相似蛋糕價幾何

杭子雯

暑假來臨，學校為了培養學生健康文明的學習生活習慣，要求學生走進社區、了解社會，過一個幸福安全、愉快充實、有意義的暑假.我的阿姨正好新開了一家蛋糕店，我決定做阿姨的好幫手.

阿姨的蛋糕店計劃7月8日開張，為了樹立品牌，提高影響和效益，阿姨想在《東臺報》上刊登廣告宣傳，到報社咨詢后獲知：廣告的價格是按廣告的面積來算的，一塊10cm×5cm的長方形版面要付廣告費180元.考慮到廣告版面越大，吸引力越強，效果越好，但廣告費也隨之攀升，阿姨決定把該版面的邊長都擴大為原來的3倍，在每平方厘米版面廣告費相同的情況下，阿姨該付多少的廣告費？

我略加思索，告訴阿姨：根據要求，把廣告版面的邊長都擴大為原來的3倍后的廣告版面，與原來的廣告版面是相似的，它們的面積比應該是相似比的平方.由此可知，把該版面的邊長都擴大為原來的3倍后的廣告費應該為原來的9倍：180×9=1620（元）.

當然，我還可以根據“一塊10cm×5cm的長方形版面要付廣告費180元”，先算出每平方厘米的廣告費：180÷50=[185]（元），再根據該版面的邊長都擴大為原來的3倍后的長方形版面面積：30×15=450（cm2），由此算出把該版面的邊長都擴大為原來的3倍后的廣告費為：450×[185]=1620（元）.

廣告在《東臺報》上刊登后生意越來越好，一天，來了一位顧客，要買一個三層的蛋糕，祝福朋友三十歲生日快樂，要求：第一層（最上面的一層）是8吋的圓柱形蛋糕（要求高4吋）；第二層是12吋的圓柱形蛋糕（要求高6吋）；第三層是16吋的圓柱形蛋糕（要求高8吋）.阿姨告訴我，第一層8吋的圓柱形蛋糕（高4吋），它的價格是24元，問這個三層蛋糕需要多少錢？阿姨負責制作，價錢照例由我計算.

我回想到老師說過：對應角相等，對應邊成比例的兩個圖形就叫相似圖形，相似圖形的面積比等于相似比的平方.相似圖形的本質是形狀相同，既然三層蛋糕半徑和高成比例，且非常相似，我們不妨把它們叫作相似蛋糕.

類比相似圖形的性質，我猜想相似蛋糕的性質應該是：相似蛋糕體積比等于相似比的立方.是否正確呢？

我們特殊化驗證這條性質：如圖，甲、乙是兩個不同的立方體，它們的形狀完全相同，我們可把它們叫作相似體.

它們的對應線段之比等于相似比[ab].

設S甲、S乙分別表示這兩個立方體的表面積，則[S甲S乙]=[6a26b2]=（[ab]）2，

設V甲、V乙分別表示這兩個立方體的體積，則[V甲V乙]=[a3b3]=（[ab]）3.

類似地，我們可以驗證相似圓柱體的性質，進而推廣到一般的相似體的性質：相似體的一切對應線段長度的比等于相似比；相似體表面積的比等于相似比的平方；相似體體積的比等于相似比的立方.

因此三層的相似蛋糕的價格應該這樣算：把三層的相似蛋糕看作相似體.由“相似體體積的比等于相似比的立方”， [V第二層V第一層]=（[32]）3=[278]，[V第三層V第一層]=（[21]）3=8，即第二層蛋糕的體積是第一層蛋糕的體積的[278]倍，第三層蛋糕的體積是第一層蛋糕的體積的8倍.所以從價格上考慮，第二層蛋糕的價格是第一層蛋糕的價格的[278]倍，即[278]×24=81元；第三層蛋糕的價格是第一層蛋糕的價格的8倍，即8×24=192元；三層蛋糕合計價格為：24+81+192=297（元）.endprint