基于數字積分算法的電子式電流互感器傳變特性

張杰愷，李輝，鄧吉利，賀勝，曹林，何蓓

（1.國網重慶江北供電公司，重慶401123；2.重慶大學輸配電裝備及系統安全與新技術國家重點實驗室，重慶400044；3.國網重慶市電力公司，重慶401123）

0 引 言

Rogowski線圈電子式電流互感器不含鐵心，消除了磁飽和、鐵磁諧振問題，具有頻率響應范圍寬，暫態響應范圍大，測量精度高等優點［1］。電子式電流互感器作為系統信息采集的主要設備，將逐漸取代傳統的電磁式互感器，在電力系統的電能計量、測量和繼電保護中發揮重要作用［2］。積分環節作為Rogowski線圈電子式電流互感器的關鍵環節之一，不同廠家制作上存在差異，使得相差比差不同，影響電能計量、測量和繼電保護的準確性。此外，積分環節往往導致“拖尾效應”，當電網中電流突變，富含直流分量或諧波分量時，不同積分算法的動態響應能力可能不同。因此全面比較研究不同積分算法下電子式互感器的傳變特性，對電子式互感器的優化設計和運行監測以及適應性保護的研究都具有重要現實意義。

目前，現有學者對電子式電流互感器的積分環節提出了較多不同算法，如模擬積分［3］、數字積分矩形算法［4］、梯形算法［5］、Simpson算法［6］、雙線性變換算法［7-8］和 Al-Alaoui［9］算法等。由于模擬器件受時漂和溫漂的影響較大，在實際中很少采用。文獻［5］設計了基于STM32F103梯形算法的數字積分器，但并沒有與其他積分算法進行比較與分析。文獻［6］研究了3種常用的矩形算法、梯形算法、Simpson算法的電子式互感器特性，但是文獻僅涉及了不同積分算法幅頻特性的比較，沒有深入分析含不同積分算法的互感器頻帶特性，對其動態響應能力的比較沒有涉及。文獻［7］研究了雙線性變換算法的幅頻特性和諧波特性，但是僅從精度上與其它積分算法進行了比較。文獻［10］設計了對Rogowski線圈電流互感器的精確度、飽和特性、頻率特性和暫態特性的測試方案，但是文中僅涉及互感器等效電路本身，沒有考慮數字積分環節對其傳變特性的影響。綜上所述，對現有不同積分算法的電子式電流互感器整體的頻帶特性還需要完善，對其動態響應能力的比較還有待深入研究。

本文以Rogowski線圈電子式電流互感器為例，對常用的矩形、梯形、Simpson和雙線性變換積分算法進行比較分析，全面評估不同積分算法可能對其傳變特性的影響。首先，分別獲取Rogowski線圈等效電路和積分算法的傳遞函數；其次，對各個環節幅頻和相頻特性進行分析，獲取并比較了含不同積分算法的電子式互感器整體的頻帶特性；最后，以某實際110 kV變電站用電子式電流互感器參數為研究對象進行分析，針對穩態和信號突變的動態情況，對含不同積分算法的電子式互感器傳變特性進行仿真。

1 電子式電流互感器的建模

所采用的Rogowski線圈電子式電流互感器的結構如圖1所示。被測電流經Rogowski線圈輸出微分后的信號，再通過A/D采樣和數字積分器輸出與被測電流成一定比例的信號，最后通過合并單元作進一步處理。

圖1 Rogowski線圈電子式電流互感器結構Fig.1 Structure of Rogowski coil electronic current transformers

1.1 Rogowski線圈的等效電路

Rogowski線圈的等效電路如圖2所示，其中L0、R0、C0分別為Rogowski線圈的自感、內阻和雜散電容，Rs為取樣電阻，M為Rogowski線圈的互感系數，e（t）為 Rogowski線圈的感應電勢，u0（t）為 Rogowski線圈的輸出電壓，I為被測電流。

圖2 Rogowski線圈的等效電路圖Fig.2 Equivalent circuit diagram of Rogowski coil

通過基本電路分析和拉氏變換可得到Rogowski線圈的傳遞函數：

用于電力系統的Rogowski線圈電子式電流互感器常工作于外積分方式，此時Rogowski線圈的輸出電壓與被測電流滿足微分關系，即：

由上式可知，為了還原被測電流，就需要對輸出電壓進行積分。

1.2 不同積分算法的傳遞函數

數字積分通過軟件算法來實現，且基本不受溫度和其他因素的影響，因而得到廣泛的應用。常用的數字積分算法主要有矩形算法、梯形算法和Simpson算法。根據它們的z傳遞函數，依次得到其遞推公式如下。

