單相逆變器分?jǐn)?shù)階建模及分析*

馬冬冬，王志強(qiáng)，王進(jìn)君，李國(guó)鋒

（大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院，遼寧 大連116024）

0 引 言

逆變器作為一種重要的電力電子變換裝置，對(duì)其真實(shí)系統(tǒng)的精準(zhǔn)分析和設(shè)計(jì)具有重要意義［1］。逆變器理論分析的前提是對(duì)實(shí)際系統(tǒng)建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究已證明電感和電容呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)階特性［2－3］，實(shí)際的逆變器系統(tǒng)應(yīng)是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)。狀態(tài)空間平均法、離散時(shí)域法等對(duì)逆變器建模方法［4］均以整數(shù)階微積分理論為基礎(chǔ)，未充分考慮電感和電容的分?jǐn)?shù)階特性，因此所建立的整數(shù)階模型和實(shí)際系統(tǒng)存在一定誤差。分?jǐn)?shù)階建模則考慮到相關(guān)元件的分?jǐn)?shù)階特性，可反映實(shí)際系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階特性。分?jǐn)?shù)階微積分理論研究的不斷突破給電力電子建模分析帶來(lái)了新的途徑。文獻(xiàn)［5］建立了傳輸線(xiàn)的分?jǐn)?shù)階模型，認(rèn)為分?jǐn)?shù)階模型可更準(zhǔn)確的描述傳輸線(xiàn)的分布特性。文獻(xiàn)［6-7］分別建立了Buck電路和Boost電路的分?jǐn)?shù)階模型，并分析了CCM模式下整數(shù)階模型和分?jǐn)?shù)階模型特性分析上的差異。文獻(xiàn)［8］分析了分?jǐn)?shù)階并聯(lián)RLαCβ的基本特征和規(guī)律，指出分?jǐn)?shù)階并聯(lián)RLαCβ在設(shè)計(jì)上有更大自由度和柔性，具有很多新規(guī)律和新現(xiàn)象。文獻(xiàn)［9］利用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換分析了逆變器的故障診斷，說(shuō)明分?jǐn)?shù)階傅里葉變換對(duì)逆變器電路的特征提取更有效。文獻(xiàn)［10］針對(duì)Z源逆變器、電壓源逆變器和三相四橋臂逆變器在整數(shù)階傳遞函數(shù)模型的基礎(chǔ)上提出了分?jǐn)?shù)階狀態(tài)空間模型，將所有極點(diǎn)替換從而獲得穩(wěn)定的、高過(guò)阻尼的閉環(huán)系統(tǒng)。單相全橋電壓型逆變器在開(kāi)關(guān)機(jī)理上和Buck電路具有同構(gòu)性，在單個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)單相逆變器和Buck電路工作原理本質(zhì)相同，因此同樣可以利用分?jǐn)?shù)階方法對(duì)單相逆變器進(jìn)行分析。本文建立了單相全橋電壓型逆變器的分?jǐn)?shù)階模型，并比較整數(shù)階模型和分?jǐn)?shù)階模型分析上的差異。

1 單相逆變器分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型

由文獻(xiàn)［2］可知，分?jǐn)?shù)階電感和電容的數(shù)學(xué)模型為：

式中uL為電感電壓；iL為電感電流；uC為電容電壓，iC為電容電流；α和β分別為分?jǐn)?shù)階電感和分?jǐn)?shù)階電容的階數(shù)；并且滿(mǎn)足0＜α，β＜1。

因單相全橋電壓型逆變器輸出正負(fù)半周的對(duì)稱(chēng)性，本文只對(duì)電壓正半周期進(jìn)行分析，負(fù)半周分析方法相同只是輸出電壓波形極性相反。逆變器的調(diào)制方式有多種，其中單極性倍頻SPWM調(diào)制，逆變橋臂中點(diǎn)輸出電壓脈沖頻率為開(kāi)關(guān)頻率的2倍，因此具有良好的輸出波形諧波抑制能力，輸出波形脈動(dòng)頻率高而開(kāi)關(guān)管損耗并不增加等優(yōu)勢(shì)而被廣泛采用。單相逆變器的主電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1（a）所示，VT1～VT4為開(kāi)關(guān)管，D1～D4為開(kāi)關(guān)管反并聯(lián)二極管，L、C為濾波電感和電容，RL為濾波電感寄生電阻，Ro、Lo為負(fù)載電阻和電感。在逆變橋臂中點(diǎn)輸出電壓脈沖單個(gè)周期內(nèi)均有兩種工作模態(tài)如圖1（b）和圖1（c）所示，由于單極性倍頻SPWM調(diào)制的對(duì)稱(chēng)性，其他周期原理相同。取電感電流iL、電容電壓uC（uC＝uo）和負(fù)載電流io作為狀態(tài)變量，組成三維狀態(tài)向量x＝［iL，uo，io］T；udc作為輸入變量，組成一維輸入向量 u＝［udc］，電感電流iL和輸出電壓uo作為輸出變量，組成二維輸出向量y＝［iL，uo］T。根據(jù)基爾霍夫定律，對(duì)不同工作模態(tài)下的電路進(jìn)行列寫(xiě)狀態(tài)方程如公式（2）所示。

