中國經濟增長拐點問題研究——基于計量經濟學和微積分學的實證分析

緱小平

(寧夏財政廳 財政政策研究中心，寧夏 銀川 750001)

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中國經濟增長拐點問題研究
——基于計量經濟學和微積分學的實證分析

緱小平

(寧夏財政廳 財政政策研究中心，寧夏 銀川 750001)

經濟拐點是經濟發展速度由上升轉變為下降的時間節點，也是確定經濟波動周期的波峰和波谷的依據，對于判斷經濟走勢、制定相應政策措施具有重要意義。輿論和學術界對中國最近一次經濟拐點出現的時間有各種不同看法，但都是基于經驗判斷。文章以計量經濟學和微積分學為研究工具，對2001-2015年中國GDP時間序列和31個省市自治區的GDP面板數據進行分析測試，發現GDP對于時間變量的發展規律可以使用一元三次函數來表達，通過計量建模、數學解析，推導出中國最近一次經濟拐點出現的時間為2011年，各省市自治區經濟拐點出現的時間各有不同。如果環境因素不發生變化，經濟增速下降的趨勢將會傳遞到“十三五”時期。

GDP；經濟拐點；計量經濟學；微積分

一、引言

自1978年實施改革開放到2015年，中國經濟經歷了37年快速發展，取得令人矚目的巨變。國內生產總值(GDP)從1978年的3650億元發展到2015年的676708億元，增加了184倍，年均名義增長率達到15.2%，剔除價格變動因素，年均實際增長9.7%①[1]。中國經濟進入“十二五”以來，繼續保持中高速發展，經濟總量已經躋身世界第二，但受經濟下行壓力影響，增長勢頭明顯放緩，實際增長率從2011年的9.5%開始下滑，到2012年和2013年各7.7%、2014年的7.3%，直到2015年的6.9%，經濟發展步入“新常態”的趨勢已經顯現。

輿論和學術界紛紛探討中國經濟增長的拐點是否已經出現，經濟增長是否已經探底，對經濟拐點的出現提出不同看法。時任國務院發展研究中心副主任的劉世錦在中國發展高層論壇2013年經濟峰會上表示，“歷經30多年高速增長之后，中國經濟正在轉入中速增長區，增長拐點大概出現在2015年，之后會逐步穩定在6%到7%之間”[2]。《人民日報》2014年初引述世界銀行報告，標題為“全球經濟迎來加快增長拐點，中國經濟將持續強勁增長”[3]，對中國經濟增長表達了十分樂觀的態度。在2015中國經濟增長與周期國際高峰論壇上有專家認為，“中國經濟正從過去兩位數的高速增長轉為7%左右的中高速增長，但是經濟還在探底過程中，經濟下行的壓力很大，還未在年均7%左右的中高速增長中穩定下來。如果改革發力、政策得當，7%或者6. 5%左右的增速應該能夠維持到2020年，甚至更長一段的時間。”[4]《人民日報》2016年5月9日頭版刊登標題為“開局首季問大勢——權威人士談當前中國經濟”的訪談文章，提出如下觀點：“綜合判斷，我國經濟運行不可能是U型，更不可能是V型，而是L型的走勢。這個L型是一個階段，不是一兩年能過去的。”

二、文獻述評

目前國內針對經濟拐點問題專門進行定量研究的文獻尚屬鳳毛麟角，見諸于文獻的多為宏觀經濟波動周期的測度和研究。謝太峰、王子博(2013)指出，“國內相關研究逐漸由定性分析向定量研究轉變，多集中于經濟周期波動特征的研究，對經濟周期拐點預測的研究尚處于起步階段。對于經濟周期拐點預測，還沒有形成一個可行的分析方法，或者說沒有給出一個將經濟理論分析和計量經濟學實證驗證有機結合的預測思路。”[5]然而，對經濟拐點的測度和識別，是經濟周期研究中的一個重要環節。董進(2006)提出，“如何更好地測度經濟波動周期的起止時間也一直是經濟學家們研究的主要問題之一。如何界定經濟周期以及如何量化一個經濟指標的時間序列與經濟波動周期本身的協動，這是經濟波動周期領域中兩個最主要的問題。”[6]研讀國內研究經濟波動周期的文獻，有以下特征：