矩形算法：

梯形算法：

Simpson算法：

式中 T為采樣間隔，n表示采樣時刻，X（n）與Y（n）分別表示n時刻積分環節的輸入和輸出，下標r、t和s分別表示矩形算法、梯形算法和Simpson算法。

為了抑制低頻信號的干擾，最近文獻提出了雙線性變換積分算法［7-8］。其主要思想是：使s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，從而實現模擬域到數字域的映射。s與z的關系公式為：

利用雙線性變換，將公式（6）代入某模擬積分公式中：

并得到對應的遞推公式為：

式中 α=-TRf/（TR+2RRfC），β=-（TR-2RRfC）/（TR+2RRfC），R、C和Rf分別為對應模擬積分的電阻、電容和反饋電阻值。

為了全面分析比較不同積分算法的電子式電流互感器的傳變特性，本文采用式（3）～式（5）和式（8）的數字積分傳遞函數對Rogowski線圈電子式電流互感器進行頻帶特性以及不同信號源下傳變特性的研究。

2 含積分環節的Rogowski線圈互感器的頻帶特性

2.1 Rogowski線圈環節的頻帶特性

按照前述Rogowski線圈的等效電路和第3節的仿真參數可得Rogowski線圈環節頻帶特性，其Bode圖如圖3所示。

從相頻特性可以看出，Rogowski線圈的輸出電壓與被測電流約有90°的相位差，存在微分關系。

2.2 不同積分算法的頻帶特性

按照4種數字積分的傳遞函數和第3節的仿真參數，可得4種積分算法的頻帶特性，其Bode圖如圖4所示。

圖3 Rogowski線圈環節的Bode圖Fig.3 Bode diagram of Rogowski coil

圖4 4種數字積分算法的Bode圖Fig.4 Bode diagram of four kinds of digital integrators

從上述幅頻特性可以看出，這4種不同積分算法的對數幅頻曲線斜率均為-20 dB/dec，但是它們在低頻響應上存在差異，特別是雙線性變換積分算法由于是根據模擬積分變換而得，因此它具有與模擬積分相類似的頻帶特性，即在頻率f＜1 Hz區域對數幅頻曲線斜率為0 dB/dec，而常用的數字積分算法對數幅頻曲線斜率為-20 dB/dec。

另外，從上述相頻特性可以看出，這4種不同積分算法都達到了-90°的相位延遲，但是它們在低頻響應和高頻區域上仍然存在差異。在低頻區域，采用的雙線性變換積分算法的相位延遲幾乎為0°，表示在低頻區域，該算法喪失積分功能；在高頻區域，矩形算法的相位則隨著頻率的增大而增大。

因此，從上述Bode圖可以看出，不同數字積分在低頻和高頻區域存在一定的差異，其中雙線性變換積分算法反映在低頻方面的差異；而矩形算法反映在高頻區域。

2.3 含積分環節的電子式互感器整體頻帶特性

基于上述4種不同積分算法的傳遞函數，聯合Rogowski線圈環節傳遞函數，以及第3節的仿真參數可得含積分環節的電子式電流互感器整體傳遞函數的頻帶特性，其Bode圖如圖5所示。

圖5 含不同積分算法的電子式電流互感器整體Bode圖Fig.5 Bode diagram of electronic current transformer with different integrators

從圖5中可以看出，在頻率10 Hz～10 kHz的范圍內，4種積分算法的互感器幅頻特性和相頻特性表現為水平直線，可見在上述頻帶范圍內，不同積分算法時電子式電流互感器輸出信號的幅值和相位不受頻率變化的影響，即能夠準確地還原被測電流中的各種頻率分量，頻帶特性較好。然而，當頻率小于10 Hz時，相對其他積分算法，采用雙線性變換積分算法時的還原特性會更容易受到原始信號低頻分量的影響；而當頻率大于10 kHz時在高頻區域，上述4種積分算法的互感器輸出的相位則會隨著頻率的增大而增大，從而很大程度上影響其還原特性。

