《二次函數的性質與圖象》教材分析

高淑云

數學教材是課程標準要求的具體化，也是課程實施的主要媒介。數學教師在進行課堂教學之前，首先要分析教材內容，弄清教學內容，挖掘教材編寫的特點和意圖，才能更好的實施課堂教學。《二次函數的性質與圖象》是人教B版《數學1》第二章第二節的內容。下面我就就本節內容加以分析。

1 例題分析

本節課共安排了3個例題。

例1：試述二次函數f（x）=x+4x+6的性質，并作出它的圖象。

例2：試述二次函數f（x）=-x2-4x+3的性質，并作出它的圖象

【意圖分析】

例1與例2兩道例題表述上一模一樣，但仔細分析內容卻各有特點：

（1）二次項系數α：例1的α是一個正分數，例2的α是一個負整數。

（2）方程f（x）=0的兩根：例1中的兩根為整數，作圖時描點很方便；例2中的兩根不是整數。

（3）圖像：例1開口向上，例2開口向下。

（4）列表描點作圖：充分體現了二次函數圖象關于對稱軸對稱的特性。例1表中，關于直線x=-4左右對稱，間隔1取值；例2表中關于直線x=-2左右對稱，間隔1，0.5，0.15…。學生更加深刻體會到如果兩個自變量到對稱軸的距離相等，那么它們的函數值也相等。

（5）第一次使用記號ymax，ymin分別表示函數y=f（x）的最大值和最小值。

通過例1與例2的對比我們可以看出，教材充分體現了由易到難、由淺入深的編寫意圖，符合學生的認知規律。通過二次函數的二次項式系數的符號對二次函數的性質與圖象的影響，培養學生觀察類比的數學思想，養成用聯系變化的觀點看問題的習慣。同時充分利用數形結合思想較好地學習了二次函數的對稱性和單調性，并為學習函數零點埋下伏筆。進而使學生認識到“配方法”是研究二次函數的主要方法.熟練地掌握配方法是掌握二次函數性質的關鍵，對一個具體的二次函數，通過配方法就能知道這個二次函數的主要性質.由研究特殊的二次函數的過程可以讓學生進一步明確了研究一般函數的方法，只有先對已知函數作適當的分析，然后才能更全面、更本質地反映函數的性質。

例3：求函數y=3x2+2x+1的值域和它的圖象的對稱軸，并說出它在哪個區間上是增函數？在哪個區間上是減函數？

【意圖分析】

（1）本題給出一個二次項系數大于0的二次函數，目的在于訓練學生在例1、例2的基礎上達到靈活運用所學知識的程度，使學生形成能力。

（2）進一步強化了配方法，本例中盡管a>0但在配方時常數項易出錯，需要教師引導學生準確配方。

（3）通過對例題的分析與講解，使學生更直觀的理解二次函數的圖象及性質，強化了二次函數的主要性質：值域，對稱性，單調性。

2 習題分析

2.1 練習A

1）用配方法求下列函數的定義域、值域以及最大值或最小值：

（1）f（x）=x2+8x+3 （2）f（x）=5x2-4x-3

（3）f（x）=-x2+x+1 （4）f（x）=-3x2+5x-8

【意圖分析】

本題安排四個小題

（1）二次項系數α由小到大，由正到負，體現了從易到難，由淺入深編寫原則，同時強化鞏固了配方法；

（2）體現定義域優先的原則，本題f（x）解析式是多項式形式，定義域是R；

（3）體現值域、最大值或最小值的區別，值域是函數值y的取值集合，表達方式是集合或者區間，最大（小）值是一個特殊的函數值，要求學生明確概念。通過求函數的最大（小）值也可以求出函數的值域，它們之間既有區別又有聯系。

