立足生本課堂 培養數學素養
——“三次函數的圖象和性質”教學設計

張 亮 田澤華

立足生本課堂 培養數學素養
——“三次函數的圖象和性質”教學設計

張 亮1田澤華2

“人在課中央”是對人與課的辯證關系形象而又準確的描述，充分體現了新課標所倡導的“以人為本”的教育理念。在高中數學教學中，通過問題驅動，激發學生求知欲，激活學生思維，促進學生自主學習、合作學習和深度學習；通過小組探究、匯報交流，讓學生內隱的心理活動、知識內化過程通過外顯的行為表現出來，培養學生自主探究、樂于探索的品質；通過自主命題，培養學生提出問題、解決問題的意識與能力，服務于學生的生命成長和終身發展。

三次函數；問題驅動；小組探究；自主命題

“人在課中央”是對人與課的辯證關系形象而又準確的描述，充分體現了新課標所倡導的“以人為本”的教育理念。課堂是教學的主陣地，追尋課堂教學的本意和靈魂，就應該以學生為整個教學的中心，服務于學生的學習和發展。教師需要從課堂的主宰者轉變為學習資源的整合者、學習方法的指導者、學習效果的評價者，在預設的教案中及時做加減法，使教學的深度、廣度適合學生的知識水平和接受能力，同時又根據學生的個性特點和個別差異，貫徹因材施教原則，為不同層次的學生搭建支架，以滿足學生的需要，促進學生主動學習和深度學習。

筆者有幸參加了第12屆“杏壇杯”課堂教學展評活動，并嘗試在“三次函數的圖象和性質”一課的教學中讓學生始終置身于課堂的中央、教學的中心。本課的學習是以導數研究函數的方法為主線,探索三次函數的圖象特征和相關性質。通過問題驅動，學生自主建構導數研究函數的方法；通過小組探究、匯報交流,學生經歷知識的形成過程；通過自主命題、提出問題，學生實現知識和方法的自我反思和內化等。這樣的教學設計和安排有效地突出了教育教學活動的學生主體性，培養了學生的邏輯思維能力，自主探究、樂于探索的品質以及提出問題、解決問題的意識與能力，服務于學生的生命成長和終身發展。本課主要的教學過程如下。

一、教學過程

1.問題引入，明確作圖方法。

問題 1：畫出函數 f（x）=x2+2x-3的大致圖象。

請學生上黑板作圖，根據學生的回答歸納出3種作圖思路：描點作圖，根據性質作圖和借助一次函數研究二次函數，從而得到圖象。

（設計意圖：在學生已經掌握二次函數的基礎上通過對一個二次函數大致圖象作圖方法的討論，明晰作圖的常用方法，為下一步研究做了知識和方法上的鋪墊，激活學生思維。）

2.引出課題，構建探究方法。

問題 2：借助二次函數 f（x）=x2+2x-3，可以研究哪類函數的性質呢？請畫出的大致圖象。

（學生上黑板作圖）

師：請說說作圖過程。

生：由 f（x）=x2+2x-3 的值為正、負、零得到三次函數的增區間（-∞，-3）、（1，+∞），減區間（-3，1）和極值點x1=-3、x2=1，再作出函數簡圖。

師：我們根據二次函數值為正、負、零的情況，得到三次函數的增、減區間和極值點，進而作出大致圖象。這為我們研究三次函數提供了一種方法——利用導函數研究函數。

（設計意圖：利用求導函數的原函數的方式引出課題，同時提供探究實例。在探究三次函數的圖象和性質的過程中，引導學生構建利用導數研究一般三次函數圖象和性質的方法，培養學生解決問題的能力。）

3.合作探索，匯報交流。

問題 3：探究三次函數 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的圖象和性質。

生：因為導函數 f′（x）=3ax2+2bx+c 的 Δ=4（b2-3ac），其值正負情況為：①a＞0，Δ＜0 時，無極值點，f′（x）＞0；②a＞0，Δ=0 時，無極值點，f′（x）≥0；③a＞0，Δ＞0有兩個極值點，當 x∈（-∞，x1）∪（x2，+∞）時，f′（x）＞0，當 x∈（x1，x2）時 f′（x）＜0；④a＜0，Δ＜0 時，無極值點，f′（x）＜0；⑤a＜0，Δ=0 時，無極值點，f′（x）≤0；⑥a＜0，Δ＞0時，有兩個極值點，當 x∈（-∞，x2）∪（x1，+∞）時 f′（x）＜0，x∈（x2，x1）時 f′（x）＞0。

