一類企業競爭模型的動力學分析

勞紅月，葛立茜，張茂云，孫 夢，陳子晗，李 鋒

（臨沂大學 數學與統計學院，山東 臨沂 276005）

一類企業競爭模型的動力學分析

勞紅月，葛立茜，張茂云，孫 夢，陳子晗，李 鋒

（臨沂大學 數學與統計學院，山東 臨沂 276005）

建立了具有產出水平下臨界點的企業競爭型模型，研究了該系統的平衡點的存在性及穩定性，并通過數值模擬的方法驗證了研究結果，最后給出了模型的理論解釋。

競爭模型；平衡點；穩定性

1 研究背景

經過20多年的飛速發展，中國經濟逐漸進入調整階段，市場競爭激烈而又紊亂。在市場經濟條件下，各類企業為取得較好的產銷條件、獲得更多的市場資源而不斷競爭，從原來簡單的規模、實力、活力競爭逐階上升到核心力的競爭。通過競爭，既實現了企業的優勝劣汰，又實現了生產要素的優化配置，提高了國家的核心競爭力。在競爭性市場條件下，各個企業除了通過培育自身資源和能力，還通過競爭獲取外部可利用資源，在為顧客創造價值的基礎上，實現自身價值的綜合性能力。在競爭性的市場中，一個企業所具有的能夠比其他企業更有效地向市場提供產品和服務并獲得贏利和自身發展的綜合素質的能力，是現代企業成功的關鍵。

眾所周知，生物體研究的本質與經濟社會企業研究的本質具有相似性。特別地，企業間的競爭與合作關系與生物物種種群間的關系更有諸多類似之處，利用生態模型研究企業間的競爭關系已經引起了眾多學者的關注。文獻[1]提出具有下臨界的企業競爭模型，并以2個企業之間的競爭為例，運用微分方程定性知識以及數值仿真，對該模型所表達出來的幾種企業競爭情況及其穩定條件進行了系統分析。文獻[2]引入生物物種的Lotka-Volterra（LV）種間競爭模型，建立了單一電子商務平臺企業、雙電子商務平臺企業及多個電子商務平臺企業的LV競爭模型。

文獻[3]中指出：自然界中有一條“正反饋循環”規律，即一件事情的發生、發展受到了另一件事情的刺激，從而促進了其正向發展。比爾·蓋茨在《未來之路》中也提出了類似的“正螺旋效應”，這都與生態系統中種群競爭的一種模型具有相似性，即“好的越好，而糟的越糟”，導致“贏家通吃”。目前，企業之間也存在這種正反饋效應，導致諸多中小企業在競爭中處于劣勢地位，在與大企業相互競爭過程中被兼并或者破產。然而，2個實力相當的企業在競爭過程中其企業實力又是如何變化的呢？

已有不少學者將LV模型應用于經濟問題的研究中，但大部分都只是研究宏觀問題，對于微觀問題的研究很少涉及。文獻[4]根據企業集群與生物種群的相似性，建立了網狀型企業集群模式下企業間競爭關系的數學模型。

本文主要考慮2個企業間的競爭，用x, y表示企業的產出水平，其為時間t的函數； a, b為競爭系數；N表示最大市場容納量。這里假設2個企業實力相當，且內稟增長率相同，2個企業的最大容納量也相同。考慮到實際情形，引入企業產出水平的下臨界點L，表示企業產出水平的最低限度。在企業產出水平低于此限度時，企業生產成本將高于收益，因虧損而導致企業破產。這比現有文獻所建立的企業競爭生態模型更符合現實。

下面引入LV模型來描述這種競爭關系。假設有其他企業競爭的條件下，當一個企業規模超越另一個企業時，會對另一個企業的發展起到反作用。綜上所述，在LV種間競爭模型改進和擴展的基礎上建立如下企業競爭系統：

式中r為企業自身增長率。

下面主要利用微分方程定性理論[5]，并借助Maple軟件，研究系統（1）的平衡點及其分類，進而得到系統存在多穩的條件。

2 系統平衡點分析

通過對上述9個平衡點進行分析，可得定理1。

系統（1）有9個平衡點O(0, 0)，A1(L, 0)，A2(0, L)，A3(N, 0)，A4(0, N)，A5(x1, x1)，A6(x2, x2)，A7(x3, y3)，A8(y3, x3)；

定理1證明從略。

通過詳細計算可得定理2～5。

定理2 O(0, 0)是系統的穩定結點。

證明 系統在O(0, 0)的線性化矩陣為

因此系統有二重特征根，從而O(0, 0)是系統的穩定結點。

定理3 A1(L, 0)，A2(0, L )是系統的鞍點。

證明 系統在A1(L, 0)，A2(0, L)的線性化矩陣分別為

從而系統有2個異號的特征根，A1(L, 0)，A2(0, L)是系統的鞍點。

定理4 A3(N, 0)，A4(0, N)是系統的穩定結點。

證明 系統在A3(N, 0)，A4(0, N)的線性化矩陣分別為

從而系統有2個負的特征根，A3(N, 0)，A4(0, N)是系統的穩定結點。

定理5 A7(x3, y3)，A8(y3, x3)是系統的鞍點。

證明 對于奇點A7(x3, y3)，A8(y3, x3)，通過復雜的運算可得

從而系統有2個異號的特征根，A7(x3, y3)，A8(y3,x3)是系統的鞍點。

對于奇點A5(x1, x1)，A6(x2, x2)，通過復雜的運算可得

由于討論過程復雜，不對A5(x1, x1)，A6(x2, x2)平衡點的類型進行詳細討論，而通過數值模擬研究其多穩現象。

3 數值模擬

因此，當r＞3.934 9時，系統有9個平衡點。例如當r = 4時，9個平衡點為(0, 0)，(0, 0.5)，(0.5, 0)，(0, 1)，(1, 0)，(0.625, 0.625)，(0.8, 0.8)，(0.760 483, 0.826 419)，(0.826 419, 0.760 483)。