1.從研究對象和所覆蓋的時期上看，均以全國的經濟波動周期為研究對象，所采集的數據為全國數據，所涉及的時期多為2011年以前。尚未見分省市自治區研究的文獻。董進(2006)對中國1952-2005年的數據進行分析，使用了2005年全國經濟普查后的統計數據。謝太峰、王子博(2013)應用中國1978-2011年潛在經濟增長率等變量，結合對中國經濟周期特征和規律的經驗判斷形成預測思路。鄭挺國、王霞(2013)使用1992-2011年中國季度GDP同比增長率識別了同期經濟周期變化[7]。

2.從研究方法看，學者們用多種方法對經濟周期的測度進行嘗試。董進(2006)運用線性趨勢法、H-P濾波法、B-P濾波法和生產函數法分別對中國經濟波動周期的起止時間進行了比較。謝太峰、王子博(2013)使用Kalman濾波法，將經濟周期特征和規律的經驗判斷與潛在經濟增長率趨勢變化相結合進行拐點預測，得出中國經濟以2009年為拐點、從2010年起進入新一輪周期的擴張期的論斷。鄭挺國、王霞(2013)通過構建混頻數據區制轉移動態因子模型，從實時分析的角度考察了該模型在中國經濟周期研究中的適用性。

三、曲線凸性和拐點的概念及判別方法

圖1 函數曲線凸性及拐點示意圖

所謂拐點最初是一個數學概念，特指函數曲線由下凸向上凸轉變的結點，或上凸向下凸轉變的結點。如果將函數曲線定義為物體運動所經過的路程隨時間變化的軌跡，下凸函數曲線的特點是速度呈上升趨勢，而上凸函數曲線的特點是速度呈下降趨勢，雖然該物體還在向前運行。如果該物體一直在運行，則運行曲線是一個連續函數，那么由下凸向上凸轉變的分界點即為拐點。

四、研究方法

(一)經濟函數概念的建立

GDP是衡量一國或一個地區經濟發展成果的主要指標，可以看作經濟運行的“里程”。比如寧夏GDP在2010年(X0)為1689.7億元，到2015年(X5)發展到2900.0億元，其間經過的“里程”為1210.3億元，也可以表示為時間Xi(i=1,2, …,n)的函數，這類函數在經濟學上被稱為增長模型[9]。根據研究需要，時間變量的單位可以定義為年、月、季度等。如此，可以將導數的概念引入GDP，用來表示GDP增長速度和加速度。由此可見，如果能夠建立GDP對于時間變量的函數模型，則完全可以使用數學分析方法來研究GDP發展變化的性質和規律。

(二)研究路徑

圖2 研究路徑圖

研究的關鍵在于建立模型。“模型是對現實的簡化呈示。模型之所以重要是由于它們的簡潔可以使經濟學家們每次只集中討論一種變量的作用效果。也就是說，它可以使我們在保持其他因素不變的情況下來研究一種因素的變化如何影響到整體的經濟后果。[10]”從數學角度來看，事物增長規律通常可以用三種函數形式來表達：冪函數(形如Y=CXa)，對數函數(形如Y=Cln(X)和指數函數(形如Y=cex，以上表達式中的C, a均為常數項)。以增長速度從高到低排序依次為指數函數、冪函數和對數函數。計量經濟學為經濟模型的建立和檢驗提供了強有力的工具。基本研究程序分三步走，第一，采集中國2001-2015年三個五年計劃期的GDP歷史數據，構成一個時間序列數據集，用EViews計量經濟學軟件包繪出GDP相對于年份時間序列的描點圖，觀察其增長特征，判斷能夠代表增長特征的函數形式，并在反復模擬試算的基礎上確定最優函數模型。第二，采集中國31個省市自治區2001-2015年的GDP歷史數據，構成面板數據集(短面板)，采用確定的函數模型，通過EViews軟件包，使用面板數據回歸法進行運算，求出模型參數的估值，并將參數估值代入模型，建立中國GDP共性增長函數和31個省市自治區各自增長函數。第三，對增長函數進行數學分析，解出2001-2020年時間段內中國和各省市自治區的經濟拐點。