3 仿真分析

為了較全面的分析不同積分算法Rogowski線圈電子式電流互感器傳變特性及其影響，本文以實際110 kV數字化變電站中的Rogowski線圈電子式電流互感器為例，其仿真用的主要參數如下［11］：一次額定電流為I=600 A，M=3.369μH，L0=21.56 mH，R0=270Ω，C0=0.12 nF，Rs=10 kΩ，采樣時間 T=0.1 ms，其中當采用雙線性變換積分算法時取R=30 kΩ，C=0.1μF，Rf=1 MΩ。基于PLECS仿真平臺搭建了含上述4種不同數字積分算法的Rogowski線圈電子式電流互感器的模型，下面針對穩態信號、積分初值不確定，以及信號突變或富含直流、諧波信號不同情況，對不同積分算法的互感器傳變特性進行仿真。

3.1 工頻穩態下的傳變特性比較

現選擇初始相位角為0°，頻率為50 Hz，標幺值為1的額定電流 i（t）=sin（100πt）作為輸入信號，4種不同積分算法的互感器輸入-輸出波形如圖6所示。

圖6 穩態特性下互感器傳變特性比較Fig.6 Comparisons of the transducer transfer characteristics under the steady-state input condition

從結果可以看出，4種積分算法的互感器穩態響應良好，均能較好的還原被測波形。其比差和相差如表1所示，通過表中計算結果可知，4種積分算法的電流互感器在額定電流下都能滿足較高的準確度要求。

表1 額定電流下互感器的準確度Tab.1 Accuracy of transformers at rated current

3.2 積分初值不確定情況下的動態響應特性比較

由于電子式電流互感器還原被測電流需要對Rogowski線圈的輸出電壓進行積分處理，即：

因此需要確定數字積分的初值。為了驗證不同積分初值對上述積分算法的魯棒性，現假定輸入電流存在 90°初始相位，即 i（t）=sin（100πt+90°），而積分算法仍假設初值為0，圖7得到了4種積分算法下Rogowski線圈電子式電流互感器傳變特性。

圖7 積分初值不確定下互感器傳變特性比較Fig.7 Comparisons of the transducer transfer aracteristicswith the unknown initial integration points

從圖7可以看出，采用雙線性變換積分算法時互感器可以在較短時間內的還原輸入電流，具有積分初值不確定下魯棒性好的優點。而采用矩形算法、梯形算法和Simpson算法的互感器輸出則受積分初值不確定下影響大，輸出信號含有50%幅值的直流分量，導致其傳變特性輸出信號幅值下移50%，還原信號能力明顯降低。

3.3 輸入信號幅值突變下的動態響應特性比較

由于電網中的功率控制或負荷變化等各種因素下可使互感器的輸入電流突然增加或者降低，為了仿真分析電流幅值突變時對不同積分算法下互感器傳變特性的動態跟蹤能力比較，現假定輸入電流為i（t）=sin（100πt），在 t=0.044 s時刻電流幅值從 1 p.u.突變為1.5 p.u.，在t=0.104 s時刻電流幅值又從1.5 p.u.突變回1 p.u.，仿真比較4種不同積分算法時互感器動態響應情況，如圖8所示。

圖8 輸入信號幅值突變下互感器傳變特性比較Fig.8 Comparisons of the transducer transfer characteristicswhen the input amplitude is changed

從圖8中的仿真波形可以看出，4種不同積分算法的互感器在電流幅值突變情況下輸出波形與輸入波形吻合，能較好地還原輸入信號。但是從其動態響應能力可以看出（觀察放大波形），4種不同積分算法的互感器動態響應和幅值跟蹤方面仍存在一定的差異，與其余3中積分算法比較，Simpson算法的幅值突變的跟蹤響應能力較差。

3.4 輸入信號富含直流分量時動態響應特性比較

當線路中發生過電壓或故障時，由于電感或電容的存在，往往使得電流不能突變而導致線路中存在直流分量的情況。此外，由于Rogowski線圈輸出信號弱，在外界干擾下也可能導致積分環節的輸入信號中含有直流分量。為了比較分析富含直流分量時互感器傳變特性，下面對Rogowski線圈輸入信號和積分環節輸入信號富含直流分量時的情況進行仿真，如圖9所示。其中，圖9（a）為輸入電流i（t）=sin（100πt），在 t=0.1 s開始含有 1 p.u.衰減時間常數T=0.05 s的直流分量時傳感器傳變特性的仿真結果；圖9（b）為假定在t=0.1 s時積分環節輸入信號含10%幅值的穩定直流量干擾下傳感器傳變特性的仿真結果。