工作模態(tài)1：令占空比為d，單極性倍頻SPWM調(diào)制下在每一個(gè)開(kāi)關(guān)周期Ts的（0，dTs）時(shí)間段內(nèi)，VT1和VT4導(dǎo)通，列寫(xiě)狀態(tài)空間表達(dá)式如下：

式中：

圖1 單相逆變器主電路及兩種工作模態(tài)拓?fù)銯ig.1 Topology of single phase invertermain circuit and two workingmodes

工作模態(tài)2：在每一個(gè)開(kāi)關(guān)周期Ts的（dTs，Ts）時(shí)間段內(nèi)，電感電流經(jīng)過(guò)D2和VT4續(xù)流。列寫(xiě)狀態(tài)空間表達(dá)式如下：

式中：

2 單相逆變器分?jǐn)?shù)階小信號(hào)模型

2.1 狀態(tài)平均

為了簡(jiǎn)化模型，需要消除各變量的高頻開(kāi)關(guān)紋波分量，利用小紋波假設(shè)［11］，對(duì)變量在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)求平均值為：

式中Ts為開(kāi)關(guān)周期。

同理也可以定義平均輸入變量〈u〉Ts和平均輸出變量〈y〉Ts，求平均狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為：

式中γ為分?jǐn)?shù)階階數(shù)且0＜γ＜1。

整理可得：

2.2 求取靜態(tài)工作點(diǎn)

與DC/DC變換器不同，逆變器工作在靜態(tài)時(shí)輸出電壓按正弦規(guī)律變化。但是，當(dāng)輸出電壓達(dá)到峰值時(shí)最容易發(fā)生波形畸變，如果能控制好峰值點(diǎn)處的輸出電壓特性，那么整個(gè)頻段內(nèi)輸出電壓波形畸變都會(huì)很小［12］。因此，本文選交流輸出電壓峰值點(diǎn)作為靜態(tài)工作點(diǎn)。根據(jù)電感電流的伏秒平衡和電容電壓的安秒平衡原理有 dγ〈x〉Ts/d tγ＝0，代入式（6）得：

式中X是狀態(tài)變量x的直流分量；U是輸入變量u的直流分量；D為靜態(tài)工作點(diǎn)占空比。

求解式（7）可以得到狀態(tài)變量的靜態(tài)工作點(diǎn)的狀態(tài)空間表達(dá)式，即：

利用Matlab/Simulink搭建1 kW單相全橋電壓型逆變器帶阻感負(fù)載的仿真電路，其參數(shù)為：開(kāi)關(guān)頻率為10 kHz，直流母線(xiàn)電壓udc為400 V，輸出電壓uo為220 V/50 Hz。調(diào)制比是逆變器設(shè)計(jì)的一個(gè)重要參數(shù)，為逆變器輸出電壓基波幅值與直流母線(xiàn)電壓之比，調(diào)制比主要影響逆變器的直流電壓利用率和輸出電壓波形諧波［13］，綜合二者選擇一個(gè)最優(yōu)點(diǎn)，本設(shè)計(jì)選擇調(diào)制比為0.78。將逆變器的參數(shù)代入式（8）得到峰值點(diǎn)處值即靜態(tài)工作點(diǎn)各變量的值如表1所示。

表1 逆變器輸出電壓峰值點(diǎn)處的值Tab.1 Value of inverter in the output voltage peak point

2.3 分?jǐn)?shù)階小信號(hào)等效電路

將式（9）代入式（6）可得：

將 A1、A2、A、B1、B2、B代入式（11）可以得到單相逆變器的小信號(hào)狀態(tài)空間表達(dá)式為：

由式（12）可畫(huà)出單相逆變器小信號(hào)等效電路，如圖2所示。

圖2 逆變器小信號(hào)等效電路Fig.2 Inverter small-signal equivalent circuit

利用基于分?jǐn)?shù)階微積分的拉普拉斯變換方法［14］對(duì)式（12）進(jìn)行變換得到式（13），可求出占空比至輸出電壓的傳遞函數(shù)如式（14）所示。

