小波去噪方法的研究

李楊

【摘 要】小波去噪是小波變換應(yīng)用的常見用途，本文介紹了三種常用的小波去噪方式，分別是小波模極大值法、小波分解與重構(gòu)法和小波閾值法。將這幾種方式分別加入白噪聲并實施去噪處理，通過對比優(yōu)缺點，為小波去噪方法的選取提供了參考依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】去噪；模極大值；小波分析

0 引言

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中小波分析發(fā)展迅速，它是一種時頻分析的辦法，小波分析具有多分辨率分析的特征，它能夠?qū)π盘栔腥我庖恍┘毠?jié)做多分辨率的時頻域分析，享有“數(shù)學(xué)顯微鏡”的美譽，它還有一個雙重意義在于不光擁有深刻的理論還擁用廣泛的應(yīng)用。

1 小波去噪幾種方法的基本原理

1.1 小波模的極大值法去噪

信號局部突變點的特征量度指數(shù)是Lip，它的定義：設(shè)有正整數(shù)n，n≤a≤n+1，如果存在正整數(shù)A>0及n次多項式Pn（x），使得|f（x）-pn（x-x0）|≤A|x-x0|a對x∈（x0-δ，x0+δ）成立，則稱f（x）在x0點是Lipα。

在尺度s下的局部模的極大值點x0的定義是，若？坌x∈δx0，有|Wf（s，x）|≤|Wf（s，x0）|。f（x）的Lip指數(shù)與小波變動模極大值條件是log2|W2jf（t）|≤log2k+jα。對于常見的信號，由于α≥0，j的值越大小波模極大值也就越大；而對于白噪聲，由于α<0，j的值越大模極大值反而越小。所以，要觀察各個尺度間小波模的極大值改變的有關(guān)規(guī)律，從而除去幅值隨尺度變大而有效的點，保留下幅度隨尺度變大而增加的點，最后再由保留的模極大值點使用交替投影的方法來重新構(gòu)建，即可達到去噪的目的。

1.2 小波閾值法

小波變換閾值的方法稱為“小波收縮”，這種方法是基于白噪聲的小波系數(shù)的特點，大部分能量集中于較低幅度的小波系數(shù)，在任何正交基上變換，白噪聲不會發(fā)生本質(zhì)的變化，依然是白噪聲，并具有相同的振幅。小波系數(shù)將大于噪聲信號的小波系數(shù)和相對分散的能量比較小，所以我們可以設(shè)計一個閾值，小于閾值的小波系數(shù)為零，從而有效地抑制信號中的噪聲。

1.3 小波分解與重構(gòu)法

小波分解與重構(gòu)的快速算法即Mallat算法，這是在1988年由S.Mallat在構(gòu)造正交小波基的時候，第一次提出了多分辨分析的理論觀點，小波的多分辨頻率的特征從空間的理念上得到了解釋。

若信號f（t）的分散的采樣數(shù)據(jù)為fk，fk=c0，a，則信號f（t）小波的分解公式為：（k=0，1，2，…N-1）其中，cj，k為尺度系數(shù)；dj，k為小波系數(shù)；h、g為正交鏡像濾波器組；j為分解層；N為離散采樣點數(shù)。

小波分解的逆算法就是小波的重構(gòu)，小波重構(gòu)的公式為：

2 幾種算法的比較

2.1 模極大值法去噪

小波模極大值的去噪方法根據(jù)他的主信號和變化在各個尺度上的小波系數(shù)濾波器濾除噪聲，它是相對穩(wěn)定的，不需要知道噪聲方差，具有比較小的噪聲依賴性，更適合于低信噪比信號濾波去噪。

模極大值的去噪方法比較適合處理信號中有白噪聲而且奇異點比較多的情況。同時，該方法保留了信號奇異性的有效信息，并沒有多余的振動信號。但由于模極大值重構(gòu)是交替投影法，為了保證重構(gòu)信號的精度和高信噪比，通常情況下要進行十幾次甚至幾十次迭代，所以與其他兩種方法相比要慢得多。小波分解尺度的選擇在應(yīng)用模極大值法去噪的時候比較重要，小的尺度小波系數(shù)受噪聲影響，會生出許多假峰，大尺度下將會使一些重要的部分奇異性信號損耗，所以這種方法比較實用于低信噪比信號。

2.2 小波閾值法去噪

閾值法去噪的長處是基本完全可以消除噪聲，能體現(xiàn)峰點的最初信號特性。這種方式具有普遍的適用性，而且閾值法的效率十分快。

小波閾值法去噪是一種常用的小波去噪方法。閾值法用于去噪時，對去噪效果有著至關(guān)重要影響的是閾值的選取。在現(xiàn)實應(yīng)用中，應(yīng)該根據(jù)實際的情況選擇比較符合的閾值。

2.3 小波分解與重構(gòu)法去噪

在有效信號與噪聲頻帶相互分離的確定性噪聲的時候，小波的分解與重構(gòu)法去噪是應(yīng)用最多的，絕大部分的噪聲都可以被消除。但當(dāng)有用信號的頻帶與噪聲重疊、混淆時，效果就會不太理想。由于小波濾波器不完美的截止特征，且每一尺度的每一點采樣不契合采樣定律，頻率混疊的現(xiàn)象就會出現(xiàn)?？偟膩碚f，這種方法簡單，運算效率高，但其可用的領(lǐng)域不是很廣，對于確定的噪聲頻率并且頻帶的信號和噪聲的分開時更有效。白噪聲在實際運用中存在比較廣泛，用小波分解與重構(gòu)法去噪的效果相對較差。

3 結(jié)論

由以上所說的小波去噪方法之間的對比，得出在選擇小波去噪方法時的一些參考依據(jù)。對高斯白噪使用時，最好選擇閾值法或模極大值法。閾值法的特點在于可以獲得最初信號的近似最優(yōu)估量，并且適應(yīng)性普遍以及計算迅速。因此，在去噪的優(yōu)點，正常情況下，可以使用這個方法，但由于其計算效率太低，運用在現(xiàn)實中應(yīng)當(dāng)考慮噪聲的去噪的效果和計算速度間的平衡。而當(dāng)處理信號和噪聲頻帶分離的去噪，運用小波分解和重構(gòu)的方式最為適合。如果想達到更好的去噪結(jié)果，可以選擇幾種方式聯(lián)合使用。

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