圖9 含不同直流分量時互感器傳變特性比較Fig.9 Comparisons of the transducer transfer characteristicswhen the input has different DC signals

從圖9（a）可以看出，當Rogowski線圈輸入含衰減直流分量時，不同積分算法基本上都能還原其輸入信號的變化，但相比之下，采用雙線性變換積分算法時還原能力相對較差。

從圖9（b）可以看出，當積分環節輸入含穩定直流分量干擾情況下，雙線性變換積分算法受直流量干擾的影響相對較小，還原特性好，而其余3種算法受直流量干擾的影響較大，導致其互感器輸出信號隨著時間推移不斷增大，呈現明顯發散的傳變特性。

3.5 輸入信號富含諧波分量時動態響應特性比較

為了模擬線路中存在諧波分量時互感器的動態性能，現假定線路中存在2～13次的諧波分量，即輸入電流為 i（t）=sin（100πt），并在 t=0.1 s開始輸入幅值分別為 1/2、1/3、1/4、1/5、1/6、1/7、1/8、1/9、1/10、1/11、1/12和1/13的2～13次諧波分量，得到圖10所示仿真波形。從圖中可以看到，采用4種積分算法的互感器均能很好的還原被測電流中的低次諧波分量。

圖10 含2-13次諧波分量時互感器傳變特性比較Fig.10 Comparisons of the transducer transfer characteristicswhen the input has 2-13 order harmonic components

另外，當線路中電感、電容存在導致諧振可能會存在高次諧波情況，為了分析不同積分算法下互感器對線路中高次諧波分量的影響，現假定輸入電流為 i（t）=sin（100πt），在 t=0.1 s開始輸入頻率為106Hz、幅值為0.1的高次諧波，采用不同積分算法時其互感器傳變特性如圖11所示。

從圖中可以看出，采用上述4種積分算法的互感器還原高次諧波信號的能力都較差，這與圖5中含不同積分算法時互感器整體輸出的頻帶特性分析結果一致，即當Rogowski線圈輸入信號含高次諧波分量時，上述不同積分算法并不能很好反映其輸出高次諧波特性。

圖11 含高次諧波分量時互感器傳變特性比較Fig.11 Comparisons of the transducer transfer characteristicswhen the input has a high-order harmonic component

4 結束語

以Rogowski線圈電子式電流互感器為例，通過建立傳遞函數和仿真模型，對常用的矩形、梯形、Simpson和雙線性變換積分算法下的互感器頻帶特性和傳變特性時域仿真進行了比較分析，得到以下結論：

（1）從頻帶特性上和輸入信號富含諧波分量時的仿真比較可以看出，在頻率10 Hz～10 kHz的范圍內，上述4種積分算法的電子式電流互感器幅值和相位不受頻率變化的影響，即能夠較準確地還原被測電流中的各種頻率分量，頻帶特性較好，但在低頻以及高頻率信號下還原能力較差；

（2）從穩態特性的比較分析可以看出，4種積分算法的互感器還原輸入電流的能力都較好，在額定電流下都能滿足較高的準確度要求。但在積分初值不確定的情況下，采用雙線性變換積分算法的互感器傳變特性較好，魯棒性較高；

（3）從不同輸入信號突變的動態跟蹤能力的比較分析可以看出，當輸入信號幅值突變時，不同積分算法的互感器能較好地還原特性，相比Simpson算法存在較大的誤差；當輸入信號含直流分量時，采用雙線性變換積分算法的互感器傳變特性較好，尤其是在積分環節輸入有直流分量情況。

從上述結論可以看出，采用不同積分算法時電子式電流互感器的頻帶特性和穩態傳變特性較好，并沒有顯著的差別；但在動態特性方面，尤其在積分初值不確定、輸入信號富含直流分量和高頻諧波分量時，能較好地適應其抗干擾能力和動態跟蹤能力方面的數字積分算法還有待進一步研究。