基于四桿機構(gòu)單元的柔性鉸鏈設(shè)計與尺寸優(yōu)化

張靜，寇子明

太原理工大學 機械工程學院，太原 030024

基于四桿機構(gòu)單元的柔性鉸鏈設(shè)計與尺寸優(yōu)化

張靜*，寇子明

太原理工大學 機械工程學院，太原 030024

針對柔性鉸鏈存在的轉(zhuǎn)動角度小和徑向漂移大等問題，進行了大轉(zhuǎn)角和高精度柔性鉸鏈設(shè)計。利用四桿機構(gòu)中曲柄搖桿機構(gòu)的轉(zhuǎn)角放大特性，以固化的四桿機構(gòu)為變形模塊，通過搖桿的小變形實現(xiàn)鉸鏈的大轉(zhuǎn)角運動。柔性鉸鏈中固化的四桿機構(gòu)為超靜定結(jié)構(gòu)，基于超靜定結(jié)構(gòu)理論進行了柔性單元的受力分析，并建立了柔性鉸鏈的剛度模型，實現(xiàn)柔性鉸鏈的分析和設(shè)計。根據(jù)設(shè)計方案選取設(shè)計變量，基于理論推導(dǎo)得到剛度建立目標函數(shù)，根據(jù)性能和幾何邊界建立約束條件，利用遺傳算法對柔性鉸鏈尺寸進行優(yōu)化，并通過ANSYS進行了特定尺寸下柔性鉸鏈變形和應(yīng)力分析，驗證了優(yōu)化結(jié)果的正確性。

柔性鉸鏈；四桿機構(gòu)；大轉(zhuǎn)角；剛度；優(yōu)化

柔順機構(gòu)具有無間隙、無摩擦、無潤滑的特性，在高精度、大行程的定位平臺中應(yīng)用較多[1-4]。柔性鉸鏈作為柔順機構(gòu)的一種，由于其優(yōu)良特性，在空間折展機構(gòu)中也有一定的應(yīng)用[5-6]。由于空間折展機構(gòu)具有大折展比、長距離支撐的特點，其所含運動副較多，例如，美國NASA用于航天飛機對地進行高分辨率觀測用的ADAM支撐臂中含有352個鉸鏈。因此，柔性鉸鏈在自驅(qū)動、高可靠性的折展機構(gòu)中具有巨大的應(yīng)用前景。但是由于平臺和折展機構(gòu)等要求柔性鉸鏈的運動行程較大，一般柔性鉸鏈很難滿足折展機構(gòu)的需求，因此，在保證柔性鉸鏈精度的前提下提高運動行程成為柔性鉸鏈廣泛應(yīng)用的前提。

柔性鉸鏈的設(shè)計方法主要有FACT方法[7-10]、模塊法[11-12]、拓撲優(yōu)化法[13]、矩陣法和偽剛體法[14]等。FACT方法主要是基于旋量理論對運動和約束進行建模，得到完整的自由度與約束空間圖譜，通過運動學等效實現(xiàn)運動臺設(shè)計。Yu等基于此方法進行了一般柔順機構(gòu)型綜合的系統(tǒng)研究[8]。Dibiasio和Hopkins考慮實際設(shè)計過程中存在的非理想約束，進行單自由度移動的自由空間對柔性約束的排布和彈性力學特性的敏感度的研究[10]。模塊法則是進行系統(tǒng)功能劃分，通過局部模塊設(shè)計和組合實現(xiàn)機構(gòu)設(shè)計。Kim等利用模塊法進行轉(zhuǎn)角放大柔順機構(gòu)的設(shè)計[11]，并進行單個模塊與整體功能之間關(guān)系的研究[12]。而拓撲優(yōu)化則是從空腔與實體的分布實現(xiàn)鉸鏈的設(shè)計，Reddy等利用拓撲優(yōu)化方法進行了特定運行軌跡的柔順機構(gòu)設(shè)計[13]。在柔性鉸鏈剛度模型建立中較為常用的是偽剛體法，而其方法在建模過程是通過剛性連桿的位移逼近柔性梁的位移來實現(xiàn)柔性梁的剛性化，且對于曲梁的處理過程復(fù)雜[14]。曹玉巖等考慮鉸鏈的超靜定約束特點，利用虛功原理推導(dǎo)了環(huán)形柔性鉸鏈的剛度模型，并對其進行優(yōu)化[15]。

