二面角求解的七種方法

河北 陳寶友

二面角求解的七種方法

河北 陳寶友

立體幾何中的二面角是一個非常重要的數學概念，求二面角的大小更是歷年高考命題的熱點，在每年全國各省市的高考試題的大題中幾乎都出現. 而這類問題又是很多學生感到困惑的，表現為求解困難，失分較為嚴重.究其原因有二：一是不能正確地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角時存在計算障礙.常見基本題型包括：(1)求二面角的大小；(2)已知二面角的大小，求其它量；(3)求二面角的取值范圍.其實求二面角的方法很多，本文討論七種二面角的求解方法.

一、定義法求二面角

我們知道，從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個半平面叫做二面角的面，在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角.

本定義實際上為解題提供了添輔助線的一種規律，通過添加必要的輔助線，形成該二面角的一個平面角，再在該平面角內建立一個可解三角形，然后借助直角三角函數、正弦定理與余弦定理即可方便的解題. 定義法做二面角的平面角，要注意題設的特殊性，合理選擇棱上的點，且過這點在兩個平面內分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是平面角.

【例1】如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD.四邊形ABCD為梯形，AD∥BC,且AD=2BC.過A1,C,D三點的平面記為α，BB1與α的交點為Q.

(Ⅰ)證明：Q為BB1的中點；

(Ⅱ)若A1A=4，CD=2，梯形ABCD的面積為6，求平面α與底面ABCD所成二面角大小.

【解析】本題以直四棱柱為背景，考查考生的空間意識、運算和推演能力，考查空間整合思想的運用.

(Ⅰ)因為BQ∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ=B，

AD∩AA1=A，

所以平面QBC∥平面A1AD，

從而平面A1QCD與這兩個平面的交線相互平行，

即QC∥A1D.

故△QBC與△A1AD的對應邊相互平行，

于是這兩個三角形相似，

即Q為BB1的中點.

(Ⅱ)如圖所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A1E.

又DE⊥AA1，且AA1∩AE=A，

所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E，

故∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角．

因為BC∥AD，AD=2BC，

所以S△ADC=2S△BCA.

又因為梯形ABCD的面積為6，DC=2，

所以S△ADC=4，AE=4.

二、三垂線法求二面角

對于三垂線定理的內容我們非常清楚：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．通常當點P在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小，三垂線定理亦提供了另一種添輔助線的一般規律.

【例2】如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，點E是PD的中點．

(Ⅰ)求證：PB∥平面AEC；

(Ⅱ)求二面角E-AC-B的大小．

【解析】本題考查三垂線定理及直線與平面平行的判定．

(Ⅰ)欲證PB∥平面AEC，根據直線與平面平行的判定定理可知，只需證PB與平面AEC內任一直線平行即可，

由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC，

又AB⊥AC，

所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB.

連接BD交AC于點O，連接EO，

則EO是△PDB的中位線，

所以EO∥PB,所以PB∥平面AEC.

(Ⅱ)取AD的中點F，連接EF，FO，

則EF是△PAD的中位線，

所以EF∥PA，

又PA⊥平面ABCD，

所以EF⊥平面ABCD.

同理FO是△ADB的中位線，

所以FO∥AB，FO⊥AC，

由三垂線定理可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角．

所以∠EOF=45°，

而二面角E-AC-B與二面角E-AC-D互補，

故所求二面角E-AC-B的大小為135°．

三、棱的垂面法求二面角

所謂棱的垂面法，即空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角，其中面面垂直的性質定理和三垂線定理的應用是求解的關鍵.

【例3】如圖所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形．若∠CBA=60°，則二面角C1-OB1-D的余弦值為________．

【解析】如圖，因為四邊形ACC1A1為矩形，

所以CC1⊥AC.

同理DD1⊥BD.

因為CC1∥DD1，

所以CC1⊥BD.

而AC∩BD=O，

因此CC1⊥底面ABCD.

由題設知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD.

