齒面摩擦激勵對面齒輪傳動系統振動特性的影響

馮仕偉，何國旗，王其雷，孫 能，鄧澍杰

（湖南工業大學 機械工程學院，湖南 株洲 412007）

齒面摩擦激勵對面齒輪傳動系統振動特性的影響

馮仕偉，何國旗，王其雷，孫 能，鄧澍杰

（湖南工業大學 機械工程學院，湖南 株洲 412007）

以正交面齒輪傳動系統為研究對象，建立了考慮齒面摩擦激勵的面齒輪傳動系統非線性動力學模型，基于4～5階的自適應變步長的龍格庫塔法對該模型進行數值仿真求解，結合分岔圖、時間歷程圖、poincare圖等分析齒面摩擦系數對系統的振動特性的影響，并研究不同參數對系統響應發生倍周期分岔時摩擦系數臨界點的影響。結果表明：系統響應隨齒面摩擦系數的增大依次呈現出單周期簡諧響應、倍周期次諧響應、混沌響應；面齒輪齒寬和圓柱齒輪驅動扭矩越大，系統響應發生倍周期分岔時的摩擦系數臨界點數值越大，且隨著齒寬和驅動扭矩的增大，其摩擦系數臨界點變化曲線斜率越小，驅動扭矩對其變化曲線斜率較齒寬影響大；面齒輪齒數和系統齒側間隙越大，系統響應發生倍周期分岔時的摩擦系數臨界點數值越小，其摩擦系數臨界點變化曲線斜率隨面齒輪齒數增大而減小，而齒側間隙對其變化曲線斜率基本沒有影響 。

面齒輪傳動；非線性動力學；摩擦系數；振動特性

0 引言

面齒輪傳動具有重合度高、噪聲低、振動小等許多優點，隨著科技的不斷發展，面齒輪傳動因其獨特的分流特性，使得其在航空領域尤其是在新型戰斗直升機中的應用，表現出潛在的優勢[1-5]。齒輪傳動系統的振動和噪聲一直是學界研究的重點，其中，作為系統內部激勵的齒面摩擦是齒輪非線性振動的重要影響因素，其動態效應對系統振動、齒面磨損和齒輪壽命有著密切影響。因此，有必要深入研究齒面摩擦激勵特性及其對系統動力學響應的影響。

目前，對于圓柱齒輪和錐齒輪傳動系統的齒面摩擦激勵及其對系統動力學特性影響的分析，已有較多學者進行了研究[6-9]。靳廣虎等[10]建立了包含傳遞誤差的面齒輪傳動系統振動模型，研究傳遞誤差對系統動態特性的影響；楊振等[11-12]建立了含時變嚙合剛度、齒側間隙和傳遞誤差等因素的正交面齒輪傳動系統非線性動力學模型，分析了嚙合頻率、齒側間隙、時變嚙合剛度、嚙合阻尼和支撐剛度等參數對系統振動特性的影響；但關于面齒輪齒面摩擦激勵機理及其對系統動力學特性影響的研究較少。

本文以正交面齒輪傳動系統為研究對象，建立了考慮齒面摩擦激勵的系統非線性動力學模型，基于龍格庫塔法對該模型進行數值仿真求解，結合分岔圖、時間歷程圖、poincare圖等分析齒面時變摩擦系數對系統振動特性的影響，并研究面齒輪齒數和齒寬、圓柱齒輪驅動扭矩、系統齒側間隙等參數對系統響應發生倍周期分岔時摩擦系數臨界點的影響。

1 面齒輪傳動系統非線性動力學模型

根據集中參數理論建立面齒輪傳動系統的動力學模型，如圖1所示。建模時進行以下處理：1）各坐標軸沒有擺轉振動；2）軸向間誤差對系統的影響忽略不計；3）兩齒輪采用具集中質量和轉動慣量的圓柱體模擬，支撐軸承采用彈簧模擬；4）齒輪軸為剛性的，軸兩端支撐等效處理到兩齒輪輪心上。

