有限元和有限體積法結(jié)合的油浸式變壓器溫度場計算方法*

王偉，魏菊芳，王楠，王巨偉，王永強

（1.國網(wǎng)天津市電力公司電力科學(xué)研究院，天津300384；2.華北電力大學(xué)河北省輸變電設(shè)備安全防御重點實驗室，河北保定071000）

0 引 言

大型電力變壓器構(gòu)造復(fù)雜，內(nèi)部的傳熱機理也很難分析清楚，對于整個變壓器繞組的內(nèi)部溫度繞組熱點溫度特別是準(zhǔn)確的預(yù)測是非常困難的［1-5］。目前，主要由有兩種方法來對油浸式變壓器溫度場進行模擬計算。一是建立變壓器熱路模型計算［6-16］；再是采用數(shù)值計算方法和使用計算機模擬程序進行輔助計算［17-26］。而這其中，利用數(shù)值計算方法對于變壓器溫度場分析方法目前主要有兩種，一是基于有限元法對變壓器進行二維或三維的仿真計算分析［17-22］；二是基于有限元方法改進的有限體積法進行仿真計算［23-26］。然而，計算結(jié)果表明，這兩種方法的誤差都比較大，要準(zhǔn)確地計算變壓器的溫度分布，處理變壓器內(nèi)部溫度場，需要提出一種改進的方法。

油浸式變壓器的損耗分為負載損耗和空載損耗。損耗使繞組和鐵心發(fā)熱，溫度上升，并與變壓器絕緣油之間進行對流傳熱。變壓器油受熱向上運動，受冷又向下流動，油循環(huán)流起來，透過散熱器和油箱，將熱量分散到外部。

基于有限元或有限體積模擬的方法，對變壓器三維模型劃分網(wǎng)格。由于繞組和鐵芯的結(jié)構(gòu)是相對固定的，它是由固體金屬組成，有限元法具有更好的效果。變壓器油屬于液體部分，流體結(jié)構(gòu)不定，正有利于有限體積法發(fā)揮其優(yōu)點。

1 變壓器內(nèi)部熱傳遞過程及計算方法分析

1.1 變壓器發(fā)熱機理分析

變壓器總損耗可以表示為：

式中PT為變壓器的總損耗；PNL為空載損耗；PLL為負載損耗，這其中，負載損耗可分為直流損耗（Pdc=I2Rdc）和雜散損耗。而雜散損耗也可分為渦流損耗和其他部件的雜散損耗。其他雜散損耗是指其他部位的損耗，如變壓器附件、變壓器油箱等部分的損耗。負載損耗PLL可以表示為：

式中Pdc為繞組電阻發(fā)熱帶來的損耗；PEC為繞組渦流損耗；POSL為變壓器附件、油箱等部位的其他損耗；雜散總損耗PSL可以通過從負載損耗PLL中減去中直流損耗Pdc得到：

空載損耗可表示為［5］：

式中P1為鐵心的磁滯損耗，W；P2為鐵心的渦流損耗，W；δh為磁滯損耗系數(shù)；δe為渦流損耗系數(shù)；f為電流頻率，Hz；Bm為磁通密度的最大值，Wb/m2。由于硅鋼具有的磁化飽和特性，所以在變壓器負載電流增大時，Bm隨負載電流的增加并不明顯。

負載損耗可表示為：

式中I2R為繞組熱效應(yīng)損耗，其值大小由負載電流以及繞組線圈的電阻值確定，W；PW為繞組中的渦流損耗，W；Pz為雜散損耗，W。目前沒有很好的方法可以計算繞組中的雜散損耗或渦流損耗，常用的方法是上述的經(jīng)驗計算方法。

1.2 變壓器內(nèi)部的熱量傳遞過程

油浸式變壓器運行時，其負載損耗和空載損耗導(dǎo)致繞組和鐵心等金屬構(gòu)件溫度升高，金屬具有較高的導(dǎo)熱系數(shù)，使繞組鐵心等金屬構(gòu)件溫度迅速升高。在繞組和鐵心內(nèi)部產(chǎn)生的熱量傳導(dǎo)至金屬外部，之后熱量由于傳導(dǎo)效應(yīng)傳導(dǎo)至到溫度相對較低的絕緣油中。熱量傳至油中使其溫度上升，密度變小，較輕的熱油從下向變壓器油箱上部分移動，當(dāng)熱油經(jīng)過油箱頂部、散熱片和油箱壁，由于低溫環(huán)境的冷卻，再向下部流動，當(dāng)溫度降低了的油再次經(jīng)過繞組和鐵心時，就形成了循環(huán)，將產(chǎn)生的熱量由內(nèi)部傳遞到外部。當(dāng)運行中的變壓器產(chǎn)熱熱量和散熱熱量相等時，便處于了熱平衡的穩(wěn)定狀態(tài)。