過O1作O1H⊥OB1于H，連接HC1，

由O1O⊥底面ABCD，知O1O⊥底面A1B1C1D1，

于是O1O⊥A1C1.

又因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等，

所以四邊形A1B1C1D1是菱形，

因此A1C1⊥B1D1，從而A1C1⊥平面BDD1B1，

所以A1C1⊥OB1，

于是OB1⊥平面O1HC1，進而OB1⊥C1H，

故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角．

不妨設AB=2，

因為∠CBA=60°，

在Rt△OO1B1中，

四、射影面積法求二面角

斜面面積和射影面積的關系公式為S′=S·cosθ，其中S為原斜面面積，S′為射影面積，θ為斜面與射影所成二面角的平面角，這個公式對于斜面為三角形、任意多邊形都成立.

【例4】如圖，在正方體ABCD-A1BC1D1中，E為AA1的中點，則平面B1DE與底面ABCD所成的二面角的余弦值為________.

【解析】在正方體ABCD-A1BC1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以A為點E在底面ABCD上的射影，

△ABD是△EB1D在底面ABCD上的射影三角形.

在△EB1D中，過E作EG⊥B1D于G，

設平面B1DE與底面ABCD所成的二面角為θ，

五、補棱法求二面角

補棱法是針對解構成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線，此即稱為補棱，然后借助前述的定義法與三垂線法解題.

【例5】如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA=2.

(Ⅰ)證明：平面PBE⊥平面PAB;

(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)正弦值的大小.

【解析】本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯然要補充完整(延長AD，BE相交于點F，連接PF)，再在完整圖形中找一個適合的點形成二面角的平面角解之.

(Ⅰ)證明：連接BD，因為ABCD是菱形，且∠BCD=60°，所以△BCD是等邊三角形．

因為E是CD的中點，所以BE⊥CD，又AB∥CD，

所以BE⊥AB．

又因為PA⊥平面ABCD，

BE?平面ABCD，所以PA⊥BE．

而PA∩AB=A，因此BE⊥平面PAB．

又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

(Ⅱ)延長AD，BE相交于點F，連接PF.

過點A作AH⊥PB于H，

由(Ⅰ)知平面PBE⊥平面PAB，

所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中，因為∠BAF=60°，

所以AF=2AB=2=AP.

在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，

連接AG，則AG⊥PF.

連接HG，由三垂線定理的逆定理得，PF⊥HG.

所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角(銳角).

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

六、補形法求二面角

某些特殊幾何體通過補形法，構造常見的長方體、正方體、正四面體等模型，使抽象問題簡單化，易找到二面角的平面角.互相垂直的兩兩長(正)方形補成長(正)方體易求二面角和體積.

【解析】因為AB=BC=1，SD=1，故可把原四棱錐補成正方體ABCD-A1B1C1S，連接A1B，則面ASD與面BSC所成的二面角，即為面ADSA1與BCSA1所成的二面角.

因為A1S⊥SD，A1S⊥SC，所以∠CSD為所求二面角的平面角，∠CSD=45°，故所求二面角為45°.

七、向量法求二面角

向量法解立體幾何是一種十分簡捷且常見的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時，通常要建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標法表示的向量，進行向量計算解題.

【例7】如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，PA=AB=a，點M是PC的中點．

(Ⅰ)求BP與DM所成的角的大小；

(Ⅱ)求二面角M—DA—C的大小．

設直線BP與DM所成的角為θ，

所以BP與DM所成的角的大小為90°.

所以所求的二面角M—DA—C的大小為45°.

利用向量法解決空間角的求解問題，首先需要根據幾何體的結構特征建立合理的空間直角坐標系，準確求出點以及向量的坐標是解決此類問題的基礎，準確求解直線的方向向量與平面的法向量是關鍵，最后只需利用這些向量表示所求角即可.解題時，要注意向量的夾角與所求角之間的關系，進行正確轉化.如求解二面角時，要注意根據幾何體的結構特征準確判斷二面角的取值范圍；求解線面角時，要注意三角函數名稱的變化.

河北省衡水市鄭口中學)