近年高考數學文化試題的綜述

羅文軍

近年高考數學文化試題的綜述

羅文軍

數學文化試題近年來在高考中一直有所體現。對這些試題進行統計，可以得出部分出題規律。對教材中并未涉及的試題背景進行歸納，有助于教師有針對性地指導學生復習迎考。

數學文化；高考試題；備考策略；試題統計

一、數學文化的內涵

顧沛在《數學文化》一書中從課程角度解釋了數學文化內涵：簡單說，是指數學的思想、精神、方法、觀點，以及它們的形成和發展；廣泛些說，除上述內涵以外，還包含數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的關系等等。

2003年版的 《普通高中數學課程標準 （實驗）》中提出的新課程標準理念之一是體現數學的文化價值。但在具體教學中，大多學校由于高考沒有對數學文化提出要求，對課本中涉及數學文化的閱讀與思考、探究與發現以及人教A版選修3-1《數學史選講》等內容在教學中都沒有開展，這造成了不知道《九章算術》的高中生大有人在。2017年修訂后的高考數學考綱增加了對數學文化的要求——展現數學的科學價值和人文價值。這對高中教學具有很好的導向作用。以數學文化為背景命題，為高考注入了新的活力。歷年高考題中不乏滲透數學文化的試題，這類試題凝結了高考命題專家的心血和智慧，本文對這類試題加以綜述與分析。

二、數學文化試題的統計與分析

以下是近5年高考全國卷（見表1）、湖北卷2009~2017年（見表2）、其他省份 2007~2017年（見表3）數學文化試題分布統計表。

表1 近5年全國卷中數學文化試題分布統計

表2 湖北卷2009~2017年高考數學文化試題分布統計表

續表2

表3 其他省份2007-2017年高考數學文化試題統計

續表3

從上表不難看出，從2009年到2017年間，湖北卷出現的數學文化試題總數目較多，類型五花八門。全國卷在2013年到2017年間，在Ⅰ卷或Ⅱ卷中相應設置了一些數學文化試題。無論從全國卷、湖北卷，還是其他省高考試卷來看，高考數學文化試題主要出現在理科試卷中。從題型上來看，數學文化試題主要以小題的形式出現在選擇題和填空題里面，解答題中較少。從所考查的知識點上來看，以我國經典數學名著《九章算術》《數書九章》《算法統宗》和《算數書》中問題為背景的文化試題，主要考查立體幾何、數列、算法程序框圖等知識內容。以“阿基米德三角形”“蝴蝶定理”為背景的試題出現在解答題里面，主要考查解析幾何的知識。

其次，有的數學文化試題直接給出了背景，有的沒有給出背景。這些數學文化試題，有的出自我國經典古名著，有的出自數學名題，有的以著名圖形為背景。既考查了高中數學主干知識，也考查了學生的創新意識，關注了考生的人文情懷。這類試題豐富了高考數學命題的素材，使高考試題充滿了生機和靈氣，也增強了考生的文化自信。在2017年高考數學考試大綱修訂后，2017年全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、浙江卷都相應地設置了數學文化試題，我們可以大膽推斷，在2018年高考中，將有更多的省份、地區設置數學文化試題，數學文化試題所占的比例也將會有所增加。

三、數學文化試題背景歸類

1.源自古代數學名著的文化試題。

以 《九章算術》《算法統宗》《數書九章》《算數書》等古代數學名著為背景的試題可以歸為此類。其中《九章算術》出現的次數最多。《九章算術》是在相當長的一段時間里經過眾多學者的收集、刪補而編纂的中國古代經典著作，成書于約公元前1世紀。《九章算術》涉及農業、商業、工程、測量、方程解法以及直角三角形的性質等知識。它是中國古代數學知識的縮影，全書包含246道應用問題，分成九章編寫：方田，粟米，衰分，少廣，商功，均輸，盈不足，方程，勾股。《九章算術》作為“算經十書”之首，其中包含了數形結合思想、算法化思想、極限思想、模型化思想。它們在很大程度上反映了我國傳統數學的基本思想方法，對于培養學生的數學能力有著重要的意義。

2015年新課標全國卷Ⅰ理科第6題源于《九章算術》第五章《商功》之［二五］，該題將古代文化“依垣”和現代數學概念“圓錐”結合，試題新穎，貼近生活，考查了圓錐的性質和圓錐的體積公式。對弘揚中國數學文化，培養學生的愛國情操和認識中華古典文化有著深刻的教育意義。

除了《九章算術》，以其他古代數學名著為背景的試題也零散出現于過往的考題中。例如，2017年全國新課標Ⅱ卷理科第3題以 《算法統宗》中的問題為背景，考查了等比數列的定義、通項公式和前n項和公式。

2.源自著名圖形。

中國古代圖形的創意化應用來源于對文字符號的意象化創意，其中最著名的是太極圖。它是中國古代人智慧的結晶，也體現了中國古代文化的博大精深。太極圖的原型為兩條相互追逐的魚，逐漸演化為現在所見的標準太極圖。標準的太極圖被S線分為黑白兩個區域，黑為陰，白為陽，同時黑色區域里有一白點稱為陰中陽，白色區域里一黑點稱陽中陰。太極圖集美學與哲學于一體，凝聚了中華傳統文化的思想精髓，概述了宇宙萬物的規律，體現了精深的美學思想，反映了中華民族思維方式和文化觀念。2017年全國新課標I卷理科第2題以太極圖的對稱美為背景，考查了與面積有關的幾何概型概率的計算。