所建立的模型以圓柱齒輪軸線為X軸，面齒輪軸線為Y軸，兩軸線交點為坐標原點，建立直角坐標系Σ（O, X, Y, Z）。根據面齒輪傳動特點和嚙合原理，圓柱齒輪無軸向作用力，面齒輪無徑向作用力，因此，只考慮兩個坐標軸Y、Z方向上的阻尼和支撐，整個系統共有6個自由度，分別為兩齒輪輪心沿Y、Z軸方向的平移自由度和轉動自由度，表示為

式中：Yp、Zp分別為圓柱齒輪在Y、Z方向的平移自由度；θp為圓柱齒輪的轉動自由度；Yg、Zg分別為面齒輪在Y、Z方向的平移自由度；θg為面齒輪的轉動自由度。

圖1 面齒輪傳動系統非線性動力學模型Fig. 1 A nonlinear dynamic model of face-gear drive system

圖1所示模型中：Op、Og分別為圓柱齒輪和面齒輪的輪心；Tp、Tg分別為兩個齒輪的扭矩；θp、θg分別為兩齒輪的扭角位移；kYp、kZp分別為圓柱齒輪在Y、Z方向的軸支撐剛度；kYg、kZg分別為面齒輪Y、Z方向的軸支撐剛度；Kh為時變嚙合剛度；cYp、cZp分別為圓柱齒輪在Y、Z方向的軸承支撐阻尼；cYg、cZg分別為面齒輪在Y、Z方向的軸承支撐阻尼；ch為嚙合阻尼；bYp、bZp分別為圓柱齒輪在Y、Z方向的軸承徑向間隙；bYg、bZg分別為面齒輪在Y、Z方向的軸承徑向間隙；bh為齒輪副法相間隙；eh為靜態傳遞誤差。

2 齒面時變摩擦力分析

在嚙合中，齒面摩擦力的方向始終相切于兩齒輪的嚙合齒面，即與嚙合線的方向垂直，如圖2所示，其中ωp、ωg分別為圓柱齒輪和面齒輪的角速度。節點P處的摩擦力因相對滑動速度為零的原因而也等于零，且因過節點P處的相對滑動速度方向發生改變的緣故摩擦力方向也會發生改變[13]。因此，即使嚙合力保持不變，嚙合齒輪對間的摩擦力也會發生周期性改變。

圖2 齒面摩擦力分析Fig. 2 An analysis of tooth face friction force

基于Coulomb摩擦定律，摩擦力大小正比于正壓力，可得嚙合點M處的摩擦力為[14]式中：u(t)為時變摩擦系數；Fn為嚙合點處法向正壓力；sign(M)為符號函數；可定義為

3 面齒輪傳動系統非線性動力學微分方程

因振動位移和誤差，兩齒輪齒面沿嚙合點法向方向在嚙合點處產生的相對位移λn為

式中：rp、rg分別為圓柱齒輪和面齒輪嚙合點半徑，rp=mz1/2，rg=mz2/2，其中，z1為圓柱齒輪齒數，z2為面齒輪齒數；αn為兩齒輪的法向壓力角；eh(t)為靜態傳遞誤差。

由于制造和安裝過程中會產生誤差，使嚙合齒廓在傳動過程中發生偏離而產生位移型激勵，在不具備試驗測試情況下，采用近似的簡諧函數對靜態傳遞誤差進行模擬。數學表達式如下：

式中：e0為靜態傳遞誤差常量；er為靜態傳遞誤差變量幅值；ωh為嚙合頻率；為初始相位角。

根據受力分析，由牛頓定律可以得知嚙合齒輪間的法向動載荷Fn及其沿坐標軸的分力FY、FZ分別為：

式中：Kh(t)為時變嚙合剛度；f(λn)為間隙函數，可定義為

其中λn為相對位移。

考慮到齒輪軸的軸承支承同樣存在一定的間隙，可以使用相同的間隙函數f(I, j)表示，則軸承支撐沿Y、Z方向的支撐力FIj可表示為：

式中：I為方向，可取值為Y和Z；j為齒輪類別，可取值為p和g（p代表圓柱齒輪，g代表面齒輪）；kIj為在I方向上齒輪j受到的支撐剛度。

面齒輪空載重合度一般在1.6～1.8，在單雙齒嚙合區域的交替處齒輪副綜合嚙合剛度會發生階躍性突變；由于單雙齒嚙合區交替出現的影響，會使輪齒變形具有周期性，進而使齒輪副綜合嚙合剛度產生周期變化，可將其理解為由平均分量和單頻的交變分量組成，數學表達式如下：