柔性鉸鏈的種類繁多，按照結(jié)構(gòu)形式主要分為桿約束和板約束兩種柔性鉸鏈。由于板約束下柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)簡單，且約束方式多樣，因此對板約束下的柔性鉸鏈研究較多。Soykasap等提出了用于天線折疊的片式柔性鉸鏈[5]。Ciblak和Lipkin進行了大半徑回轉(zhuǎn)的柔性鉸鏈設(shè)計[16]。Fowler等進行了大轉(zhuǎn)角回轉(zhuǎn)鉸鏈的設(shè)計，其轉(zhuǎn)角達到90°，中心漂移達到20 mm[17]。Yu等設(shè)計了用于平面微定位平臺的大轉(zhuǎn)角柔性系統(tǒng)[18]。Hopkins等介紹了生成平行柔性單元的方法，將有望用于下一代高精度柔性系統(tǒng)的設(shè)計[19]。Panas和Hopkins為了減小柔性單元的靜態(tài)和動態(tài)損失，改進了雙平行四邊形約束下的柔性單元的設(shè)計[20]。邱麗芳等進行了疏齒型柔性鉸鏈的研究[21]。趙山杉等進行了基于曲線柔性單元的柔性鉸鏈研究[22]。

目前研究得到的柔性鉸鏈仍存在轉(zhuǎn)角較小、中心漂移較大的問題。因此，首先基于柔順機構(gòu)設(shè)計理論中的模塊法，將具有轉(zhuǎn)角放大特性的四桿機構(gòu)進行剛化，以剛化的四桿機構(gòu)為變形體進行柔性鉸鏈的設(shè)計。其次，考慮到建立含曲梁結(jié)構(gòu)柔性鉸鏈的剛度模型的可行性和準確性，基于超靜定結(jié)構(gòu)的力學理論建立鉸鏈的剛度模型，即為含有曲梁的柔性鉸鏈剛度分析提供了一種途徑，也為剛度模型的準確性提供了保障。最后基于柔性鉸鏈的力學模型進行鉸鏈剛度的優(yōu)化，確定了鉸鏈的結(jié)構(gòu)參數(shù)和基本性能。

1 鉸鏈剛度模型建立

1.1 柔性鉸鏈方案

圖1 柔性鉸鏈設(shè)計方案Fig.1 Design program of flexible hinge

為了進行大轉(zhuǎn)角和大平移剛度的柔性鉸鏈設(shè)計，將具有轉(zhuǎn)角放大特性的四桿機構(gòu)即曲柄搖桿機構(gòu)作為鉸鏈的中間單元，進行柔性鉸鏈方案設(shè)計。如圖1所示，鉸鏈由內(nèi)圈、外圈和中間模塊組成，曲柄搖桿機構(gòu)ABCD為鉸鏈的中間模塊。曲柄搖桿機構(gòu)中搖桿小轉(zhuǎn)角與曲柄的大轉(zhuǎn)角相對應(yīng)，即在四桿機構(gòu)ABCD中搖桿CD的小轉(zhuǎn)角引起的小變形與曲柄AB的大轉(zhuǎn)角對應(yīng)，又由于曲柄AB與內(nèi)圈固定，因此曲柄搖桿機構(gòu)在鉸鏈的轉(zhuǎn)動過程中起到了轉(zhuǎn)角放大的作用。四桿機構(gòu)中各桿件繞回轉(zhuǎn)鉸鏈回轉(zhuǎn)，各鉸鏈處只存在接觸力，而不存在彎矩。而在柔性鉸鏈設(shè)計中，將四桿機構(gòu)的各鉸接點進行固化，對鉸點的回轉(zhuǎn)自由度進行約束。當外圈固定，內(nèi)圈受到力矩作用時，內(nèi)圈以曲柄上的A點為回轉(zhuǎn)中心進行旋轉(zhuǎn)。而當柔性鉸鏈用于展開時，其搖桿存在變形，其彈性能驅(qū)動鉸鏈旋轉(zhuǎn)，即外圈固定，搖桿變形能驅(qū)動AB即內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)。

