藏在簡單錯誤中的“高級思維”

劉麗娜

藏在簡單錯誤中的“高級思維”

劉麗娜

做錯題是學生在數學學習中普遍存在的現象，其價值值得教師關注和思考。教師可通過關注簡單思維的“角落”，走到一般思維的“背面”，發現常態思維的“變式”，巧妙利用數學學習中的簡單錯誤培養學生的“高級思維”。

簡單錯誤；“高級思維”；關注角落；走到背面；發現變式

黑格爾說：“錯誤本身是達到真理的一個必然的環節。”數學學習也是如此。看似簡單的一個個錯誤，若能穿珠成串，讓每一個錯誤都閃耀它的光芒，折射它的價值，那么錯誤將不再是糟粕，而是能讓學生開出高級思維花朵的沃土。

一、關注簡單思維的“角落”

即使再優秀的數學家也會犯錯，錯誤并不可怕，只要能定點錯誤方位，深入分析，實現有效的自我反省，在被忽視的角落里挖掘亮點，就能使數學思維得到完善性的提升。

（一）肯定建構的視角，注入數形的力量

建構主義學習觀強調給學習者整體性的任務，將學習者帶入一個較為完整的問題情境之中，使他們搭建自己的思維體系，在學習過程中掌握相關的方法和知識。例如蘇教版四下的一道習題：一本故事書共340頁，丁丁看了4天后，剩下的比已經看的少100頁，丁丁平均每天看多少頁？

學生解題的本意不錯，有理有據，步步為營，卻不知誤把100頁當作剩下的頁碼，從而一步步出錯，徒勞無功。若能將此類問題，在搭框、造架、填充后注入“數形結合”的思想——借助線段圖，那本題的難點“求出已看的頁數”也就能成功突破了。

學習并非個體獲得越來越多的外部信息，而是學到越來越多有關認識事物的結構，不斷搭建新的認知圖式。解題時學生已有初步的建構視角，教師只需在此基礎上引入圖形解題法，學生的思維便能得到進一步延展。

（二）撫摸感性的觸角，添加理性的因子

感性思維往往先入為主，有時能觸發意想不到的靈感，美妙無窮。數學思維需要感性的猜想，同時，也與左腦的分析、邏輯、判斷思維以及順序的、線性的加工、處理信息的方式密不可分。例如蘇教版四下的一道習題：

下面哪個算式與99×a+99結果相等？

A.99×（a+1）

B.99×a+1

C.a×（99+1）

有字母a又有特殊數99，學生往往會憑主觀意愿讓99+1湊成整百，認為這樣就可以進行簡便計算了，但對于這道題，這些學生的感性思維并不正確，此題必須按照“乘法分配律”來進行化簡，不可感情用事。

思考若能分層，以線性模式割裂，一段一段地加以比對，也許有助于減少這種感性錯誤，促進理性的因子自然融入，相得益彰。

（三）尋找獨特的轉角，成就別樣的精彩

普遍性思維固然容易理解，但獨特性思維更能煥發光彩。我們欣賞常態性解題的縝密清晰，更期待個性化解題的多元奇特。例如蘇教版六上的一道習題：

一般學生都會先求剩下的分率，再求總個數，最后求已經生產的個數。思路清楚明了，易于解答。但筆者的學生小準有不同的見解：先求剩下的份數，再求已經生產的是剩下的幾分之幾，最后求已經生產的個數。

獨特的轉角，確實有別樣的風景：讓學生再來仔細看看解題步驟，小準同學恍然大悟，原來第二步應求每一份是多少個玩具。這樣的一次錯誤經歷，讓學生明白了獨特轉角固然好，要成就別樣精彩還需嚴密細致的思路。

二、走到一般思維的“背面”

學生的數學思維總是帶有一些慣性與傾向性，喜順不喜逆，樂簡畏懼繁，觀靜不思動，這樣的導向性習慣，會讓他們的思維深受桎梏，抑制其創新性思維的培養。思維的發展不僅是讓原有的一般思維發揮所長，更是讓獨特與創新性思維得到開拓與生長。

（一）辯證思維：順逆兼顧，最佳相遇

數學是蘊含著辯證性質的，在數學的多種對立環節中總存在著對立統一的關系，順逆思維便是如此。如何在順向思維、逆向思維中尋找最佳的相遇點？可行的思路是分析條件整合以后與結論的差異有多少，設法逐步消除這些差異。例如蘇教版四下的一道習題：

師傅和徒弟加工同一種機器零件，8小時內，師傅加工了15盒，徒弟加工了9盒。徒弟共比師傅少加工48個。師傅和徒弟各加工多少個零件？

讓學生分別說說數量關系式，就會發現學生的思維漏洞百出。教師可以引導學生思考：既可以從條件出發，又可以從問題反思。順推：可求出徒弟比師傅少加工幾盒、每盒多少個以及每小時少加工多少個；逆求：需知道師傅、徒弟各加工幾盒以及每盒多少個。在順逆推理中，便能知道這道題的關鍵點是“每盒多少個”。在有意義的求解過程中，必然會選擇有用的條件而擯棄無用的條件（8小時內）。一般思維的唯一方向性得到巨大挑戰，單向的思維習慣顯然對解題無益，而雙向的思維習慣可以更準、更佳、更快地打通思路。