簡而言之，本文以計量經濟學和微積分學為研究工具，建立一個理論模型，采集兩套數據，使用三種回歸方法，得到兩個綜合模型表達式和31個分省模型表達式；通過數學解析，解出兩個全國綜合性經濟拐點和31個分省經濟拐點。研究路徑如圖2所示。

五、時間序列回歸法——中國經濟增長模型的設定和解析

(一)數據描述和來源

作者采集了2001-2015年中國GDP數據，共15個樣本，借助微軟EXCEL電子表格進行預處理，以備導入EViews計量經濟學軟件包。2001-2014年數據摘自《中國統計年鑒2015》，2015年引自2016年1月19日國家統計局網站公布的2015年經濟數據(見表1)。GDP數據均為當年現值(名義值)，未經價格調整。表中2001-2015年GDP名義增長率以現值直接計算得出，是為了方便對比，不參與模型運算。

表1 中國國內生產總值數據

(二)回歸模型設定和運算結果

對GDP按年份時間順序繪制描點圖(見圖3)，可以觀察到，2001-2008年形成的曲線明顯向下凸，2009-2015年形成的曲線略向上凸，初步判斷為冪函數形式。經反復模擬試算和優化比對，最終將回歸模型設定如下：

圖3 我國國內生產總值描點圖

(1)

上列模型是由冪函數組成的一元三次方程(又稱為多項式)，其中，GDP代表國內生產總值，X代表年份時間變量(2001年=1, 2002年=2，…， 2015年=15)，C1，C2，C3，C4為待估系數，μ為隨機誤差項，代表所有環境干擾因素，如政策變化、結構變動、統計誤差等。

式(1)對于解釋變量(X)而言不是線性函數，但對于解釋變量前的系數來說是線性的。“‘線性回歸’一詞總是指對參數C為線性的一種回歸(即參數只是以它的一次方出現)；解釋變量X則可以是或不是線性的”[11]。所以式(1)可以應用時間序列計量經濟學中的普通最小二乘法進行線性回歸。將式(1)輸入EViews軟件包相應模塊，以便估算出模型中的待估系數并給出統計檢驗指標。運算結果如下(原輸出結果指標較多，此處選列主要指標)：

表2 時間序列模型回歸結果摘要

(三)回歸模型擬合優度和有效性檢驗

從以上摘要報告可以看出，模型擬合優度R2為0.999，表明擬合程度優良，換言之，因變量GDP變化的99.9%能夠用等式右邊的冪函數組合來解釋。所有系數估值所對應的t統計量的絕對值都大于2，伴隨概率P值都小于5%的顯著性水平，表明這些系數估值在統計上是顯著的，其有效性以此得到驗證。

從模型總體看，F統計量為2461.90，是個相當大的數字，所對應的P值為零，遠遠小于1%的顯著性水平，表明模型總體有效；德賓-沃森(D.W.)統計量為1.605，在5%的顯著性水平上，D.W.檢驗的臨界值上限(Du，樣本數15，解釋變量1)為1.361，據此查明模型不存在序列相關。對模型殘差實施正態性檢驗，殘差服從正態分布。異方差檢驗證明模型不存在異方差。因為模型只有一個解釋變量，故不存在多重共線性。以上檢驗[12]表明，所設模型滿足經典計量經濟學的假設條件，模型的系數估值及方程式總體有效，可以用來進行趨勢分析和預測。