1.2 中間模塊受力分析

柔性四桿機構(gòu)變形作用使內(nèi)外圈產(chǎn)生了回轉(zhuǎn)運動，因此中間模塊的力學特性是鉸鏈設(shè)計的核心。因此，為了進行鉸鏈尺寸設(shè)計和結(jié)構(gòu)優(yōu)化，首先進行柔性四桿機構(gòu)的受力分析。柔性四桿機構(gòu)的簡圖如圖2(a)所示，桿AB、桿BC、桿CD、桿AD的長度分別為a、b、c、d，4個桿件的初始角度分別為α、β、φ和0。當桿AB上受到彎矩M時，機構(gòu)變形，實現(xiàn)內(nèi)外圈之間的相對轉(zhuǎn)動，桿AB、桿BC和桿CD相對于x軸轉(zhuǎn)角分別為θAB=θ1+α、θBC=θ2+β和θCD=θ3+φ，其中θ1、θ2和θ3分別為桿AB、桿BC和桿CD變形過程中的轉(zhuǎn)角。由于柔性四桿機構(gòu)為超靜定結(jié)構(gòu)，取A點為靜定基，將A點的贅余反力X1和X2加在靜定基A上，如圖2(b)所示。

圖2 柔性四桿機構(gòu)Fig.2 Flexible four-bar mechanism

由于此柔性四桿機構(gòu)為二次超靜定系統(tǒng)，因此，利用力法的正則方程，進行反力求解。系統(tǒng)在載荷M、X1和X2的作用下桿件AB的A端水平位移和豎直方向位移為零，與原簡支邊界相符。三力單獨作用在A點引起的水平位移分別為δ1M、δ1X1、δ1X2,滿足水平位移為零的條件是δ1M+δ1X1+δ1X2=0,其中δ1X1=δ11X1,δ1X2=δ12X2,其中δij表示由于Xj=1在Xi作用處沿Xi方向引起的位移。A端豎直和水平方向位移為零的條件又可以表示為

(1)

根據(jù)載荷和贅余反力X1=1和X2=1，繪制其彎矩圖，如圖3所示。計算得到各載荷作用下的各端點彎矩，見表1。

利用圖乘法求各δ值，在圖形互乘法中，基于單位載荷法求等截面桿的位移方法，得到等截面桿的線位移為

(2)

圖3 柔性四桿機構(gòu)彎矩圖Fig.3 Bending moment of flexible four-bar linkage

表1 各載荷作用下端點彎矩Table 1 Bending moment of the end of each link

LoadPointAPointBPointCPointDMMMMMX1=10asinαasinα+bsinβ0X2=10acosαacosα+bcosβd

利用式(2)計算得到位移表達式δ1M、δ2M、δ11、δ22、δ12(見附錄A)。再將各位移代入式(1)，得到端部A的支反力:

(3)

(4)

式中：Λi(i=1～13)和Vj(j=1～13)見附錄A；I1、I2和I3分別為桿AB、桿BC和桿CD的慣性矩；E1、E2和E3分別為桿AB、桿BC和桿CD的彈性模量。

1.3 鉸鏈剛度模型建立

圖4 桿BC和桿CD的彎矩圖Fig.4 Bending moment of link BC and link CD

由于曲柄與內(nèi)圈固定，桿CD與外圈固定，因此，在力矩M作用下，B點位移反映了結(jié)構(gòu)剛度?；诙它cA的反力計算，得到力矩M作用下各桿件受到的彎矩，如圖4所示，其中B′點為B點所在水平線與桿CD的交點，同時為桿CD桿上彎矩為零的點。將A端受力X1和X2轉(zhuǎn)化到B點上，則B點受到的彎矩可以表示為

M′=M+X1asinα+X2acosα

(5)

在B點水平和豎直方向施加單位載荷，得到的彎矩分布圖變化趨勢與圖4(b)和圖4(c)一致，即當圖4(b)和圖4(c)中的X1=1和X2=1時的彎矩分布，得到力法正則方程中各系數(shù)(見附錄A)，為了簡化表達，設(shè)γ=180-φ。則B點在水平方向上和豎直方向上的位移為