經過分析可以得知，點(0.625, 0.625)是不穩定的結點，點(0.8, 0.8)是穩定的結點，這兩點鄰域的結構分別如圖1和圖2所示；系統在第一象限的結構如圖3所示。

圖1 (0.625, 0.625)鄰域軌線Fig. 1 Trajectory in the neighborhood of (0.625, 0.625)

圖2 (0.8, 0.8)鄰域軌線Fig. 2 Trajectory in the neighborhood of (0.8, 0.8)

圖3 系統第一象限相圖Fig. 3 Phase diagram of the fi rst quadrant of the system

利用Maple軟件，分析系統的無窮遠奇點后，可得系統的poincare圓盤如圖4所示。

圖4 r=4時系統的poincare圓盤Fig. 4 Poincare disc of the system when r=4

所以系統在第一象限不存在周期解。

當3.497 06＜r＜3.934 90時，系統有7個平衡點。例如當r=3.9時，7個平衡點為：(0, 0)，(0, 0.5)，(0.5, 0)，(0, 1)，(1, 0)，(0.640 901, 0.640 901)，(0.780 151, 0.780 151)。

利用Maple軟件，分析系統的無窮遠奇點后，可得系統的poincare圓盤如圖5所示。

圖5 r=3.9時系統的poincare圓盤Fig. 5 Poincare disc of the system when r=3.9

當r＜3.497 06時，系統有5個平衡點。例如當r=3.4時，5個平衡點為：(0, 0)，(0, 0.5)，(0.5, 0)，(0,1)，(1, 0)。

利用Maple程序，分析系統的無窮遠奇點后，可得系統的poincare圓盤如圖6所示。

圖6 r=3.4時系統的poincare圓盤Fig. 6 Poincare disc of the system when r=3.4

4 結論分析

本文建立了具有產出水平下臨界點的企業競爭型模型，以兩個企業之間的競爭為例分析得到了2個企業競爭時可能出現的幾種情況及穩定條件：

穩定點的正平衡點是2個企業能夠穩定共存的條件，也就是模型的穩定條件。通過數值模擬，能夠得到2個企業可以穩定共存的條件。

[1] 張 睿，錢省三，高 臻. 基于生態學理論的企業競爭模型[J]. 系統工程，2008：26(2)：116-119.ZHANG Rui，QIAN Xingsan，GAO Zhen. A Competitive Model of Enterprises Based on Ecology Theory[J]. Systems Engineering，2008：26(2)：116-119.

[2] 葉瓊偉，強 欣，宋光興. 電子商務平臺間LV競爭模型研究及其解釋[J]. 商業研究，2014(6)：37-41.YE Qiongwei，QIANG Xin，SONG Guangxing.Research on LV Competition Model Between E-Commerce Platforms and Their Interpretation[J].Commercial Research，2014(6)：37-41.

[3] 周 星，克居正. 男生追女生的數學模型[J]. 數學的實踐與認識，2012，42(12)：1-8.ZHOU Xing，KE Juzheng. The Boy-After-Girl Mathematical Model[J]. Mathematics in Practice and Theory，2012，42(12)：1-8.

[4] 劉 萍，李永昆. 具脈沖效應和反饋控制的企業集群競爭模型的持久性分析[J]. 經濟數學，2011，28(2)：1-5.LIU Ping，LI Yongkun. Analysis of Permanence of Impulsive Type Competitive Model of Enterprise Cluster with Feedback Control[J]. Journal of Quantitative Economics，2011，28(2)： 1-5.

[5] 丁同仁，李承志. 常微分方程教程[M]. 2版. 北京：高等教育出版社，2005：21-25.DING Tongren，LI Chengzhi. An Ordinary Differential Equation Course[M]. 2nd ed. Beijing：Higher Education Press，2005：21-25.

A Dynamical Analysis of a Competitive Model of Enterprises

LAO Hongyue，GE Liqian，ZHANG Maoyun，SUN Meng，CHEN Zihan，LI Feng
（School of Mathematics and Statistics，Linyi University，Linyi Shandong 276005，China）

A competitive model has been established of enterprises with a low critical point of production,followed by a study on theexistence and stability of the critical points of this system. Furthermore, a numerical simulation test has been carried out to testify the fi nal results, thus providing a theoretical explanation for the validity of this model.

competition model；critical point；stability

F207

A

1673-9833(2017)05-0083-05

10.3969/j.issn.1673-9833.2017.05.014

2017-05-27

國家自然科學基金資助項目（11601212）。

勞紅月（1996-），女，山東濱州人，臨沂大學學生，主要研究方向為常微分方程，E-mail：1625169290@qq.com

李 鋒（1981-），男，山東臨沂人，臨沂大學教授，主要從事微分方程與動力系統方面的研究，E-mail：lf0539@126.com

（責任編輯：鄧光輝）