(四)對回歸模型的數學分析和解釋

將表2所列系數估值代入回歸模型(式(1)，保留兩位小數)，形式如下：

GDP=-185.91X3+6234.06X2-14407.50X+124415.60

(2)

以上模型為2001-2015年中國GDP對年份時間序列X的函數表達式。用EViews對GDP實際發生數和函數表達式回歸值繪制曲線圖如圖4。

從圖4可以觀察到，除個別年份外，通過所設GDP模型函數得出的回歸值與GDP實際發生數擬合緊密，正如前文所述擬合優度達到99.9%，故模型函數能夠表達2001-2015年期間中國GDP的發展規律，可以以此模型為基礎進行數學解析。對式(2)求二階導數，結果如下：

(3)

如本文第三部分所述，原函數的二階導數等于零的點，就是該函數曲線的拐點。由此得出，中國2001-2015年期間GDP拐點出現的時間在2011年。也就是說，2001-2011年期間GDP函數向下凸，2011-2015年期間GDP函數曲線向上凸。這意味著以2011年為分界點，2001-2011年期間GDP增速呈現逐年增加趨勢，而2011-2015年期間GDP增速處于逐年降低狀態。表1所列GDP名義增長率變化趨勢印證了此推導結論。

圖4 我國GDP實際發生數與回歸函數曲線擬合圖

可以觀察到，2008年國際金融危機發生，繼之而來的2009年出現GDP增速急速下降的形勢，由于中國大規模投資振興計劃的實施，2010、2011兩年經濟增速回升，隨著邊際投資效益的遞減，2012年之后增速再次下滑。可以推測出，金融危機后的2009年本應是中國經濟的拐點，但經濟振興計劃的作用將拐點推后了兩年。觀察曲線發展趨勢，如果“十三五”時期各種環境因素(如改革創新力度、管理體制、財政經濟政策、經濟結構等)不發生重大變化，則增長規律就不會受到擾動，這種趨勢還會傳遞下去。

六、面板數據回歸法——綜合及分省模型的設定和解析

(一)數據描述和來源

采集31個省市自治區2001-2015年GDP數據構成面板數據集，共465個樣本觀測值。GDP單位為億元，均為當年值，未經價格調整。其中2001-2004年摘自《中國統計年鑒2006》，年鑒中2001-2003年數據為經濟普查后修訂的數據；2005-2009年摘自《中國統計年鑒2010》，年鑒中2005-2008年數據為第二次經濟普查后修訂的數據；2010-2014年摘自《中國統計年鑒2015》；2015年引自中國經濟網(www.ce.cn)2016年1月28日整理發布的31個省市自治區2015年GDP排行榜。2015年數據是各省市自治區公布的初步統計數，雖然與最終核實數據會有一定的出入，但預計誤差很小，對回歸結果不會帶來顯著影響。因為數據量較大，為節省篇幅，此處不再單獨羅列。需要注意的是，統計年鑒中所載同一年度各省市自治區GDP之和并不等于中國GDP總量。

(二)綜合面板數據回歸——綜合經濟增長模型

做此回歸的目的是為了將31個省市自治區的GDP面板數據進行綜合回歸，得到共同的變量系數，從而求出全國綜合經濟拐點，以便與第四部分時間序列回歸法得到的全國經濟拐點進行相互印證。仍使用本文第三部分模型(1)作為面板數據模型，采用固定效應最小二乘虛擬變量回歸方法，將31個省市自治區的面板數據輸入EViews軟件包進行運算，回歸結果摘要如表3。

表3 固定效應面板數據模型回歸結果摘要

從上表可以看出，模型擬合優度R2為0.96，表明擬合優良；所有系數的t統計量在5%的顯著性水平上表現為統計顯著；F統計量在1%的顯著性水平上表現為統計顯著，表明模型整體有效。從上表所列結果，可以得到如下綜合模型表達式(系數保留兩位小數)：