{D1=D1M+D11+D12

D2=D2M+D21+D22

(6)

將B點的位移轉(zhuǎn)化為AB桿的轉(zhuǎn)角，進而得到含有4個四桿機構(gòu)的柔性鉸鏈的剛度為

kJ=4k=

(7)

1.4 機構(gòu)最大應(yīng)力點分析

根據(jù)各載荷在不同桿件上形成的彎矩進行結(jié)構(gòu)中各點應(yīng)力值的求解。設(shè)BC桿上的任一點離左端點B的距離為x，則BC桿上各點彎矩為

MBC=M′+(X1sinβ+X2cosβ)x

(8)

在四桿機構(gòu)設(shè)計中，設(shè)置β<90°,所以BC桿上的力矩斜率大于零，而由反力分析可知彎矩MBC與反力X1、X2為異號，因此，BC桿上的最大力矩出現(xiàn)在B點或C點。

CD桿上的彎矩為

MCD=M′+b(X1sinβ+X2cosβ)+

x(-X1sinγ+X2cosγ)

(9)

由式(9)可得，當(-X1sinγ+X2cosγ)>0時，CD桿上的最大彎矩出現(xiàn)在D點，當(-X1sinγ+X2cosγ)<0時，最大值也可能在C點。因此，可能出現(xiàn)的最大應(yīng)力為

(10)

式中：σB為桿BC的B截面的應(yīng)力；σCL為桿BC右端面的應(yīng)力；σCR為桿CD右端面的應(yīng)力；σD為桿CD的D截面的應(yīng)力；tBC為桿BC的厚度；tCD為桿CD的厚度。

2 機構(gòu)優(yōu)化

2.1 優(yōu)化模型建立

1) 設(shè)計變量

柔性鉸鏈的材料和幾何參數(shù)決定其性能，假設(shè)柔性鉸鏈的材料已知，即彈性模量已知。結(jié)構(gòu)的整體尺寸一定，即AD桿長度和鉸鏈厚度已知。柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖2所示，a和b為AB桿和BC桿的長度，α和β為AB桿和BC桿的初始水平夾角。并且設(shè)置BC桿和CD桿截面為方形，截面高度為tBC和tCD。則鉸鏈的設(shè)計參數(shù)為X=[x1x2x3x4x5x6]=[abαβtBCtCD]。

2) 目標函數(shù)

為了得到具有較大回轉(zhuǎn)角度的鉸鏈，即需要其剛度最小，因此，目標函數(shù)為minkJ=min(4k),其中k見式(7)。

3) 約束條件

選取鈦合金作為柔性鉸鏈的材料彈性模量E=9.5×104MPa，許用應(yīng)力[σ]=800 MPa，又由于鉸鏈在轉(zhuǎn)動過程中產(chǎn)生的應(yīng)力應(yīng)該在許用應(yīng)力范圍內(nèi)，因此，考慮式(10)給出的應(yīng)力值均小于[σ]。又由于考慮變截面曲梁承載特性的優(yōu)勢，設(shè)計BC桿截面的厚度大于CD桿截面的厚度，即得σCL<σCR，因此得

(11)

在鉸鏈性能設(shè)計中，中心平移量不能太大，即鉸鏈回轉(zhuǎn)平面內(nèi)的平移剛度需要較大，則鉸鏈中變形桿件的截面尺寸不能太小，考慮其鉸鏈回轉(zhuǎn)剛度需滿足:

kJ>100

(12)

柔性鉸鏈的寬度為5 mm，AD桿長度d=65 mm，共同確定鉸鏈的整體參數(shù)。AB桿與內(nèi)圈固結(jié)，設(shè)其厚度為10 mm，鉸鏈受到的力矩為M=500 N·mm。為了便于加工、安裝和使用，根據(jù)經(jīng)驗得到其他約束條件gi(X)(i=1,2,…,9)為

(13)