式中：Km為綜合嚙合剛度平均值；Kr為嚙合剛度波動幅值；為初始相位角。

因此根據牛頓定律，圖1所建立的面齒輪傳動系統的振動動力學微分方程為：

式中：mp、mg分別為圓柱齒輪和面齒輪的集中質量；Jp、Jg分別為圓柱齒輪和面齒輪的轉動慣量；μ為齒面摩擦系數。

以兩齒輪齒面沿嚙合點法向方向在嚙合點處產生的相對位移λn作為面齒輪傳動系統新的自由度，對式（9）進行量綱一化處理，得出面齒輪傳動系統無量綱化非線性動力學微分方程：

4 齒面摩擦系數對系統周期和混沌的影響

表1 面齒輪傳動系統主要參數Table 1 Main parameters of the face-gear system

圖3 摩擦系數μ變化時系統響應分岔圖Fig. 3 A bifurcation diagram of system response with a changing friction coef fi cient μ

由圖3可知，系統響應隨著摩擦系數的增大依次呈現出單周期簡諧響應、倍周期次諧響應、混沌響應。當摩擦系數繼續增大時，混沌區域也隨之相應擴大，系統響應表現出波動幅值較大、混亂無序的運動狀態。

當摩擦系數μ為0.025時，系統呈現單周期簡諧響應，具體的變化情況如圖4所示，此時系統的時間歷程圖為單周期簡諧運動，ponicare截面圖為1個離散點。當摩擦系數μ增大到0.048時，系統開始呈現倍周期分岔現象。當摩擦系數μ為0.048～0.055時，系統呈現2倍周期次諧響應，具體情況如圖5所示，此時系統的時間歷程圖為2T的周期運動，poincare截面圖為2個離散點。當摩擦系數μ為0.055～0.062時，系統呈現4倍周期次諧響應，如圖6所示，此時系統時間歷程表現為4T周期運動，ponicare截面圖為4個離散點。當摩擦系數μ繼續增大，系統依次呈現8, 16, …倍周期次諧響應，對應的時間歷程圖依次為8T, 16T, …周期運動，ponicare截面圖依次為8, 16, …個離散點，最終呈現出混沌響應，如圖7所示。

圖4 摩擦系數μ=0.025時的單周期簡諧響應Fig. 4 Monocyclic simple harmonic response with the friction coef fi cient μ=0.025

圖5 摩擦系數μ=0.05時的2倍周期次諧響應Fig. 5 Double sub-harmonic response with the friction coef fi cient μ=0.05

圖6 摩擦系數μ=0.06時的4倍周期次諧響應Fig. 6 4 times sub-harmonic response with the friction coef fi cient μ=0.06

圖7 摩擦系數μ=0.08時的混沌響應Fig. 7 Chaotic response with the friction coef fi cient μ=0.08

根據以上分析可知，齒面摩擦系數對面齒輪傳動系統振動特性有重要影響，齒面摩擦激勵的存在進一步增強了面齒輪傳動系統的非線性振動響應特性。

5 不同參數對系統響應發生倍周期分岔時摩擦系數臨界點的影響

為研究面齒輪齒數和齒寬、圓柱齒輪驅動扭矩、系統齒側間隙等參數對系統響應發生倍周期分岔時摩擦系數臨界點的影響，以面齒輪齒數和齒寬、圓柱齒輪驅動扭矩、系統齒側間隙等參數分別作為單一變量進行分析，如表2所示。其余參數取表1中的數據，得出不同參數下系統響應發生倍周期分岔時摩擦系數臨界點的數值，如圖8所示。

表2 面齒輪傳動系統的參數變化Table 2 Parametric variations of the face-gear drive system

圖8 不同參數取值對系統響應發生倍周期分岔時摩擦系數臨界點的影響Fig. 8 In fl uence of different parameters values on the critical point of friction coef fi cient for the period doubling bifurcation of the system response

