構造相似三角形 破解一類最值題

吳智勇

如圖1，已知直線AB：y=[-34]x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，點E（2，0）在x軸上，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為α（0°<α<90°），連接E′A、E′B，求[23]E′B+E′A的最小值.

【思路突破】首先理解題目，弄清題目已知什么，用自己的語言敘述題目條件并與學過的知識聯系起來.題目已知直線AB：y=[-34]x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，告訴我們點A（4，0），B（0，3）.點E（2，0）在x軸上，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，則說明點E′是以原點為圓心，2為半徑的圓上的動點.題目要求[23]E′B+E′A的最小值，這個問題以前沒有見過，是個新問題.與這個問題相似的是求兩條折線段的和的最小值，那么我們能不能將[23]E′B轉化成某一條線段，從而將新問題轉化為我們熟悉的問題？又該從何處著手將[23]E′B轉化成系數為1的某一條線段？先進行直覺判斷，題中的直線AB與y軸交于點B，其中OB=3，OE′=OE=2，比值恰好是[23]，由比值[23]猜想是否可以構造一對相似比為[23]的相似三角形△COE′∽△E′OB？試試在y軸上取點C（0，[43]），連CE′，則[OCOE′]=[OE′OB]=[23]，又∠COE′=∠E′OB，所以△COE′∽△E′OB，從而[CE′BE′]=[OE′OB]=[23]，即CE′=[23]E′B，這樣欲尋找的[23]E′B+E′A的最小值就轉化為尋找CE′+E′A的最小值，由于點A、C是定點，因此只要點A、E′、C三點共線時就能取得最小值，[23]E′B+E′A=CE′+E′A≥AC，而AC=[OC2+OA2]=[（43）2+42]=

[4103]，因此[23]E′B+E′A的最小值為[4103].

【解后反思】解題要有靈感，不可呆板，題目要求[23]E′B+E′A的最小值，這是一個以前沒有見過的新問題.解題的切入口是聯想以前做過的問題，將[23]E′B轉化成另一條線段CE′，從而將沒有見過的問題轉化為已經解決的問題.轉化的方法是由題目條件得出OB=3，O′E=OE=2，聯想比值[23]，從而將我們的思路往構造相似三角形的方向上引導，轉化是解題的根本手段.

【同類題鞏固】

1.如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C的半徑為2，點P為⊙C的一動點，連接AP、BP，則PA+[12]PB的最小值為 .

【解析】解決問題的關鍵是將[12]PB轉化為系數為1的某一線段，因此需要找一個定點，構造一對相似三角形來轉化.問題轉化為“兩定一動”，當三點共線時得到線段和的最小值.考慮到BC=2PC，在CB上取點D，使CD=1，連接PC、PD，如圖4，則[CDCP]=[CPCB]=[12]，又∠PCD

=∠BCP，所以△CDP∽△CPB，DP=[12]BP，PA+[12]PB=PA+PD≥AD，當A、P、D三點共線時等號成立. AD=[CA2+CD2]=[37]，故PA+[12]PB的最小值為[37].

2.已知：⊙M的圓心為M（4，4），半徑為[22]，A（6，-1），O為坐標原點，動點P在⊙M上，則PO+2PA的最小值為

【解析】考慮到OM=2PM，在OM上找一點B（3，3），連BP，則BM=[12]PM，由[BMPM]=[PMOM]=[12]，又∠M=∠M，所以△MBP∽△MPO，所以BP=[12]PO，PO+2PA=2（[12]PO+PA）=2（BP+PA）≥2BA，當A、P、B三點共線時等號成立.根據勾股定理得AB=5，故PO+2PA的最小值為10.

3.已知：⊙B的圓心為B（1，1），交y軸于C（0，3），動點P在⊙B上，連接PC、PO.則[2]PC

+[5]PO的最小值為 .

【解析】⊙B的半徑為[5]，OB=[2]，如圖8，連接BP，BO，在BO延長線上取點D（[-32]，[-32]），則DB=[522]，所以[OBPB]=[PBDB]=[25]，又∠B=∠B，所以△OBP∽△PBD，所以DP=[52PO]，[2PC]+[5PO]=[2]（PC+[52PO]）=[2]（PC+PD）≥[2CD]，當C、P、D三點共線時等號成立.故[2]PC+[5]PO的最小值為[35].

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學）endprint