慢思考，引領兒童走向數學意義的深刻理解

王志南

慢思考，引領兒童走向數學意義的深刻理解

王志南

慢思考是指教師在教學數學核心知識的過程中，引導學生全面、細致、深入地思考，把問題琢磨透徹，進而使學生深刻理解和掌握所學的數學知識。教師可運用慢思考的教學原則，通過數學意義慢生成、數學發現慢探究、數學模型慢建構、數學訓練慢琢磨，引領兒童走向數學意義的深刻理解。

慢思考；數學意義；教學策略

在數學教學中，為了加速學生的思維過程，許多教師會教給學生一些“套路”，以提高學生的解題速度。但是，“套路”教學在其表面的“高效”之下隱藏著巨大的隱患：學生并未真正理解問題情境的內部表征和結構。鑒于此，筆者結合數學教學實踐以及心理學家康納曼《快思慢想》的思想理論，嘗試闡明慢思考數學教學的內涵和原則，探索慢思考數學學習的教學策略，以期對打破數學教學的固定“套路”有所幫助。

一、慢思考的教學價值探析——從一道習題的解答談起

在一次六年級教學調研中，有這樣一道題：用彈簧秤稱物體時，所稱物體的質量與彈簧長度的變化如圖1所示。

1.稱4千克物體時，彈簧長度是（ ）厘米；當彈簧長度為14厘米時，物體重（ ）千克。

2.所稱物體的質量與彈簧的長度（ ）。 （填“正比例”“反比例”或“不成比例”）

圖1

許多學生在解答第二小題時毫不猶豫地選擇“成正比例”。為什么會出現這樣群體性的錯誤呢？因為在平時的訓練中，師生均習慣于“看圖說話”，由于正比例關系的圖像是一條直線，逆向推理得出：圖像是直線時的兩種量也一定成正比例。而如果我們進行慢思考，則會發現彈簧的長度與所稱物體的質量的比值在不斷變化，因而這兩種量是不成正比例的。

康納曼在他的著作《快思慢想》中，將心中的兩個系統叫作系統一和系統二。系統一是自動化的運作，非?？臁⒉毁M力氣，即使要費力，也很少，它不受自主控制（即“快思”）。系統二則動用到注意力去做費力的心智活動，包括復雜的計算（即“慢想”）。鄭毓信教授認為：如果接受關于“快思”與“慢想”的二分，那么，數學思維顯然就屬于“長時間的思考”（康納曼稱為“系統二”）的范疇。教師在引導學生進行慢想時，應當更加重視數學思想方法的普遍意義，賦予“慢想”新的內涵，引導學生關注“為什么可以這樣做”“可以怎樣進行數學思考”“所獲得的數學規律、法則是否具有普遍性”等。

二、慢思考的教學內涵及其教學原則

（一）慢思考的教學內涵

所謂慢思考，是指教師在教學數學核心知識時，如核心概念的形成、規律的探究、模型的構建、方法的內化等，引導學生全面、細致、深入、長時間地思考，把問題琢磨透徹，進而深刻理解和掌握所學的數學知識。

（二）慢思考的教學原則

1.著眼發展，把握核心問題原則。慢思考的目的是讓每一個學生都能真正地進行數學思考，致力于每一個學生的思維發展，因此，慢思考的前提是教師要把握好數學學習中的核心問題，聚焦于那些需要引導和指導思考的問題，而這些問題往往是學生構建數學意義過程中的疑難點、關鍵點。

2.自主探究，構建數學意義原則。美國心理學家羅杰斯說：“真正能夠影響一個人行為的知識，只能是他自己親身經歷并加以同化的知識，凡是可以教給別人的結果性知識相對來說都用處不大?！睆倪@個意義上講，在數學學習過程中，教師必須基于學生已有經驗引導他們進行自主探究，更要凸顯學生的獨立思考和數學意義的自我構建。

3.由表及里，走向深刻理解原則。教師要溝通知識間的聯系，著力在數學概念和方法間建立聯系，保持數學學習應有的深度和寬度，最終走向深刻理解。

4.凸顯過程，聚焦關鍵環節原則。教師組織學生進行慢思考，必須慢在學生學習中的關鍵環節上，展示這一過程，恰恰是將學生在思維過程中感到糾結、困惑、不明內在原因的內容進行暴露，引導學生通過充分的思考和討論，獲得更為清晰、深刻的認識，明白其內在的數學邏輯。

三、慢思考，引領兒童走向數學意義深刻理解的教學策略

在數學教學中，慢思考意味著對數學意義和內涵的細細咀嚼、慢慢品味，只有放緩思維的節奏，學生才能領略到“快跑”中所不能領略的美妙風景。那么，教師應如何引導學生進行慢思考呢？

（一）數學意義慢生成，在情境內化中深刻理解數學核心概念

學生對數學核心概念、定義的意義理解在后續的學習中起著關鍵性的持續性影響和作用，推動或阻礙著他們后續的學習。在數學意義生成的過程中，教師要創設富有意義的情境，引領學生經歷數學意義的發生和內化過程。例如：特級教師俞正強在執教“用字母表示數”時，設計了如下問題情境：

1.在一個信封里放一支、兩支粉筆，分別可以用什么數字表示？再放一些粉筆，用什么表示？

2.在另一個信封里放一些粉筆，用什么表示？這里的字母Y和第一個信封中的粉筆數X相比較，可能是誰大？這兩個字母有什么關系？

3.借助現場環境，生成問題：我們這兒共有多少個人？可以用哪個字母表示？（a）有多少個學生？（36）我們這兒有多少個大人？ （x）請問 a和 x，誰大？你覺得大人還可以怎樣表示？

