永磁同步電機模糊變階次分數階滑模控制研究*

崔磊，黃家才，施昕昕，趙濤

（南京工程學院 自動化學院，南京211167）

0 引 言

近年來，分數階控制及其應用研究得到國內外學者的廣泛重視。文獻［1］研究了分數階在橡膠壩流量控制中的應用；文獻［2］將分數階控制應用于制導彈箭系統中，提高了命中目標的準確度；文獻［3］針對直流雙閉環調速系統，研究并設計了分數階控制器，提高了系統性能。文獻［4］研究了直流調速系統模糊自整定分數階內模控制，及其對頻域性能的改善；文獻［5-6］分別將分數階控制應用在電液位置伺服系統和氣動位置伺服系統中；文獻［7-9］將分數階控制與神經網絡、模糊邏輯、粒子群算法相結合提出了相應的智能控制方法。文獻［10-12］研究了分數階滑模控制方法并應用于永磁同步電機控制系統中，提高了系統的魯棒性和動態性能。

目前大多分數階控制是基于常數階次的，即在控制過程中階次是恒定不變的。近年來，變階次分數階微積分的數值解以及變階次分數階控制引起了國內外學者的重視。文獻［13］提出了基于切比雪夫多項式的數值實現方法；文獻［14］提出了分數變階次微分方程的求解方法；文獻［15］討論了動態建模中變階次分數階微積分算子的選擇。

分數階滑模控制器由于其魯棒性強等優點而被廣泛研究［10－12］，但目前滑模控制中分數階次大多為常數。為了進一步提高分數階滑模控制的全局控制性能，本文將常數階次分數階滑模控制拓展到變階次（variable-orders）滑模控制，并以永磁同步電機速度控制為例，提出一種新的模糊變階次分數階滑模控制方法。文中首先基于PMSM的數學模型，設計了變階次分數階滑模速度控制器；然后通過分析不同階次時分數階滑模控制器的性能，獲得了最優階次的變化規律；最后構建了以速度誤差為輸入、階次為輸出的模糊推理規則，并設計了模糊變階次分數階滑模控制器。仿真結果證明所提方法在控制性能上優于常數階次分數階滑模控制方法。

1 常數階次分數階微積分

式中 下標a和t分別表示算子定義中的下限和上限；α是算子的階次；R（α）是α的實部。一般來說α∈R，實際上 α可以是任意復數，且當 R（α）＞0時，表示分數階微分運算；當 R（α）＜0時，表示分數階積分運算。

分數階微積分最常用的定義是Grunwald-Letnikov（GL）定義和 Riemann-Liouville（RL）定義以及 Caputo定義［16－19］。

2 變階次分數階微積分

變階次分數階微積分算子可以由常數階次分數階微積分算子直接拓展而來［20］。常用的變階次分數階微積分定義有如下幾種。

2.1 RL定義下的變階次分數階微積分算子

當階次 α時變即 α＝α（t）時，將 α（t）代入 RL定義的積分公式，則可以直接得到RL定義下的變階次分數階積分表達式如下［15，21］：

同理可得到RL定義下的變階次分數階微分表達式如下：式中0＜α（t）＜1。

2.2 GL定義下的變階次分數階微積分算子

在實際工程應用中，系統采樣時間為常數，由式（7）、式（8）給出的變階次分數階微積分算式計算復雜。為此，將α（t）代入GL定義，則可以得到GL定義下的時域變階次分數階微積分表達式如下［22］：

對于實時離散控制系統，假設其采樣步長為CT，且系統從初始時刻開始計算，即a＝0，則式（9）可進一步寫為：

3 PMSM數學模型

為了得到PMSM的數學模型，作如下假設：a）忽略渦流效應和磁滯損耗；b）忽略磁飽和效應和轉子的阻尼繞組；c）感應電動勢為正弦波。在以上的假設下，基于d-q坐標系的PMSM的數學模型為［23］：

式中ud，uq分別代表d軸和q軸電壓；id，iq分別代表軸d和q軸電流；Ld，Lq分別代表軸d和q軸電感；R為定子電阻；ω為電角速度；Ψf為永磁體的磁鏈。

PMSM電磁轉矩表示為：

式中 Te為電磁轉矩；為極對數；P對于表貼式PMSM，d軸電感等于 q軸電感，即Ld＝Lq，所以上述電磁轉矩公式又可以表示為：

相應的機械方程表示為：

式中J為電機轉動慣量；TL為負載轉矩。

4 變階次滑模控制器

4.1 系統控制框圖

根據永磁同步電機在d－q旋轉坐標系下的模型，構建永磁同步電機的速度矢量控制系統，控制框圖如圖1所示。采取SVPWM的調制方式，采用速度、電流雙閉環控制策略，其中電流環采樣頻率10 kHz，采用PI控制器；速度環采樣頻率1 kHz，采用變階次分數階滑模控制器（VOFSMC）。

