趣味數學題在化學中的啟示三例

湖南 楊姣媛 黃若海

趣味數學題在化學中的啟示三例

一、貴在挖掘

很多人都見過這樣的趣味題：在下式中填上恰當的符號，使4 4 4=6 。

下面這道化學題也很有趣：

在下式橫線上填入適當物質并配平(連同計量數填入括號內)。

分析：給出一個答案，對這道題來說一點也不難。下面我們再來鉆研鉆研。

一道極平常的題 ，經這么一挖掘，也就變得非同尋常了。

二、整體法解題

有這么一道思維訓練題：

50個運動員按高矮順序排成一排，并按1～50編號。教練下令:“單數運動員出列!”剩下的運動員重新排并編號。教練又下令:“單數運動員出列!”如此下去。最后剩下一個人。請問這個人最初的編號是幾號?

解析：

列出1 2 3 …48 49 50五十個數；

第一次劃去單數，剩下2 4 6…48 50二十五個數；

第二次劃去2 6 …46 50，剩下4 8…44 48十二個數；

第三次劃去4 12…44，剩下8 16 24 32 40 48六個數；

第四次劃去8 24 40，剩下16 32 48三個數；

第五次劃去16 48；剩下32一個數。

所以是32號。

上面的這種解析方法不符合思維訓練題的初衷，解答時也難以品嘗到解思維訓練題帶來的樂趣。看一看下面的分析方法：

5次排序后就只有1人了，這個人最初的號碼必須在每一次排序中都是偶數，所以他的號碼是2的5次方，即32。

這種分析方法從整體上把握這個問題，使得解答過程簡捷而靈動。

化學中也有不少的題，運用整體法解答比“一步一個腳印”式的解答，具有更大的優越性。

例題：取0.04 mol KMnO4固體，加熱一段時間后,收集到amol氣體。向分解后所得殘留固體中加入足量濃鹽酸，又收集到bmol氣體。設此時錳元素全部以Mn2+存在于溶液中。試計算:

(1)a+b的最小值；

(2)當a+b=0.09時,0.04 mol KMnO4加熱后所得殘留固體的質量。

這道題涉及的反應較多，若按方程式一步一步計算是比較煩瑣的。為了說明問題，這里不厭其“煩”：

(1)設分解的KMnO4物質的量為0.04xmol,則剩余KMnO4的物質的量為0.04(1-x) mol。根據化學方程式計算如下：

0.04x0.02x0.02x0.02x

0.04(1-x) 0.1(1-x)

0.02x0.04x

0.02x0.02x

a+b=0.02x+0.1(1-x)+0.04x+0.02x=0.1-0.02x

因為x≤1,當x=1時,a+b有最小值,(a+b)min=0.08

(2)當a+b=0.09時，即0.1-0.02x=0.09，解得x=0.5。

加熱后剩余固體的質量=剩余的KMnO4質量+生成的K2MnO4的質量+生成的MnO2的質量=0.04×(1-0.5) mol×158 g/mol+0.02×0.5 mol×197 g/mol+0.02×0.5 mol×87 g/mol=6 g。

有比較才有鑒別。下面是運用整體法解答這道題的過程：

(1)根據電子得失守恒，整個過程中，+7價的Mn獲得的電子等于-2價的O和-1價的Cl失去的電子，則有：0.04×(7-2)=4a+2b，整理得a+b=0.1-a，因a的最大值為0.02，所以a+b的最小值為0.08。

(2)當a+b=0.09時，即0.1-a=0.09，此時a=0.01。加熱后剩余固體的質量=原KMnO4的質量-放出的O2的質量=0.04 mol×158 g/mol-0.01 mol×32 g/mol=6 g。

兩種方法放在一起對比，繁簡不言自明。整體法是避開局部細節，從整體的高度來綜合分析問題、解決問題的方法。中學化學解題中常用到的質量守恒、電荷守恒、電子得失守恒、物料守恒、質子守恒、平均組成法等都在一定程度上體現了整體法的思想。

三、化學式的“重組”

3 333 333 333的平方是多少？

3 333 333 3332=3 333 333 333×3 333 333 333

=(3 333 333 333×3)×(3 333 333 333÷3)

=9 999 999 999×1 111 111 111

=(10 000 000 000-1)×1 111 111 111

=10 000 000 000×1 111 111 111-1×1 111 111 111

=11 111 111 110 000 000 000-1 111 111 111

=11 111 111 108 888 888 889

上面的運算過程巧妙地運用了“拆”和“組”。

中學化學中，化學式的“重組”也是一種常用的計算方法。請看下面幾個例子：

1.Na2O2與CO2、H2O反應固體增重的計算

拓展：凡是分子組成符合(CO)n(H2)m形式的一種或幾種物質，wg該物質在O2中完全燃燒后，將其產物(CO2和水蒸氣)通過足量的Na2O2充分反應后，固體增重必為wg。常見的符合這一關系的物質有：(1)無機物：H2、CO及H2和CO的混合氣體；(2)有機物：CH3OH、HCHO、CH3COOH、HCOOCH3、CH3CH(OH)COOH(乳酸)、C6H12O6(葡萄糖)等。

2.有機物的燃燒計算

有機中，為了燃燒計算的簡便，類似這種把化學式改寫成氧化物的形式也時有出現，例如：

凡分子式符合通式[(CO)m(H2O)n](m、n均為正整數)的有機物，在燃燒時消耗的O2與生成的CO2的體積比恒為1∶2。一般說來，含C、H、O的有機物皆可寫成[(CxOy)m(H2O)n]。當x=y=N(N為自然數)時，[(CxOy)m(H2O)n]即為[(CO)m(H2O)n]。

(1)若x=2,y=3，則此類有機物燃燒時消耗的O2與生成的CO2的體積比應為________。

(2)若消耗的O2與生成的CO2的體積比為3∶4，則此類有機物的通式應寫為________，其中相對分子質量最小的有機物的結構簡式為________________。

(3)碳原子數相同的某兩種有機物[指(2)中提到的有機物]的相對分子質量分別為a、b，且alt;b,則b-a必定是________(填一個數字)的整數倍。

(1)將x=2,y=3代入“(x-y/2)∶x”中，可得消耗的O2和生成的CO2的體積比為1∶4。

(2)因(x-y/2)∶x=3∶4,故x=2,y=1,這類有機物的通式為[(C2O)m(H2O)n]。當m=n=1時，該類有機物的式量最小，所以該有機物的分子式為(C2O)(H2O)，即C2H2O2，其結構簡式為OHC—CHO。

(3)若符合通式[(C2O)m(H2O)n]的某兩種有機物的碳原子數相等而相對分子質量不等，則兩種有機物的m值必相等而n值不等，顯而易見，二者的相對分子質量之差(b-a)必為18的整數倍。

化學式的“重組”還可以舉出不少例子，如將Fe3O4改寫成“Fe2O3·FeO”等。下面再看一道題：

( )

A.10.6 g B.5.3 g

C.15.9 g D.無法確定

解析：最后得到的固體成分是CaCO3和NaOH。將Na2CO3、NaHCO3改寫成“Na2O·CO2”“NaOH·CO2”，CaO與“CO2”組合為CaCO3，那么就只有Na2O需要結合“H2O”了，由題意可知，結合的水為29 g-27.2 g=1.8 g，即0.1 mol。

原混合物中含Na2CO3的質量為0.1 mol×106 g·mol-1=10.6 g。

湖南省婁底市第一中學)