯解中遺漏了三角形全等的情況，事實上，全等是特殊的相似.當點P與點B對應時，形成相似比為2∶1的相似三角形；當點P與點C對應時，兩個三角形全等，即相似比為1∶1.如圖4，格點P的坐標應為（1，4）或（3，1）或（3，4）.

【糾錯訓練2】如圖5，在2×4的正方形方格中，與格點△ABC相似但不全等的格點三角形共有 個.

例3 如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3、4及x，那么x的值是 .

【典型錯解】第一步，求得其中一個直角三角形第三邊長為10；第二步，將6、8、10分別與3、4、5對應求得x=5.

【錯因分析】主觀上將6和8當作直角邊，并將6、8和3、4對應，缺乏分類意識，事實上，邊長分別是6和8的直角三角形有兩種可能，即已知邊均為直角邊或者8為斜邊.當6和8為直角邊時，根據(jù)勾股定理可知斜邊為10，[63]=[84]=[10x]，解得x=5；當6是直角邊，8是斜邊時，根據(jù)勾股定理可求得另一條直角邊為[27].由[63]=[27x]=[84]，解得x=[7]，所以x=5或[7].[圖6]

【糾錯訓練3】將三角形紙片△ABC按如圖6所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF.已知AB=AC=8，BC=10，若以點B′，F(xiàn)，C為頂點的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是 .

例4 如圖7，在梯形ABCD中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果直線AB上的點P使得以P、A、D為頂點的三角形與以P、B、C為頂點的三角形相似，PA= .

【典型錯解】如圖8，當點P在線段AB上，①當[ADBC]=[PAPB]時，△PAD∽△PBC，此時[23]=[x7-x]，解得PA=x=[145]；

②當[ADBP]=[PACB]時，△PAD∽△CBP，此時[27-x]=[x3]，解得：PA=x=1或6.

∴PA=1或6或[145].

【錯因分析】只考慮點P在線段AB上的情形，未考慮點P在線段AB延長線上或在線段BA的延長線上的情況，設PA=x，

①若點P在線段AB上，PA=1或6或[145]；

②如圖9，若點P在線段BA的延長線上且△PAD∽△PBC，[PAPB]=[ADBC]，此時[x7+x]=[23]，解得：PA=x=14；

如圖10，當△PAD∽△CBP時，[PACB]=[ADBP]，此時[x3]=[27+x]，解得：x=[±73-72]（負值舍去），PA=x=[73-72]；

③如圖11，若點P在線段AB的延長線上，當△PAD∽△CBP時，[ADPB]=[PACB]，此時[2x-7]=[x3]，解得：x=[±73+72]（負值舍去），PA=x=[73+72]，綜上，PA=1或6或[145]或14或[73-72]或[73+72].

【糾錯訓練4】如圖12，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點D是BC邊的中點，動點P從點C出發(fā)，沿C→A→B的方向在AC、AB邊上以每秒2個單位的速度向點B移動，運動至點B即停止.連接PD，當點P運動時間t=

時，線段PD截得的三角形與Rt△ABC相似.

通過以上幾種易錯點的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，學習相似一定要抓住相似形的對應邊和對應角，同時，要注意題目語言的敘述是否存在多種可能，特別是“相似符號沒有寫的情況下，一定要注意對應防漏解”，提高分類的意識，增強思考問題的全面性和完整性.