此時，變壓器運行時熱量的產(chǎn)生和傳導(dǎo)主要分為以下幾個過程：

（1）熱傳導(dǎo)過程：器身的金屬構(gòu)件，鐵心和繞組由于存在損耗產(chǎn)生熱量，熱量在金屬內(nèi)部傳導(dǎo)。這個過程是金屬的產(chǎn)熱和導(dǎo)熱過程，且構(gòu)件內(nèi)部無相對運動；

（2）熱對流過程：當(dāng)熱量傳遞到金屬表面時，高溫金屬與溫度較低的油由于存在溫差會進行對流換熱，使油的溫度上升；

（3）加熱后的變壓器油在油箱和散熱片內(nèi)部產(chǎn)生流動，并且傳遞一部分熱量給油箱和散熱片；

（4）由于散熱器和油箱的溫度比外部空氣高，二者同時將熱量傳遞到外部。

1.3 變壓器內(nèi)熱傳遞分析方法原理

由以上分析可以看出，過程（1）為金屬構(gòu)件導(dǎo)熱，對此過程計算的精準(zhǔn)度對之后的導(dǎo)熱傳熱過程的影響很大，對過程（1）的計算應(yīng)盡量保證精確。因此過程（1）的計算應(yīng)使用有限元法計算。

過程（2）～過程（4）是變壓器油參與的傳導(dǎo)過程，有限元方法對于有流體參與的過程的處理效果不如有限體積法。由于變壓器油形狀不定，且有限體積法相對有限元法，對網(wǎng)格質(zhì)量的要求較低。故過程（2）～過程（4）應(yīng)用有限體積法進行計算。

因此，對鐵心和繞組部分的金屬傳熱過程（1），用精確度較高的有限元法計算。對于流體參與的過程（2）～過程（4），采用效果更好的有限體積法計算更為合理。

2 利用有限元法計算繞組和鐵心的熱傳導(dǎo)

2.1 有限元法在變壓器繞組和鐵心熱傳導(dǎo)計算中的優(yōu)勢

有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本思想是將計算區(qū)域劃分為有限個互不重疊的子塊，在每一個單元中，選擇一定數(shù)量的節(jié)點作為一個函數(shù)的計算插值點，變線性表達式的微分形式和修正的節(jié)點的每個變量或其衍生價值選擇的插值函數(shù)，基于變分原理和加權(quán)余量法，轉(zhuǎn)化為對微分方程的求解［21-22］。

有限元法（FEM）在處理區(qū)域形狀較復(fù)雜的流體流動問題時，其效果不如有限體積法（FVM）。但有限元法對與金屬和固態(tài)的部分計算精度較高，變壓器中繞組和鐵心部分是固體結(jié)構(gòu)，并且?guī)缀涡螤钜?guī)則，應(yīng)使用有限元法進行高精度的導(dǎo)熱過程計算。

2.2 繞組鐵心的單元選擇和網(wǎng)格劃分

在油浸式電力變壓器中，繞組與鐵心的發(fā)熱是變壓器內(nèi)熱量的主要來源。在繞組和鐵心的計算中，選擇精度較高的三維8節(jié)點實體單元進行計算。繞組和鐵心中各個網(wǎng)格單元的導(dǎo)熱量都能作為單元的面載荷輸入，以此構(gòu)建導(dǎo)熱矩陣。由于繞組和鐵心具有很規(guī)則的結(jié)構(gòu)，故對其網(wǎng)格的劃分可以采用高精度的Sweep劃分方法，在盡量節(jié)省時間的同時，保證計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

2.3 利用有限元法模擬繞組和鐵心的熱傳遞過程

繞組和鐵心的熱傳導(dǎo)過程過程遵循如下的能量守恒方程：

式中 ρ為金屬的密度；c為比熱；vx、vy、vz分別為沿著各坐標(biāo)的速度分量；λx、λy、λz分別為沿著各坐標(biāo)的導(dǎo)熱系數(shù)。Φ·v為單位體積的生熱率。當(dāng)變壓器處于溫度恒定的穩(wěn)定運行時，上式可簡化為：

式中 λ為沿著各坐標(biāo)的導(dǎo)熱系數(shù)；Φ·V為單位體積的生熱率。

在帶入繞組和鐵心的產(chǎn)熱情況時，將其等效為均勻發(fā)熱的發(fā)熱體，產(chǎn)熱的總量一定，單位時間內(nèi)熱源單位體積產(chǎn)熱量固定：