師：其他小組需要補充嗎？

生：Δ＜0與Δ=0兩個類型可以合并成一類，因為它們對應的函數都是單調的，所以只要分成四類就可以了。

師：很好！由單調性和極值點我們就可以作出函數簡圖了。請完善表1。

師：我們已經知道二次函數首項系數a和Δ對圖象的影響，三次函數的首項系數a和Δ對圖象分別有什么影響呢？a＞0和a＜0時對應的圖象有什么區別？

表1

生：當 a＞0 時，圖象右向上；當 a＜0 時，圖象右向下。

師：二次函數的Δ影響著函數零點個數，那么三次函數的Δ呢？

生：當Δ≤0時，函數無極值點；當Δ＞0時，函數有兩個極值點。

師生共同完善，得到如下表2：

表2

師：我們對三次函數的圖象和性質已經有了一個整體的認識，請大家接著思考。

問題 4：研討三次函數 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）零點個數的條件。

生：當Δ≤0或極大值、極小值同號，三次函數有一個零點；極大值或極小值為零，三次函數有兩個零點；極大值、極小值異號，三次函數有三個零點。

（設計意圖：小組合作探究，在經歷知識的形成過程中培養學生樂于探索的品質。通過小組交流、匯報展示等方式，獲取準確學情信息，對教學作出及時調整，提供最適合學生學情的教學。）

4.反思總結。

問題5：請以單調性、極值點或零點為條件，編制一道三次函數問題，同桌交換完成解答。

（教師巡視，并請學生上臺分享編制的題目與解答）

問題6：針對本節課的學習，你能提出一個新的問題嗎？

（設計意圖：讓學生自主命題并交流分享，既指向了深度學習，又能照顧到學生的個體差異，讓不同的學生有不同的發展。培養了學生反思的習慣，以及提出問題的意識與能力。）

二、教學反思

1.問題驅動，促進學生思維深化。

“問題解決”是數學教育的核心，在課堂教學中設計“好”的問題是極其重要的。而“好”問題需要考慮三個維度：一是問題的提出應從學生的已有經驗出發，引起學生思考和解決的欲望；二是必須有足夠的思維空間，讓學生翱翔其中，體驗數學的發現和創造歷程；三是問題與問題之間要有內在的邏輯聯系，形成“問題鏈”，使學生的思維始終處于“問題提出—問題解決”的狀態中，防止思維碎片化。

本節課中，以6個問題為一條線，引導學生思考。從學生已有認知和經驗出發提出問題1，激活學生的思維。而問題2、3、4、5的提出分別建立在前一個問題的基礎上，環環相扣，有效保證了思維的完整性和連續性。提出的問題越來越開放，思維空間越來越大，激發了學生的求知欲，進一步激活學生思維，有效促進了學生自主學習、合作學習和深度學習。

2.小組探究，培養學生探索能力。

教與學的各種任務，如根據從缺少思考到富于思考的操作方式，按它們在連續過程上達到的水平來區分和識別，一般分為記憶、解釋性理解和探究性理解三個層次［1］。探究性理解水平通常稱作高認知水平。數學探究與其說是一種教學形式，不如說是一種尊重學生主體和指向思維培養的活動。這要求教學中必須改變以教師為主的講授甚至是灌輸的傳統教學思維，要“少占多讓，少扶多放”，在數學探究的過程中給學生時空上和思維上充分的自由度，這也是數學探究真正發生和走向深度的必要保證。［2］

在問題3的探究過程中，以小組為單位，相互間充分地討論、探究，合作完成了對三次函數圖象和性質的探索。通過小組交流、匯報展示等方式，讓學生內隱的心理活動、知識內化過程通過外顯的行為表現出來，以獲取準確的學情信息，對教學作出及時調整，提供最適合學情的教學。

3.自主命題，培養學生提問意識。

陶行知在《每事問》一詩中寫道：“發明千千萬萬，起點是一問。”把發明創造的起點歸結于“一問”，意思是指科學創造源于提問，沒有問題就沒有創新。讓問題成為知識的紐帶，培養學生發現問題和提出問題的意識和能力，既是重要的課程目標，也是發展學生數學核心素養的基本要求。

本節課在學生掌握了相關知識方法后，打破了常規的例題解析、練習反饋的模式，讓學生自主命題并交流分享。問題6對學生提出了更高要求與挑戰，學生可以提出知識上、方法上、思想上的問題，并向老師或同學尋求解答。這樣的教學安排既指向了深度學習，又能照顧到學生的個體差異性，培養了學生提出問題的能力與創造創新的精神。

［1］STEIN M K，SMITH M S，HEEEINGSEN M A，等.實施初中數學課程標準的教學案例［M］.李忠如，譯.上海：上海教育出版社，2001.

［2］張亮.構建探究途徑深化數學思維［J］.江蘇教育，2016（11）.