研究表明，數學概念的理解和構建不是機械地重復和記憶相關對象的形式定義 （即概念描述），而需要從“理解學習”的角度去分析，應被看成一個“意義賦予”的過程。上述案例中，俞老師通過具體的問題情境，分三個層次引導學生理解“用字母表示數”的意義：一是已知的用數字，未知的用字母來表示；二是在同一事件中，不同的對象，用不同的字母來表示；三是可以用字母式來表示未知的數量，字母式可以反映量和量之間的關系。這三個問題的推進和學生的意義生成過程，看上去是非常緩慢的，但真實反映了學生初步學習用字母表示數時復雜的心路歷程，促成了學生對“用字母表示數”意義的深刻理解和領悟。

（二）數學發現慢探究，在前思后想中深刻理解數學探究活動

小學數學教材經常引導學生通過觀察度量、操作實驗、進行不完全歸納等方法來探索和發現數學規律、公式。從慢思考的視角來看，教師還要引導學生前思后想：為什么要探究？怎么想到用這個方法進行探究的？探究后有怎樣的新思考？例如：教學蘇教版五下《圓的面積》一課時，可以設計以下教學環節：

1.估一估：依據圓的面積與半徑平方的關系，得出圓的面積大于2r2，小于4r2。

2.數一數：用數方格的方法，進一步探索圓的面積與半徑平方的關系，得出近似值3.1倍。

3.再次逼近，依次分成4份、8份、16份……轉化成近似長方形。組織學生討論，發現圓的面積計算公式。

4.引導學生回顧圓的面積的探究過程，談談自己的收獲和新思考？

可以說，兒童思維的沖動源自心靈的好奇，只有學生對圓的面積和半徑平方之間的關系產生好奇，學生的探究才是富有生命力的。從估測到數方格探究，再到逐步轉化成近似的長方形，探究的進程看似很慢，但意在讓學生在慢思考中感悟到“動手操作不應是盲目的開始”，需要在操作前就進行相應的猜想估測和理性思考。同樣，數學探究的“后想”也是提升學生數學認識的重要一環，要讓學生對自己的探究過程進行再認識，深刻而全面地理解探究活動。

（三）數學模型慢建構，在抽象提煉中深刻理解數學內在結構

數學模型的“慢”建構，是指教師要把數學模型構建過程中最為關鍵而又容易被忽略的關鍵點呈現出來，促進學生進行深入本質的數學思考。例如：教學蘇教版五下《轉化策略》第二課時，可以開展以下教學：

1.提問：計算這道題可以怎樣進行轉化？

2.組織交流，學生介紹算法。

4.尋求方法。通過回憶，結合畫圖展開思考，從簡單的依次想起，進而發現數形結合的轉化方法。

案例中，教師并沒有直接告知學生“還可以結合圖形進行思考”，而是故意讓學生遭遇困惑，體驗通分計算的繁難，形成認知沖突，誘發探究其中數學規律的心理需求。而后，引導學生從簡單的地方開始思考，逐步進行數形之間的模型構建，由圖形中的關系推及數據中的關系，尋獲進行簡便計算的方法。事實上，引導學生進行數學模型的慢構建，教師在教學中要善于拍 “慢動作”，引導學生回到問題的原點，從簡單到復雜，從表層到深層，聯系已有數學認知對新知進行充分的思考和數學意義的自我構建。

（四）數學訓練慢琢磨，在方法辨析中理解掌握數學思想方法。

從長遠的角度看，數學學習的目的不能局限于解決一些具體的數學問題，而是要結合具體問題的解決過程滲透相應的數學思想方法。例如：教學蘇教版六下《平面圖形的面積總復習》時，經常會遇到“求正方形內最大的圓的面積”“求圓內最大的正方形的面積”等題型，教師可以溝通不同問題情境間的內在聯系，進行如下設計：

1.問題情境一：以圓的半徑為邊長畫一個小正方形，小正方形的面積是6平方厘米，求圓的面積。

2.問題情境二：在一個正方形內畫最大的圓，圓和正方形的面積有怎樣的關系？

3.問題情境三：一張邊長為1米的方桌，要給它配制一個圓桌面，請求出圓桌面的面積。圓的面積和圓內最大正方形面積之間有怎樣的關系？

4.溝通比較，抽象概括：同一個圓，在圓外畫最小的正方形，在圓內畫最大的正方形，三者之間的面積有怎樣的關系？

案例中，教師從整體上把握教學內容，設計具有張力、能夠推進學生進行思維“爬坡”的問題情境，促進學生的認識由“表層結構”走向“深層結構”。學生的思維圍繞“有怎樣的規律”“為什么有這樣的規律”而展開，學生緊扣r2展開思維過程，運用假設、推理等數學思想方法解決問題，深刻理解和掌握不同問題情境間的內在關系，并在數學方法的比較中進一步理解和掌握數學思想方法。

總之，慢思考的教學價值就在于引導學生走向對所學內容的深刻理解和數學認知的深度建構，使學生對核心概念、數學規律、數學模型、數學思想方法的掌握更為深刻和牢固，從而創建豐富的、經過整合的知識結構，進而形成高度結構化的知識，促進學生數學核心素養的形成。

［1］康納曼.快思慢想［M］.洪蘭，譯.臺北：天下文化出版股份有限公司，2012.

［2］鄭毓信.“數學與思維”之深思［J］．數學教育學報，2015，24（1）：1-5.

［3］鄭毓信.新數學教育哲學［M］.上海：華東師范大學出版社，2015.

G623.5

A

1005-6009（2017）81-0032-03

王志南，江蘇省南通市通州區西亭小學（江蘇南通，226301）辦公室主任，一級教師，南通市數學學科帶頭人。

注：本文獲2016年江蘇省“教海探航”征文競賽二等獎，有刪改。