2.2 優(yōu)化參數(shù)選擇及結(jié)果分析

由于優(yōu)化模型中存在非線性的約束條件，因此考慮采用遺傳優(yōu)化算法進行結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化。在利用遺傳算法進行優(yōu)化的過程中，種群數(shù)和遺傳代數(shù)的選擇對優(yōu)化結(jié)果有一定的影響。為了得到全局最優(yōu)解，進行了不同種群數(shù)和遺傳代數(shù)對優(yōu)化結(jié)果的影響分析。

由于遺傳算法也具有一定的局限性，在進行非線性優(yōu)化模型的優(yōu)化時，可能存在優(yōu)化結(jié)果的不同，因此，在初始條件和算法參數(shù)不變時，得到多個優(yōu)化結(jié)果，見圖5。

優(yōu)化計算過程中對種群數(shù)和遺傳代數(shù)的選擇對優(yōu)化也有一定的影響，因此，進行了算法參數(shù)的設(shè)置影響分析，見圖6。

由不同參數(shù)下的優(yōu)化結(jié)果可以看到，多個最優(yōu)值穩(wěn)定在1.34×103N·mm/rad，因此，通過遺傳算法尋找到的全局最優(yōu)解為1.34×103N·mm/rad。主要參數(shù)見表2。

圖5 多次優(yōu)化后結(jié)果Fig.5 Optimized results of many times optimization

圖6 不同參數(shù)設(shè)置下的優(yōu)化結(jié)果Fig.6Optimized results with different parameter settings

表2 柔性鉸鏈主要參數(shù)Table 2 Parameters of the flexible hinge

ParameterBeforeoptimizationAfteroptimizationa/mm7．53b/mm6057α/(°)8080β/(°)1226．6tBC/mm10．85tCD/mm0．40．1kJ/(N·mm·rad-1)1．12×1045．36×103

2.3 優(yōu)化結(jié)果驗證

由于優(yōu)化模型是基于鉸鏈剛度模型、材料性能約束和鉸鏈的幾何約束建立的，因此，通過有限元軟件進行優(yōu)化前和優(yōu)化后的鉸鏈模型的建立和性能分析，可以同時驗證鉸鏈剛度模型和優(yōu)化模型的正確性。利用Beam188單元進行鉸鏈有限元模型建立，其優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2，建立的優(yōu)化前后有限元模型如圖7所示，兩模型均包含1 924個節(jié)點和1 928個單元，且均對內(nèi)圈進行全約束，在外圈的P1點和P2點施加集中力，兩個模型中的集中力F分別為20 N和15 N，轉(zhuǎn)化后扭矩分別為2 600 N·mm 和1 950 N·mm。通過有限元計算得到優(yōu)化前后柔性鉸鏈轉(zhuǎn)過的角度為13°和20°，其變形云圖如圖8所示。最大應(yīng)力均為779 MPa，應(yīng)力云圖如圖9所示。通過計算得到優(yōu)化前后鉸鏈的旋轉(zhuǎn)剛度分別為1.14×104N·mm/rad 和5.58×103N·mm/rad?；诶碚撃Ｐ偷玫降呐まD(zhuǎn)剛度相對于有限元分析的誤差分別為1.8%和3.9%。因此，有限元分析驗證了剛度模型和優(yōu)化結(jié)果的正確性。

圖7 柔性鉸鏈有限元模型Fig.7 Finite element model for flexible hinge

圖8 柔性鉸鏈變形云圖Fig.8 Nephogram of deformation of flexible hinge

圖9 柔性鉸鏈應(yīng)力云圖Fig.9 Nephogram of stress of flexible hinge

在折展機構(gòu)的應(yīng)用中，可以基于此柔性鉸鏈設(shè)計，通過柔性鉸鏈的串聯(lián)實現(xiàn)不同轉(zhuǎn)角或者更大轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)動。為了在增大轉(zhuǎn)角的同時控制鉸鏈體積，可以將被串聯(lián)鉸鏈的內(nèi)外圈依次固結(jié)，從首個鉸鏈到末尾鉸鏈，轉(zhuǎn)角不斷積累，實現(xiàn)更大轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)動，從而為柔性鉸鏈在折展機構(gòu)中的應(yīng)用提供可靠途徑。