G633.6

A

1005-6009（2017）59-0031-04

1.張亮，南京市第一中學（南京，210001）教師，一級教師；2.田澤華，南京市第一中學（南京，210001）教師，高級教師。

【團隊推薦】

教育教學是個系統。2017年“杏壇杯”課堂教學展評活動的主題是“人在課中央”，這一主題突出了教育教學系統中最為活躍、也最為核心的三個要素：“人”“課”“人課關系”。這是在當前教育教學改革背景下，對教育教學回歸本原的一種呼喚、一種號召：“基于人，成全人，為人所用，促人成長”。

張亮老師是我校的一名優秀教師，曾獲南京市優質課評比一等獎。得到參加2017年“杏壇杯”課堂教學展評活動的通知后，從對活動主題的理解和把握，到對受教學生的基本學情到教學設計的完成，都進行了認真調研和思考，并先后聽取了我校諸位名師及其他同事的意見和建議，對本次展評進行了精心的準備。

1.以“三次函數的圖象和性質”為課題，是對函數模型的補充與拓展，是對導數應用的鞏固與深化。

雖然學生已掌握了幾種常見的基本初等函數模型，但在現實生活、例題習題、高考試題中都有很多問題是以三次函數為載體進行學習研究的。所以有必要對三次函數進行比較系統、全面的研究學習，了解和掌握它的圖象和基本性質。

導數是近代數學的重要基礎，是微積分的基礎知識，是聯系初、高等數學的紐帶。三次函數是導數內容中最簡單的高次函數，其導函數是二次函數。因此，三次函數是利用導數研究函數的一個重要載體。

2.對教學內容的處理詳略得當、主次分明、重點突出。

在研究函數特性時，往往需要知道函數的直觀圖象，通常，我們可以用描點法作出函數圖象，這種圖象一般是粗糙的，在一些關鍵點附近函數的變化狀態，不一定能確切地反映出來。學習導數之前，對基本初等函數的研究都是先圖象后性質，由“形”到“數”。而利用導數及其性質，可以較為準確地描述函數的動態。本課例就是先引導學生通過對導函數性質的研究，揭示刻畫出三次函數圖象的單調變化趨勢，畫出函數的示意圖，由“數”到“形”后，再進一步通過觀察圖象，由“形”到“數”，由直觀感知到理性論證，得到三次函數較為準確的圖象和基本性質，在這一過程中“數形結合”的數學思想體現得淋漓盡致。在歸納出一般三次函數的圖象和定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、零點個數等基本性質后，限于課時，張亮老師并未讓學生進一步探究三次函數圖象的對稱中心、凹凸性等其他性質，這樣既給學生的進一步自主探索“留白”，又能讓學生在本節課的探究學習過程中有足夠的時間和空間感悟、提升、升華。

本課例雖然以 “三次函數的圖象和性質”為課題，但卻是以三次函數為載體，重點是讓學生掌握利用導數研究函數性質的一般步驟和方法。其研究過程和方法具有普適性、一般性，對于較為復雜的初等函數，就會根據其代數性質，研究其函數圖象和性質。在本課例中，無論是從問題引入、課中探索、課后思考，都充分體現了這一設計意圖。

3.教學方法施用合理、得當。

新一輪高中課程改革標準中強調：所謂數學探究，主要是指學生進行數學探究性課題的學習，即學生圍繞特定的數學問題，自主進行探索、探究與學習的過程；讓學生站在課堂中央，就要創造更多的學習活動機會，讓他們質疑、釋疑、體驗、探究等。

本節課的探究活動突出了三大特點：一是注重設置有價值的探究問題；二是讓學生自己確定探究策略（如問題3、問題4）；三是足夠的開放性（如問題 5、問題 6）。

通過問題1、問題2，創設探究情境，引入課題，然后通過一系列問題串引導學生自主、獨立發現問題、思考問題、提出問題、解決問題，整個過程有明顯的探索、探究與創新特點，真正有益于學生發現問題、分析問題與解決問題能力的培養，對培養與提高學生的創新意識、創新能力都具有重要意義。

問題3采用小組合作探究教學法，要求學生以小組為單位對教師提出的問題進行討論，教師不對探究策略作出限制，各小組派代表闡述探究結果，教師進行總結、評價，這樣一方面激發了各小組競爭意識，調動了學生學習積極性；另一方面，教師還可針對學生的接受能力、數學基礎知識掌握程度，因材施教，讓每個學生都能找到學習的成就感，樹立學習導數知識的自信心。

“知識內化了才能成為能力，能力升華了才能成為素養”。通過開放性問題5、問題6的設計，讓學生設計問題、提出問題、發現問題、解決問題，有效地調動了學生學習積極性，促進了學生對知識方法的內化，增強了學生的學科素養。

（推薦人：田澤華）