2）求下列函數圖象的對稱軸和頂點坐標，并作出圖象，指出其單調區間。

（1）y=x2-5x+1 （2）y=-2x2+x-1

【意圖分析】

本題安排兩個小題

（1）二次項系數a從正分數到負整數，體現由易到難的原則；

（2）求對稱軸和頂點坐標，可采用兩種方法：配方法、公式法；

（3）先求對稱軸和頂點坐標，了解函數的基本性質（對稱性），后作圖像使列表描點時更有目的性，能夠更全面、更本質的反應函數的性質；

（4）指出單調區間，培養學生的識圖能力，并深刻體會單調性的定義，并從兩個小題深刻理解a>0及a<0對單調區間的影響。

3）已知函數y≤x2-x-2，利用函數的圖象，求y≤0時，x的取值范圍。

【意圖分析】

本題要求學生首先要會正確作圖、其次要會識圖，會從圖象上觀察y≤0時x的取值范圍。最后用圖，通過數形結合正確寫出答案，再一次體現了數形結合的思想。

本題也體現了三個二次之間的關系，從而使學生初步會利用二次函數圖象及一元二次方程的根來求一元二次不等式的解集，為練習B埋下伏筆。

2.2 練習B

1）已知函數f（x）=x2-3x-；

（1）求這個函數圖象的頂點坐標和對稱軸；

（2）已知f=-，不用代入值計算，試求f；

（3）不直接計算函數值，試比較f-與f的大小。

【意圖分析】

（1）鞏固了配方法及二次函數的性質，同時對稱軸為第二問奠定了基礎；

（2）通過具體數值驗證了對稱性，到對稱軸的距離相等的兩個自變量的函數值相等；

（3）從第二問的函數值相等，引申到不等，再一次深刻體會到當開口向上如何通過不直接計算函數值來比較兩個函數值大小的方法——只需比較每個自變量到對稱軸的距離即可，進一步體現了數形結合思想。

（2）已知函數，不用計算函數值，試比較的大小。endprint

【意圖分析】

從第一題的第3問，學生已經初步掌握二次函數的對稱性與比較二次函數值大小的方法；此題又進一步強化這一知識點，明確解題步驟：求對稱軸——計算并比較兩個自變量到對稱軸的距離——數形結合給出結論。這里有相等，也有不等的情形，全面透徹的鞏固了這一性質。

（3）用配方法求下列函數的定義域和值域：

（1）y=；（2）y=。

【意圖分析】

本題安排了兩個小題

（1）題目要求非常明確用“配方法”，從而進一步熟練鞏固了配方法；

（2）求函數的定義域體現了定義域優先的原則，求值域鞏固了二次函數最值的求法；

（3）求定義域需要列出一元二次不等式，這里體現了數形結合的數學思想，利用圖象寫出定義域、值域體現了三個二次之間的關系，同時也為必修5《一元二次不等式的解法》奠定了基礎；

（4）第二小題與第一小題相比有特殊的地方，本題的定義域是單元素集合，值域也是單元素集合，既有一般情形也有特殊情況，知識完善，結構完整。

（5）根號下的二次函數，二次項系數a仍然由正到負，體現了先易后難的原則。

3 探索與研究

“探索與研究”欄目的設置絕對是一個亮點！它給學生搭建了一個探究創新的舞臺。

1）在同一坐標系中，作函數y=x2，y=（x+1）2，y=（x-1）2，y=x2+1，y=x2-1的圖象，研究他們的圖象之間的關系。

【意圖分析】

（1）圖象之間的關系從特殊到一般，從具體到抽象。平移變換有兩種：橫向沿x軸平移，縱向沿y軸平移，通過此題學生可以總結出“左加右減，上加下減”的規律。

（2）滲透化歸的數學思想。復雜問題簡單化，借助同學們熟悉的y=x2的圖象，研究圖象之間的關系。

2）探索函數y=f（x）與y=f（x+a），y=f（x+a）+b，（a≠0，b≠0）的圖象之間的關系。

【意圖分析】

把問題1進一步升華，有兩點抽象化：解析式、變換的單位，同時滲透了分類討論的思想。

3）二次函數y=ax2+bx+c=ax++

中的a，b，c對函數性質與圖象各有哪些影響？

【意圖分析】

二次函數y=ax2+bx+c有三個待定系數，其中每個系數既有分工又有協作，認真剖析a，b，c的作用。a——開口方向及大小、b——奇偶性、a、b——對稱軸、c——與y軸交點的位置。

4）分別作函數y=和y=的圖象。

【意圖分析】

（1）本題函數是解析式為分式的函數圖象問題，可以用描點法作圖，但是有一定的難度。在這里是要求同學采用圖象變換法作圖。

（2）先求定義域然后利用圖象變換作圖，第一小題可轉化為熟悉的y=（見教材P48-例2）的圖象。

（3）第二小題，需要先分離出常數，y=1+，然后可轉化為y=的圖象。利用圖象的平移變換得到所需圖象。進一步鞏固了函數圖象變換的作圖方法，同時使前面總結的知識在結構上得到了完善。

總之，通過以上分析我們可以清晰地看到編者的編寫意圖，真可謂是獨具匠心。作為普通的高中數學教師，我們要切實揣摩教材、研析教材，充分利用好教材這一寶貴資源，在教學中結合學生的實際情況，適當的整合教學資源，才能更好地提高教學成績。endprint