GDP=-5.81X3+197.41X2-406.21X+4385.13

(4)

對式(4)求二階導數，結果如下：

(5)

(三)變系數面板數據回歸——分省經濟增長模型

上文綜合面板數據回歸使用固定不變的變量系數，可以得到綜合回歸模型系數，但忽略了31個省市自治區各自的經濟發展特性，無法得到各自的經濟拐點。通過變系數面板數據回歸方法，可以求得各省市自治區各自的變量系數，從而反映它們各自的經濟發展特征，解出每個橫截面單位的經濟拐點。繼續使用上節面板數據集和模型(1)進行回歸運算。分省經濟增長模型之所以使用共同模型，是基于“區域趨同理論”假設，即“以正的速率創新的所有國家都將收斂到相同的增長率。[13]”采用變系數面板數據回歸方法，EViews軟件包輸出結果如表4。

從輸出結果看，模型擬合優度R2為0.999，說明擬合優度優良；除了貴州X3的系數外，其他30個省市自治區的所有系數在1%的顯著性水平上都表現為統計顯著，說明貴州省的GDP增長規律不適合使用共同一元三次函數模型，應單獨設立貴州GDP模型；F統計量在1%的顯著性水平上表現為統計顯著，表明模型整體有效。限于篇幅，上表僅選列了內蒙古、貴州和寧夏三個橫截面單位的系數估值(各省市自治區系數估值列于表5)及其對應的統計量，其中X的系數估值(-264.2924)為所有單位所共有，X3和X2的系數估值為各單位所特有。截距C的估值由兩部分組成，第一部分為所有單位所共有(3623.721)，第二部分(固定效應系數)為各單位所特有，兩部分之和即為該單位的完整截距估值。依據輸出參數，將各單位對應系數估值代入式(1)，即可得到各個單位獨立模型表達式，比如寧夏GDP模型可做如下表達(系數保留兩位小數)：

GDPNINGXIA=-10X3+552X2-2649X+(3623.72-2917.88)

(6)

對式(6)求二階導數，結果如下：

(7)

表4 變系數面板數據模型回歸結果摘要

表5 各省市自治區面板模型輸出結果、導數分析及拐點

續表5

定量定義 及表達式地區 原函數模型的變量系數估值(1)原函數二階導數變量系數(2)二階導數的解(3)對(3)取整數(4)GDP=C1X3+C2X2+C3X+C4(GDP)″=C5X+C6拐點C1C2C3C4C5C6XX江蘇-11.86471.07-264.299178.79-71.15942.1513.2413浙江-11.20344.34-264.297342.31-67.20688.6910.2510安徽-3.18152.43-264.293247.04-19.11304.8615.9515福建-3.45168.16-264.294163.53-20.71336.3216.2416江西-3.34133.20-264.292388.22-20.05266.3913.2813山東-15.15486.83-264.299056.58-90.90973.6510.7110河南-9.39300.55-264.295362.02-56.33601.1010.6710湖北-3.03181.12-264.293776.35-18.18362.2319.9319湖南-3.78190.45-264.293678.92-22.68380.9016.7916廣東-16.84538.26-264.2912242.46-101.051076.5110.6510廣西-3.36133.66-264.292404.79-20.19267.3113.2413海南-1.6654.88-264.29963.14-9.97109.7711.0111重慶-1.81106.42-264.292072.21-10.88212.8319.5619四川-4.81209.71-264.294145.78-28.86419.4114.5314貴州-0.4463.69-264.291615.04-2.62127.3848.6048云南-1.8697.13-264.292472.58-11.19194.2617.3717西藏-1.4140.15-264.29617.91-8.4780.309.489陜西-3.56146.77-264.292004.68-21.35293.5313.7513甘肅-2.5180.34-264.291462.39-15.08160.6910.6610青海-1.7150.75-264.29712.91-10.24101.519.929寧夏-1.9055.92-264.29705.84-11.39111.849.829新疆-2.3688.29-264.291845.72-14.15176.5812.4812

注：表中X代表年份時間變量，2001=1, 2002=2，…，2020=20，即定義域為[1,20].