式中p為變壓器的總體損耗；V為熱源的體積。

2.4 求解方法的選用

有限元求解方法中，比較常用的有5種。通過比較這幾種方法的精度、資源占用、運算速度等因素，選用預(yù)條件共軛梯度法（The Preconditioned Conjugate Gradient Method）。這種方法的自由度可以達到5×105，對于某些網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，自由度甚至可以更大，對具有精細網(wǎng)格的實體模型的求解優(yōu)勢明顯。預(yù)條件共軛梯度法通常只需要其他算法所需資源的3/4左右，利用與條件共軛梯度法運行大量網(wǎng)格模型或進行精確計算時，相比其他算法效率更高。故采用預(yù)條件共軛梯度法可以精確地求解變壓器繞組和鐵心的內(nèi)部導(dǎo)熱。

3 有限體積法計算流體部分溫度場

3.1 FVM在流體模擬仿真中的計算原理

有限體積法（FVM）又被稱為控制體積法。其基本思路是將求解區(qū)域劃分為大量不重復(fù)的控制體積，并使每個網(wǎng)格點周圍控制有一定的體積，將待解的微分方程對各個控制體積做積分運算，便得出一組所有控制體積的離散方程［28-29］。

利用有限體積法對油流體的傳熱過程的計算中，溫度場和流速場的通用方程為：

式中 φ代表某一個變量；Γφ、Sφ分別為對應(yīng)的擴散系數(shù)項和廣義源項：ρ為流體密度；U為流體運動速度矢量；div（ρUφ）、grad（φ）分別為對應(yīng)特定變量的散度和梯度。

3.2 有限體積法求流體傳熱的過程

FVM是將控制流動傳熱的非線性偏微分方程，通過解相應(yīng)的流體控制單元的線性方程組，從而得出所求網(wǎng)格控制點上流場物理量變化值，即系統(tǒng)流場的解。由于系統(tǒng)所加壓力不變，利用壓力耦合方程的SIMPLE算法求解，利用半隱式求解算法解決了控制方程。其計算的步驟如下：

（1）由壓力場初值，求解速度場初值，得到流體的初始速度v0；

（2）通過修改壓力場、求解微分方程，得到壓力的修正值，令修正值對應(yīng)的速度場可以達到本次迭代的連續(xù)方程約束條件，將動量方程的壓力和速度的約束關(guān)系代入本次迭代的連續(xù)性方程，得到壓力值的修正方程，從而得到本次迭代的速度修正值vm0；

（3）根據(jù)校正后的壓力場p=p0+pro，求解速度場v=v0+vm。并確定壓力場的結(jié)果是否滿足收斂條件，如果條件滿足便終止計算，若不滿足收斂條件，返回步驟（1）繼續(xù)計算流程。

3.3 FVM計算變壓器中油參與的熱傳導(dǎo)

在前面所述的過程（1）中，鐵心發(fā)熱和導(dǎo)熱遵循傅里葉對流換熱定律：

式中λ是導(dǎo)熱系數(shù)；h為換熱系數(shù)；tw為金屬溫度；tf為流體溫度。

當(dāng)外部環(huán)境溫度不變化時，變壓器的鐵心和繞組的發(fā)熱量也是不變的，變壓器的發(fā)熱量和散熱量相抵消，變壓器溫度達到平衡點。在這個時間點，在式（11）中給出了內(nèi)溫度場和流場的方程組。

變壓器達到熱平衡狀態(tài)時，變壓器油的非齊次邊界條件為：

式中λ為流體的熱傳導(dǎo)系數(shù)；T為關(guān)于空間變量（x，y，z）與時間變量 t的函數(shù)；F（x，y，z）為變壓器發(fā)熱與散熱過程的初始約束函數(shù)，f（x，y，z，t）是變壓器與外界換熱的約束函數(shù)，h為換熱系數(shù)；P=P0為初始時刻的微元所受壓強。

4 利用混合方法計算變壓器溫度場

4.1 兩種方法的比較與結(jié)合

對于相同網(wǎng)格密度下，采用有限體積法的結(jié)果要稍優(yōu)于采用有限元法計算得出的結(jié)果，但都存在較大的誤差。這是因為在對復(fù)雜流體求解時，有限體積法的處理效果要優(yōu)于有限元法。而有限體積法的理論精度僅為二階，計算的精度不能確保符合實際需要。

