小波去噪方法的研究

李楊

【摘 要】小波去噪是小波變換應(yīng)用的常見(jiàn)用途，本文介紹了三種常用的小波去噪方式，分別是小波模極大值法、小波分解與重構(gòu)法和小波閾值法。將這幾種方式分別加入白噪聲并實(shí)施去噪處理，通過(guò)對(duì)比優(yōu)缺點(diǎn)，為小波去噪方法的選取提供了參考依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】去噪；模極大值；小波分析

0 引言

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中小波分析發(fā)展迅速，它是一種時(shí)頻分析的辦法，小波分析具有多分辨率分析的特征，它能夠?qū)π盘?hào)中任意一些細(xì)節(jié)做多分辨率的時(shí)頻域分析，享有“數(shù)學(xué)顯微鏡”的美譽(yù)，它還有一個(gè)雙重意義在于不光擁有深刻的理論還擁用廣泛的應(yīng)用。

1 小波去噪幾種方法的基本原理

1.1 小波模的極大值法去噪

信號(hào)局部突變點(diǎn)的特征量度指數(shù)是Lip，它的定義：設(shè)有正整數(shù)n，n≤a≤n+1，如果存在正整數(shù)A>0及n次多項(xiàng)式Pn（x），使得|f（x）-pn（x-x0）|≤A|x-x0|a對(duì)x∈（x0-δ，x0+δ）成立，則稱f（x）在x0點(diǎn)是Lipα。

在尺度s下的局部模的極大值點(diǎn)x0的定義是，若？坌x∈δx0，有|Wf（s，x）|≤|Wf（s，x0）|。f（x）的Lip指數(shù)與小波變動(dòng)模極大值條件是log2|W2jf（t）|≤log2k+jα。對(duì)于常見(jiàn)的信號(hào)，由于α≥0，j的值越大小波模極大值也就越大；而對(duì)于白噪聲，由于α<0，j的值越大模極大值反而越小。所以，要觀察各個(gè)尺度間小波模的極大值改變的有關(guān)規(guī)律，從而除去幅值隨尺度變大而有效的點(diǎn)，保留下幅度隨尺度變大而增加的點(diǎn)，最后再由保留的模極大值點(diǎn)使用交替投影的方法來(lái)重新構(gòu)建，即可達(dá)到去噪的目的。

1.2 小波閾值法

小波變換閾值的方法稱為“小波收縮”，這種方法是基于白噪聲的小波系數(shù)的特點(diǎn)，大部分能量集中于較低幅度的小波系數(shù)，在任何正交基上變換，白噪聲不會(huì)發(fā)生本質(zhì)的變化，依然是白噪聲，并具有相同的振幅。小波系數(shù)將大于噪聲信號(hào)的小波系數(shù)和相對(duì)分散的能量比較小，所以我們可以設(shè)計(jì)一個(gè)閾值，小于閾值的小波系數(shù)為零，從而有效地抑制信號(hào)中的噪聲。

1.3 小波分解與重構(gòu)法

小波分解與重構(gòu)的快速算法即Mallat算法，這是在1988年由S.Mallat在構(gòu)造正交小波基的時(shí)候，第一次提出了多分辨分析的理論觀點(diǎn)，小波的多分辨頻率的特征從空間的理念上得到了解釋。

若信號(hào)f（t）的分散的采樣數(shù)據(jù)為fk，fk=c0，a，則信號(hào)f（t）小波的分解公式為：（k=0，1，2，…N-1）其中，cj，k為尺度系數(shù)；dj，k為小波系數(shù)；h、g為正交鏡像濾波器組；j為分解層；N為離散采樣點(diǎn)數(shù)。

小波分解的逆算法就是小波的重構(gòu)，小波重構(gòu)的公式為：

2 幾種算法的比較

2.1 模極大值法去噪

小波模極大值的去噪方法根據(jù)他的主信號(hào)和變化在各個(gè)尺度上的小波系數(shù)濾波器濾除噪聲，它是相對(duì)穩(wěn)定的，不需要知道噪聲方差，具有比較小的噪聲依賴性，更適合于低信噪比信號(hào)濾波去噪。

模極大值的去噪方法比較適合處理信號(hào)中有白噪聲而且奇異點(diǎn)比較多的情況。同時(shí)，該方法保留了信號(hào)奇異性的有效信息，并沒(méi)有多余的振動(dòng)信號(hào)。但由于模極大值重構(gòu)是交替投影法，為了保證重構(gòu)信號(hào)的精度和高信噪比，通常情況下要進(jìn)行十幾次甚至幾十次迭代，所以與其他兩種方法相比要慢得多。小波分解尺度的選擇在應(yīng)用模極大值法去噪的時(shí)候比較重要，小的尺度小波系數(shù)受噪聲影響，會(huì)生出許多假峰，大尺度下將會(huì)使一些重要的部分奇異性信號(hào)損耗，所以這種方法比較實(shí)用于低信噪比信號(hào)。

2.2 小波閾值法去噪

閾值法去噪的長(zhǎng)處是基本完全可以消除噪聲，能體現(xiàn)峰點(diǎn)的最初信號(hào)特性。這種方式具有普遍的適用性，而且閾值法的效率十分快。

小波閾值法去噪是一種常用的小波去噪方法。閾值法用于去噪時(shí)，對(duì)去噪效果有著至關(guān)重要影響的是閾值的選取。在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，應(yīng)該根據(jù)實(shí)際的情況選擇比較符合的閾值。

2.3 小波分解與重構(gòu)法去噪

在有效信號(hào)與噪聲頻帶相互分離的確定性噪聲的時(shí)候，小波的分解與重構(gòu)法去噪是應(yīng)用最多的，絕大部分的噪聲都可以被消除。但當(dāng)有用信號(hào)的頻帶與噪聲重疊、混淆時(shí)，效果就會(huì)不太理想。由于小波濾波器不完美的截止特征，且每一尺度的每一點(diǎn)采樣不契合采樣定律，頻率混疊的現(xiàn)象就會(huì)出現(xiàn)。總的來(lái)說(shuō)，這種方法簡(jiǎn)單，運(yùn)算效率高，但其可用的領(lǐng)域不是很廣，對(duì)于確定的噪聲頻率并且頻帶的信號(hào)和噪聲的分開(kāi)時(shí)更有效。白噪聲在實(shí)際運(yùn)用中存在比較廣泛，用小波分解與重構(gòu)法去噪的效果相對(duì)較差。

3 結(jié)論

由以上所說(shuō)的小波去噪方法之間的對(duì)比，得出在選擇小波去噪方法時(shí)的一些參考依據(jù)。對(duì)高斯白噪使用時(shí)，最好選擇閾值法或模極大值法。閾值法的特點(diǎn)在于可以獲得最初信號(hào)的近似最優(yōu)估量，并且適應(yīng)性普遍以及計(jì)算迅速。因此，在去噪的優(yōu)點(diǎn)，正常情況下，可以使用這個(gè)方法，但由于其計(jì)算效率太低，運(yùn)用在現(xiàn)實(shí)中應(yīng)當(dāng)考慮噪聲的去噪的效果和計(jì)算速度間的平衡。而當(dāng)處理信號(hào)和噪聲頻帶分離的去噪，運(yùn)用小波分解和重構(gòu)的方式最為適合。如果想達(dá)到更好的去噪結(jié)果，可以選擇幾種方式聯(lián)合使用。

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