高考中還有源自著名圖形趙爽弦圖、楊輝三角、畢達哥拉斯形數的文化試題。

3.源自名題。

以祖暅原理、劉徽“割圓術”、阿波羅尼圓、斐波那契數列、勃羅卡點、將軍飲馬問題、米勒問題、皮克定理為背景的文化試題，都可以看成源自歷史名題。

劉徽是我國魏晉時期的數學家，他提出的“割圓術”是求圓周率的一種著名算法。割圓術中提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割至于不可割，則與圓合體而無所失矣”可視為中國古代極限思想的論述。

2017年高考浙江卷理科第11題以劉徽割圓術為依托，考查了利用三角形面積公式求圓的內接正六邊形的面積，弘揚了我國傳統的數學文化，有助于提高學生的數學素養。人教A版數學必修3第45頁“閱讀與思考”中專門介紹了“割圓術”。

4.以著名猜想為背景的文化試題。

以“角谷猜想”“四色猜想”為背景的試題可以看成源自著名數學猜想的試題。

“角谷猜想”，又稱“冰雹猜想”，內容為：任意給一個自然數n，如果它是偶數，就將它除以2，即將它變成；如果它是奇數，就將它乘以3再加上1，即變成3n+1。對任意的一個自然數，施行這種演算手續，經過有限步驟后，最后結果必然是自然數1。2009年湖北卷理科第15題以角谷猜想為背景，考查了數列的遞推公式和分類討論思想。

5.體現數學之美的數學文化試題。

典型的是以蝴蝶定理為背景的高考數學文化試題。

圖1中，左邊是一只漂亮的蝴蝶，幾何圖形化、數字化后得到一個漂亮命題：設AB是圓O的一條弦，過AB的中點M，作兩條弦CD和EF，設 CF、ED與 AB分別交于 P、Q兩點，則MP=MQ。人們將其稱之為“蝴蝶定理”。蝴蝶定理的證明目前已有60多種不同的方法。2016年山東卷文科第21題以橢圓中的蝴蝶定理為背景，考查了橢圓的方程、橢圓中的定值問題、直線與橢圓的位置關系、橢圓中的最值，也考查了考生的推理論證能力和運算求解能力。

體現數學之美的還有以黃金分割比為背景的數學文化試題。2012年高考湖北卷理科第14題以黃金雙曲線為載體，考查了直線與雙曲線的位置關系，雙曲線的幾何性質以及數形結合的思想。

6.體現數學與其他學科聯系的數學文化試題。

（1）以黑洞數為背景的文化試題（體現數學與天文學聯系）。

“黑洞”是天文學中的一個概念，數學中也存在類似天文學上的黑洞——數字黑洞。數字黑洞其實并不是真正意義上的黑洞。人們對某一自然數，給定一個特定的運算規則后，經過一步或者幾步運算之后其結果會循環出現。人們形象地把這一現象稱為數字黑洞。2014年湖北卷理科第13題的背景是數學黑洞問題，考查了程序框圖的運算，也考查了學生的推理論證能力和創新意識。

（2）以回文數為背景的文化試題（體現數學與文學聯系）。

“回文”是指無論順拼（寫）或倒拼（寫）都完全一樣的詞、詩歌、句子或數字等。在數學里，無論從左到右還是從右到左都是同一個數的正整數稱為回文數。以“回文數”命制試題，體現了數學背景下的對稱之美。2012年湖北卷理科第13題以有趣的回文數為背景進行命制。該題直接給出回文數概念來考查學生的排列組合知識以及數學學習和理解能力，側重考查學生利用排列組合知識分析解決問題的能力。該題通過創設新穎有趣的背景，進而在新的知識背景中考查排列組合知識的掌握及應用。

四、數學文化試題的教學策略

首先，每一個數學知識都有其背景和文化，因此在授課的時候，教師可以提前讓學生搜尋某一知識的背景或者創作這個知識或公式的故事。讓學生在故事中體會數學的魅力和文化。在以后的學習中，學生潛移默化地受這些文化所影響，自然而然地就有了一定的思維能力，從而提高學生的學習能力。例如在 “基本不等式的教學中，可以安排學生課前收集趙爽弦圖的知識并整理成小短文，課堂上講到趙爽弦圖時，讓做了準備的學生發言，介紹自己搜集到的成果。

其次，部分高考數學文化試題在課本中能找到影子，例如秦九韶算法、更相減損術出現在人教版數學必修3的正文中，伯努利不等式出現在選修4-5的正文中，高斯函數、阿波羅尼圓、角谷猜想出現在教材習題中，祖暅原理、劉徽割圓術、斐波那契數列出現在教材閱讀與思考或探究與發現欄目中。在具體教學中，教師可以設置一些數學文化習題與這些數學文化知識相配套。

再次，在高一、高二的教學實踐中，教師可以自己仿照歷年高考數學文化試題根據《九章算術》等經典名著中的經典問題編制立體幾何、數列或者程序框圖文化試題。教師可以自己上網搜集阿基米德三角形的性質等知識點，根據性質自己改編一些試題，以便學生在學習中使用。

最后，在高三復習教學的二輪復習專題中，要做到回歸課本，挖掘課本中的數學文化素材。教師可以專門精心挑選歷年高考真題、2017年和2018年各省模考試題中的經典數學文化試題編制數學文化專題，讓學生通過做題，加深對數學文化知識的理解。在具體的教學中，教師可以收集這些文化試題的背景知識制作成課件，借助多媒體進行演示，這樣不但可以提高學生的學習興趣，也可以培養學生的創新意識。

［1］顧沛.數學文化［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［2］陳昂，任子朝.突出理性思維，弘揚數學文化［J］.中國考試，2015（03）.

［3］梅磊，史嘉.例談數學文化融入高考試題的意義和途徑［J］.中學數學教學參考：上旬，2015（1~2）.

G633.6

A

1005-6009（2017）75-0041-04

羅文軍，甘肅省秦安縣第二中學（甘肅秦安，741600）教師，二級教師。