分析油浸變壓器的傳熱機理，主要有如下幾個過程：鐵心和繞組內(nèi)部的金屬熱傳導(dǎo)，繞組與鐵心和油之間的導(dǎo)熱過程，變壓器油的對流傳熱，油與散熱片之間的熱傳導(dǎo)，油箱壁與散熱片對變壓器周圍的散熱。鐵心和繞組是變壓器的主要發(fā)熱體，而且其結(jié)構(gòu)單一，沒有流動現(xiàn)象，故采用精讀較高的有限元法比有限體積法更為合適。在應(yīng)對變壓器油的對流傳熱，采用有限體積法更能發(fā)揮其善于處理較大規(guī)模流體運動傳熱問題的優(yōu)點。

對于變壓器繞組和鐵心部分，使用網(wǎng)格質(zhì)量較高的六面體網(wǎng)格。利用預(yù)條件共軛梯度法計算其金屬導(dǎo)熱規(guī)律，采用有限元方法計算時，繞組和鐵心的計算精度選為四階，保證了計算的精確性。同時由于繞組部分的體積遠小于油的體積，也確保計算速度可以接受。

對于繞組鐵心和變壓器油之間的對流換熱，變壓器油的流動傳熱，和油與散熱片之間的換熱過程，采用有限體積法進行計算。

4.2 綜合運用有限元法和有限體積法的仿真計算方法

文中以一臺31 500 kVA/110 kV自然循環(huán)風(fēng)冷（ONAF）變壓器為例，計算得到了變壓器內(nèi)部的溫度場分布。模型中變壓器油、繞組和鐵心的物理尺寸和參數(shù)均按照實際運行變壓器的情況設(shè)計。

當(dāng)外界溫度為20℃時，給變壓器按照額定負載情況加以發(fā)熱情況的初值。利用上述的FEM與FVM結(jié)合的混合仿真方法，可以得到運行中的油浸式變壓器內(nèi)的溫度場分布情況。利用混合方法計算得到的繞組溫度的垂直方向分布結(jié)果如圖1所示。

圖1 變壓器繞組溫度隨高度分布示意圖Fig.1 Distribution schematic diagram of transformer winding temperature with height

圖中橫坐標(biāo)表示繞組的縱向高度，縱坐標(biāo)表示繞組縱向某點的溫度值。從結(jié)果圖中可以看出，繞組高度的約90%高度位置處的某點是繞組溫度最高的熱點，而最底部是溫度最低點所在。這兩者溫度相差達15℃左右。低壓繞組、中壓繞組和高壓繞組的熱點溫度依次為95℃左右、93℃左右、92℃左右。

其繞組的溫度分布云圖如圖2所示。圖3為油箱內(nèi)部油的溫度分布云圖。由圖3可以看出，處于油箱頂層的油溫度最高，達77℃左右；油箱底層油溫度最低，在52℃左右。

圖2 運行中的繞組的溫度云圖Fig.2 Cloud image of transformer winding temperatures

圖3 變壓器油流的溫度分布云圖Fig.3 Distribution cloud image of transformer oil flow temperatures

駐馬店銅山站1#主變是特變電工新疆變壓器廠所產(chǎn)的31 500 kVA/110 kV自然油循環(huán)風(fēng)冷變壓器。為了驗證計算結(jié)果，從現(xiàn)場收集了變壓器頂層油溫監(jiān)測數(shù)據(jù)與變壓器繞組熱點溫度，對監(jiān)測數(shù)據(jù)與計算結(jié)果進行了對比。對比數(shù)據(jù)如表1所示，對比結(jié)果表明，利用有限元和有限體積法混合計算的方法得到的頂層油溫和繞組熱點溫度，能夠吻合實際的變壓器溫度監(jiān)測數(shù)據(jù)。

由仿真數(shù)據(jù)和實際監(jiān)測數(shù)據(jù)可知，油頂溫度的仿真結(jié)果與實測溫度誤差在1.6℃以內(nèi)，而繞組熱點溫度誤差在3.2℃內(nèi)，新的計算方法改善了對變壓器溫度場計算的精度。

表1 變壓器實際運行數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)對比Tab.1 Comparison of actual operation data and simulation data of transformer

5 結(jié)束語

（1）對有限體積法和有限元法的分析對比，由于有限元法和有限體積法不同的特點，因而在變壓器溫度場計算中，采用有限體積法計算流體溫度場，有限元法來計算固體溫度場的混合方法進行油浸式電力變壓器的溫度場計算；

（2）以一臺31 500 kVA/110 kV自然循環(huán)風(fēng)冷（ONAF）變壓器為例，利用上述FEM和FVM混合方法計算得到了變壓器內(nèi)部的溫度場分布。通過數(shù)據(jù)對比，所提方法可以準(zhǔn)確地得到運行中變壓器的溫度數(shù)據(jù)，對變壓器的運行和維護有一定的指導(dǎo)作用。