由圖8可知，面齒輪齒寬和圓柱齒輪驅動扭矩越大，系統響應發生倍周期分岔時的摩擦系數臨界點數值越大，且隨著齒寬和驅動扭矩的增大，其摩擦系數臨界點變化曲線斜率越小，驅動扭矩對其變化曲線斜率較齒寬影響大；面齒輪齒數和系統齒側間隙越大，系統響應發生倍周期分岔時的摩擦系數臨界點數值越小，隨著面齒輪齒數的增大，其摩擦系數臨界點變化曲線斜率越小，而齒側間隙的增大對其變化曲線斜率基本沒有影響。

6 結論

以正交面齒輪傳動系統為研究對象，建立了考慮齒面摩擦激勵的系統非線性動力學模型，基于龍格庫塔法對該模型進行數值仿真求解，分析了齒面時變摩擦系數對系統的振動特性的影響，并研究了面齒輪齒數和齒寬、圓柱齒輪驅動扭矩、系統齒側間隙等參數對系統響應發生倍周期分岔時摩擦系數臨界點的影響，得出了相應規律：

1）齒面摩擦系數對面齒輪傳動系統的振動特性有重要影響，系統響應隨齒面摩擦系數的增大依次呈現出單周期簡諧響應、倍周期次諧響應、混沌響應；

2）面齒輪齒寬和圓柱齒輪驅動扭矩越大，系統響應發生倍周期分岔時的摩擦系數臨界點數值越大，且隨著齒寬和驅動扭矩的增大，其摩擦系數臨界點變化曲線斜率越小，驅動扭矩對其變化曲線斜率較齒寬影響大；

3）面齒輪齒數和系統齒側間隙越大，系統響應發生倍周期分岔時的摩擦系數臨界點數值越小，其摩擦系數臨界點變化曲線斜率隨面齒輪齒數增大而減小，而齒側間隙對其變化曲線斜率基本沒有影響。

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Research on the In fl uence of Tooth Surface Friction on Nonlinear Vibration Characteristics of the Face-Gear Drive System

FENG Shiwei，HE Guoqi ，WANG Qilei，SUN Neng，DENG Shujie
（School of Mechanical Engineering，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

Taking the orthogonal face gear drive system as the research object, a nonlinear dynamic model, in consideration of the tooth surface friction, has been established of the face gear drive system. A numerical simulation has been performed to solve the model by Runge Kutta method with variable step size adaptive 4～5 order based on the combination of bifurcation diagram, time history diagram, and poincare diagram to analyze the in fl uence of the vibration characteristics of gear tooth friction coef fi cient on the system, followed by a study on the in fl uence of different parameters with period doubling bifurcation on the critical point of friction coefficient. The results show that the response of the system increases positively with the increase of the friction coef fi cient of the tooth surface, successively making the system response in a state of a single period harmonic response, a period doubling subharmonic response and a chaotic response. The greater the gear tooth width and the driving torque of the cylindrical gear, the greater the critical coef fi cient of friction coef fi cient will be, with the system responding to the period doubling bifurcation. With the increase of tooth width and driving torque, the smaller the slope of the critical coef fi cient of the friction coef fi cient,the smaller the slope of the driving torque will be to the width of the tooth. The larger the number of face teeth and the greater backlash of the system, the smaller the critical point of the friction coef fi cient of the system will be when the period doubling bifurcation occurs. The slope of the friction coef fi cient critical point change curve decreases with the increase of the gear teeth number, with no in fl uence of the tooth side gap on the slope of its change curve.

face-gear drive；nonlinear dynamics；friction coef fi cient；vibration characteristic

TH132.41

A

1673-9833(2017)05-0065-07

10.3969/j.issn.1673-9833.2017.05.011

2017-05-22

國家自然科學基金資助項目（51375159，51575533），湖南省自然科學基金（株洲聯合）資助項目（2015JJ5020）

馮仕偉（1993-），男，湖北石首人，湖南工業大學碩士生，主要研究方向為數字化制造理論與技術，E-mail：2278791919@qq.com

（責任編輯：申 劍）