（二）切換思維：繁簡互逆，因地制宜

簡單與繁復也是相對而言的，以簡馭繁變換映射的思維方向顯示了一種精確等價的便捷途徑，但有些情形只能由簡化繁，情況不同思路也就不同。例如蘇教版五下的習題：

1.以簡馭繁——分數的大小比較常用的方法就是通分，但有時并不需要通分。比如比大小，只需比較誰更接近1。再比如比大小，只需和比較。

2.由簡化繁——用分數表示圖中的涂色部分，很多學生的答案是究其原因，原來是學生將涂色正方形假想性旋轉，以為正方形的面積是9格，如果能光憑旋轉就將此題解決，那真是異常簡潔。但旋轉帶來的是近似正確的錯誤，真正要解決本題，還需進行剪切拼裝，將圖中紅綠、黃藍三角形部分分別拼接，才能得到涂色的總格數是10格。

看似繁復，但必須繁復。繁簡之間的不斷變換，都應隨機應變，不必過分追究繁簡的形式，更應注重是否抓住了數學本質與相關聯系，從而讓思維的轉換更具現實意義。

（三）動態思維：局部固定，模擬場景

動和靜是事物狀態的兩個側面，在數學教學中，動和靜在同一個參照體系中既是相對的，又是可以相互轉化的。例如蘇教版四下的一道習題：

小紅有65張郵票，小華有55張郵票。小紅給小華（ ）張郵票后，兩人的張數就一樣多了。

顯然小華與小紅相同部分的55張是局部固定的，而相差的10張就是該思考的部分。10張如何處理？化靜為動，全給還是給一半？讓畫面動起來，在腦子里模擬兩種場景，結論也就顯而易見了。固定靜態部分，活躍動態部分，腦海中豐富的畫面感給解題帶來了有效的支撐，提升了學生的解題能力，促進了其思維的質性飛躍。

三、發現常態思維的“變式”

語言在數學學習中扮演著重要的角色，學生正是借助鑲嵌在數學中的語言游戲而獲得數學知識，并且在師生對話、生生對話、自我對話中獲取、修正、反省、重建數學語言體系。

（一）一詞多義——巧讀文本，從理到文

文本對話，即將即時性的講話予以保留，使得數學內容以一種獨白的形式展現出來。沒有無緣無故的錯，學生的錯都是事出有因，錯誤的原因靜靜躺在筆尖，待有心人發現。例如蘇教版四下的一道習題：

繞地球一周航海旅行，如果每天航行450千米，大約需要89天才能完成。繞地球一周大約要航行多少千米？

學生的解答：450×7=3150（千米）。何解？一場文字的溝通給了我們答案。學生看見“一周”便認為是一星期7天，7天和每天450千米，不是配套嗎？而不知此“一周”與“一周”雖是同字，但絕非同義，查閱字典的功效在此處發揮得淋漓盡致。引導學生查字典發現：周：（1）圈子：地球繞太陽一～是一年。（2）星期：上～，下～。

回過頭來，讓學生自己與習題和錯誤對話，學生便能正確理解題意。題意的分析與解讀，更能使學生的數學思維加深印記。

（二）一音多詞——細磨要詞，變窄為寬

心理活動是思維的產物，而口頭對話則是思維的外顯。口頭對話是心理語言的一種輸出，帶有相互交流、糾正、深省的性質。例如蘇教版四下的一道習題：

一列火車從甲地開往乙地，每小時行65千米，行了4小時后超過中點120千米，甲、乙兩地相距多少千米？

這題的出錯率非常高，出錯癥結大多沒有注意關鍵詞“中點”。在講評題目時，教師請學生自己來解釋“中點”“終點”的意思，學生舉例“期中考試就是學期到一半時進行的考試”“期終考試是學期結束時的考試”。教師可以在學生充分理解了同音兩詞的意思后，進行對比題訓練，變換關鍵條件，再讓學生進行交流對話。

變換條件：A.行了4小時后超過中點120千米。B.行了4小時后超過終點120千米。

大多學生都有囫圇吞棗審題習慣，不會運用科學的帶有理解性的讀題方式解決問題。再次討論后，學生的一些方法讓人眼前一亮。圈畫法：關鍵詞句圈劃；去雜法：多余條件劃去；簡圖法：抽象條件畫圖；重讀法：難懂條件讀兩遍。

對話的生成，激活彼此的思維，將狹窄的就題論題思路變為寬闊的舉一反三，給學生留下了深刻的記憶。可見，巧妙利用學生的錯題也可激起千層浪，浪花朵朵綻開在學生常態思維的海面上，推陳出新，獨特奇異。

錯誤就像水源，源源不斷，清冽甘甜。教師應善用教學智慧，引導學生析錯改錯，逐步培養學生獨特創新的批判性思維。于錯誤中滄海拾貝，品思維內光彩異常，甚是美好。筆者愿踐行于教育前行之路上，涉足于心智蛻變之旅程，一路賞花觀景，怡然自得……

［1］謝明初.數學教育中的建構主義［M］.上海：華東師范大學出版社，2007.

［2］任樟輝.數學思維理論［M］.南寧：廣西教育出版社，2003.

［3］鄭毓信.數學教育哲學的理論與實踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

G623.5

A

1005-6009（2017）81-0029-03

劉麗娜，江蘇省常熟市實驗小學（江蘇常熟，215500）教師，一級教師。

注：本文獲2016年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。