圖1 PMSM變階次分數階滑模控制框圖Fig.1 VOFSMC control block diagram for PMSM

4.2 VOFSMC設計

定義

其中ωref為速度給定值；ω為速度反饋值。設計變階次分數階滑模面如下：

式中 α（t）∈［0.1，1.9］，c1和 c2為大于零的系數，Dα（t）為分數階微分算子。根據分數階微積分的性質［17］，對 Svo求導可得：

由式（15）和式（16），x2和 x2可表示為：

采用指數趨近率，令：

式中ε和k為正系數，sgn（Svo）為符號函數，表示為：

將式（22）代入式（21），可得：

由式（24）可得：

則有：

4.3 VOFSMC穩定性分析

選擇Lyapunov函數為：

5 PMSM常數階次分數階滑模控制仿真實驗

為了得到控制過程中最優階次的變化規律，首先通過仿真實驗分析不同階次與控制性能的關系，從而得到最優階次的變化規律，為變階次分數階滑模控制提供依據。實驗中永磁同步電機參數為：額定轉速為3 000 r/min，J＝0.425×10－3kg·m2，極對數 P＝4，Ψf＝0.081Wb，Rs＝0.985Ω，Ld＝Lq＝2.96 mH，B＝1.0×10－4N·m·s·rad－1，額定功率為PN＝600W，額定轉矩為TN＝2 N·m。實驗中，速度給定值為1 000 r/min，并記錄系統超調量σ、調節時間ts、穩態誤差e和施加負載時最大誤eL差四組數據。在t＝0.2 s時施加5 Nm負載，在t＝3 s時取消負載。當階次α分別取0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1.0、1.1、1.2、1.3時，可以獲得不同的速度響應曲線，如圖2和圖3所示（圖2和圖3給出了部分階次值時的速度響應曲線）。從速度響應曲線圖中可以得到不同階次時系統超調量σ、調節時間ts、穩態誤差e和施加負載時的最大誤差eL，如表1所示，其中當階次α＜0.5以及α＞1.4時系統誤差很大，因此表1中沒有記錄相應數據。

圖2 階次為0.6時的PMSM速度響應Fig.2 Velocity response of order 0.6 for PMSM

圖3 階次為0.7～1.3時的PMSM速度響應曲線Fig.3 Velocity response of order 0.7～1.3 for PMSM

當階次取值范圍α∈［0.6 1.3］時，對表1中的數據進行分析可以看出：（1）系統超調量σ隨著階次值的增大而逐漸減小；（2）系統調節時間ts隨著階次值的增大而逐漸增大；（3）當階次值較大或者較小時，系統穩態誤差e隨著階次值的增大或減小而逐漸增大，當階次在α＝1附近時穩態誤差最小；（4）當出現負載干擾時，系統負載誤差隨著階次值的減少而逐漸降低。

表1 常數階次時系統響應性能指標Tab.1 System response performance index of constant orders of simulation results

從上面分析可以看出，不同的分數階次值對系統的性能指標影響不同，同時也說明固定不變的階次值并不能使系統獲得最佳的動態響應性能。為了獲得綜合最優性能指標，可以在控制過程中采取變階次控制策略，這也是本文所提方法的出發點。

6 基于模糊邏輯推理的變階次分數階滑模控制

在系統運行過程中，以模糊數學為基礎進行模糊邏輯推理，動態獲得最優階次，可以改善系統的整體控制性能。采用系統的誤差e作為模糊輸入量，階次α（t）的取值作為模糊輸出量，隸屬度函數分別如圖4和圖5所示，模糊規則如表2所示。

圖4 輸入隸屬度函數Fig.4 Inputmembership functions

表2 模糊規則表Tab.2 Fuzzy rule table

圖5 輸出隸屬度函數Fig.5 Outputmembership functions

實驗結果如圖6～圖8所示。其中圖6為所提方法的速度響應曲線與固定階次響應曲線的比較，圖7為階次α（t）的變化曲線，圖8為速度誤差曲線，表3為本文所提方法的控制性能參數。由圖6所示，在系統啟動階段，階次α（t）取較大的值，目的在于獲得最小的超調量；在系統進入穩態后，階次取較小的值，因此對負載擾動具有最好的抑制能力。在負載擾動導致速度有較大偏差后，階次α（t）先變大，然后逐漸變小，以減少穩態誤差。從表3可以看出，所提控制方法的系統超調很小，且抗負載能力優于常數階次分數階滑模控制方法。上述分析表明，本文所提出的模糊變階次分數階滑模控制方法具有較好的魯棒性、快速性和準確性，具有較好的全局控制性能，這也證明了本方法的有效性。

圖6 本文方法的速度響應Fig.6 Velocity response of proposed method

圖7 階次的變化值Fig.7 Changes in the value of the order

圖8 速度誤差曲線Fig.8 Speed error curve

表3 本文所提方法的控制性能參數Tab.3 Control performance parameters of the proposed method

7 結束語

為了進一步提高分數階滑模控制的全局控制性能，本文提出一種新的模糊變階次分數階滑模控制方法。文中通過分析不同階次時分數階滑模控制器的性能，獲得了最優階次的變化規律，并據此建立了以速度誤差為輸入、階次為輸出的模糊推理規則，最終設計了模糊變階次分數階滑模控制器。仿真結果證明所提方法具有較好的魯棒性、快速性和準確性，在控制性能上優于常數階次分數階滑模控制方法，具有較好的全局性能指標。

本文所提出的模糊變階次的控制想法，同樣適用于其他分數階控制方法。