3 結(jié) 論

1) 為了在保證柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)剛度的前提下，提高柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)角度，提出了基于轉(zhuǎn)角放大的四桿機構(gòu)的柔性鉸鏈設(shè)計方案。

2) 針對柔性鉸鏈中存在的超靜定問題，進行了超靜定固化四桿結(jié)構(gòu)的力學分析，基于固化四桿機構(gòu)的力學模型，得到四桿機構(gòu)的位移和應(yīng)力表達式，利用幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)換，得到柔性鉸鏈的剛度模型和應(yīng)力模型。

3) 建立含固化四桿機構(gòu)的柔性鉸鏈的優(yōu)化模型，基于遺傳算法，通過編程求解，得到了剛度為5.36×103N·mm/rad，并可以進行單向20°的回轉(zhuǎn)的柔性鉸鏈，提高了一體式柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)范圍。

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Designandsizeoptimizationofflexiblehingebasedonunitoffour-linklinkage

ZHANGJing*,KOUZiming

CollegeofMechanicalEngineering,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China

Smallrotationangleandbigcenter-shiftarethemainproblemsofflexurehinges.Tosolvetheseproblems,theflexiblehingewithbigangleandhighprecisionisdesigned.Usingthecharacteristicsofangleamplificationofthecrankrockermechanismofthefour-linklinkage,thearticulatedpointsofthelinkagearefixed.Thefixedfour-barlinkageistakenasthedeformationmodule.Byusingthesmalldeformationoftherockerinthefour-linklinkage,motionoflargerotationalangleoftheflexiblehingeisrealized.Thefixedfour-barlinkageintheflexiblehingeisastaticallyindeterminatestructure.Basedonthetheoryofstaticallyindeterminatestructure,deformationandstressanalysisoftheflexibleunitisconducted.Thestiffnessmodelfortheflexurehingeisgiven.Theobjectivefunctionisderivedbasedonthestiffnessmodel,andthedesignvariablesandconstraintsaredefined.Thesizeoftheflexurehingeisoptimizedbyusingthegeneticalgorithm.AnalysisofthedeformationandstressofaspecificsizeoftheflexiblehingeusingANSYSsoftwarevalidatescorrectnessoftheoptimizationresults.

flexiblehinge;four-linklinkage;largerotationalangle;stiffness;optimization

2017-03-27；Revised2017-05-04；Accepted2017-06-12；Publishedonline2017-07-201554

URL：http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171129.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(51505319);Special/YouthFoundationofTaiyuanUniversityofTechnology(2014TD040);QualifiedPersonnelFoundationofTaiyuanUniversityofTechnology(tyut-rc201448a)

.E-mailfree1985216@163.com

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.421283

V474;TH122

A

1000-6893(2017)11-421283-10

2017-03-27；退修日期2017-05-04；錄用日期2017-06-12；< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間

時間：2017-07-201554

http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171129.html

國家自然科學基金(51505319)； 太原理工大學?；?2014TD040)； 太原理工大學人才引進基金(tyut-rc201448a)

.E-mailfree1985216@163.com

張靜，寇子明．基于四桿機構(gòu)單元的柔性鉸鏈設(shè)計與尺寸優(yōu)化J． 航空學報,2017,38(11):421283.ZHANGJ,KOUZM.Designandsizeoptimizationofflexiblehingebasedonunitoffour-linklinkageJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(11):421283.

(責任編輯：李世秋)

附錄A

δ21=δ12

Λ3=d+acosα+bcosβ

Λ4=3bcosβ

Λ5=3acosα

Λ6=asinα+bsinβ

Λ7=6asinα+3bsinβ

Λ8=3asinα+Λ12

Λ9=Λ13+bsinβ

Λ10=2bcosβ

Λ11=2acosα

Λ12=2bsinβ

Λ13=2asinα

V1=d+acosα+bcosβ

V2=3dcosβ

V3=3acosα

V6=2bcosβ

V7=2acosα

V8=asinα+bsinβ

V9=6asinα+3bsinβ

V10=3asinα+V12

V11=V13+bsinβ

V12=2bsinβ

V13=2asinα