從表5可以觀察到，經濟拐點最早出現的是山西省(2008年)，最晚出現的有湖北省和重慶市(2019年)。貴州省拐點超出了模型定義域，說明本文所設立的模型不適合描述貴州省經濟增長規律。

七、結論

(一)經濟增長模型

通過反復試算驗證建立的2001-2015年中國經濟增長模型為一元三次函數，表達式為GDP=C1X3+C2X2+C3X+C4+μ。根據區域趨同理論假設，此模型也可以代表中國30個省市自治區(不包括貴州省)同時期經濟增長規律。可以預見，時期不同，樣本容量不同，得到的增長模型表達式將會有所不同。如果按此方法對中國各個時期的GDP數據分段設立模型并解析，將會找到經濟波動周期的若干個拐點(時間界限)。本文所使用的經濟拐點研究方法，現有文獻中尚未見論及。根據這種研究方法的特點，可將其概括為“多項式擬合函數求導法”。

(二)模型表達式和數學解析結論

建立了能夠代表經濟增長規律的模型表達式，采集2001-2015年時間序列和面板兩套數據集，使用計量經濟學軟件分別進行時間序列、綜合面板和變系數面板三種回歸運算，計算出模型變量所對應的系數估值，得到兩個綜合模型表達式(時間序列模型和面板數據模型)和31個分省模型表達式。通過計算模型函數的二階導數，解出兩個全國綜合性經濟拐點和31個分省經濟拐點。兩個綜合模型將中國經濟拐點出現的時間均指向2011年，30個省市自治區拐點出現的區間在2008-2019年間，貴州省經濟拐點不在定義域內。通過二階導數表達式可以驗證，在這些拐點之前的年份，擬合函數的二階導數均大于零，說明經濟增速呈上升趨勢；而在拐點之后的年份，擬合函數的二階導數均小于零，意味著經濟增速呈現下降趨勢。

(三)模型的預測功能

本文建立的經濟增長模型較好的擬合了2001-2015年三個五年計劃期的GDP數據，擬合優度指標R2在96%以上，代表了GDP中短期增長規律，可以用于預測未來5年的GDP發展水平。

[注 釋]

② 二階導數變量系數C5=C1×6，C6=C2×2; 二階導數的解X=(-C6)/C5.

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[責任編輯：安 錦]

Study on the Issue of China’s Economic Inflection Point— An Empirical Analysis on the Basis of Econometrics and Calculus

GOU Xiao-ping

(Ningxia Fiscal Research Center,Ningxia Department of Finance,Yinchuan 750001,China)

Economic inflection point contains significant information of economic development, which is a turning point indicating economic growth changing from upward trend to downward trend. Numerous discussions concerning China’s economic inflection point have been holding among Chinese academic circle and news media, however, conclusions reached vary dramatically. This paper, applying Econometrics and Calculus as basic instruments, has studied China’s GDP pattern on national and provincial level respectively from year 2001 to 2015. An econometric model, which is a univariate cubic equation, tracking China’s economic development vs. time sequence, has been established after a number of trials and tests. According to criterion of convexity of a function, a second derivative is applied to the model; the mathematic analyses reveal the point of inflection of China’s economy between years 2001 to 2015. The result proves that year 2011 is the turning point on which China’s economic growth trending from upward to downward, and that 31 provinces’ economic inflection points vary. If environmental factors which have been influencing China’s economy remain unchanged, the downward trend will pass on to coming 13th “Five-Year-Plan” period.

GDP; economic inflection point; econometrics; calculus

2016-09-08

緱小平(1964-)，男，甘肅天水人，寧夏財政廳財政政策研究中心調研員，碩士，從事財政政策研究.

F064.1

A

2095-5863(2017)01-0008-10