電壓型逆變器，輸出電壓與負(fù)載無(wú)關(guān)，因此常選擇輸出電壓作為被控量，更易于控制。由占空比至輸出電壓的傳遞函數(shù)可以進(jìn)行逆變器開(kāi)環(huán)穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析。

2.4 Matlab數(shù)值分析

根據(jù)參考文獻(xiàn)［14］中對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的計(jì)算機(jī)求解方法及Oustaloup算法，利用Matlab軟件對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算法進(jìn)行編程來(lái)建立分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)類(lèi)fotf，從而構(gòu)建分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)。在＠fotf目錄下重載函數(shù)bode.m和step.m來(lái)畫(huà)出分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)的Bode圖和階躍響應(yīng)曲線(xiàn)。還可以利用Simulink中的模塊封裝技術(shù)構(gòu)建分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)模塊。

通過(guò)式（14）可以看出占空比至輸出電壓的分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)與分?jǐn)?shù)階電感和電容的階數(shù)有一定關(guān)系。因此分?jǐn)?shù)階電感和電容的階數(shù)無(wú)論是在頻域還是時(shí)域都會(huì)影響到系統(tǒng)的性能。

根據(jù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的Bode圖和階躍響應(yīng)定義的計(jì)算，令分?jǐn)?shù)階電容的階數(shù)β＝1.0時(shí)，取分?jǐn)?shù)階電感階數(shù)α為不同值時(shí)占空比至輸出電壓的分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)的Bode圖和階躍響應(yīng)如圖3所示，令分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)α＝1.0，取分?jǐn)?shù)階電容的階數(shù)β為不同值時(shí)占空比至輸出電壓的分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)的Bode圖和階躍響應(yīng)如圖4所示。

圖3 β＝1時(shí)不同α值時(shí)Gud（s）的Bode圖和階躍響應(yīng)Fig.3 Bode plots and step responses of Gud（s）for differentαandβ＝1

表2 β＝1時(shí)不同α值時(shí)逆變器的性能指標(biāo)Tab.2 Properties index of inverter for differentαandβ＝1

圖4 α＝1時(shí)不同β值時(shí)Gud（s）的Bode圖和階躍響應(yīng)Fig.4 Bode plots and step responses of Gud（s）for differentβandα＝1

從圖3和圖4中可以得出的逆變器性能指標(biāo)參數(shù)如表2和表3所示，隨著α和β值的增加逆變器相角裕度不斷減小，α，β≤0.4時(shí)相角裕度大于45°系統(tǒng)穩(wěn)定性較好，而α，β＞0.4時(shí)相角裕度小于45°系統(tǒng)穩(wěn)定性較差；隨著α和β值的增加階躍響應(yīng)的上升時(shí)間、峰值時(shí)間、調(diào)整時(shí)間和超調(diào)量都在不斷的增大，動(dòng)態(tài)特性變差。因此，可以得出利用不同階數(shù)的分?jǐn)?shù)階電感和電容建立的逆變器分?jǐn)?shù)階小信號(hào)模型分析得出系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能存在很大差異，當(dāng)α＝1和β＝1時(shí)建立的是整數(shù)階模型，這種差異會(huì)隨著分?jǐn)?shù)階階數(shù)偏離1的距離增大而增大。由于實(shí)際的電感和電容的分?jǐn)?shù)階階數(shù)均小于1，通過(guò)建立的分?jǐn)?shù)階模型來(lái)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能更準(zhǔn)確地設(shè)計(jì)補(bǔ)償器。

表3 α＝1時(shí)不同β值時(shí)逆變器的性能指標(biāo)Tab.3 Properties index of inverter for differentβandα＝1

3 電路模型仿真

3.1 分?jǐn)?shù)階電感和電容的等效電路模型

在復(fù)頻域內(nèi)將分?jǐn)?shù)階微積分用Oustaloup算法近似，然后對(duì)高階整數(shù)階傳遞函數(shù)進(jìn)行部分分式展開(kāi)，最后將各個(gè)部分進(jìn)行串聯(lián)或并聯(lián)，即可構(gòu)造出分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)等效電路。對(duì)于分?jǐn)?shù)階電感和電容利用相同的方法得到的電抗稱(chēng)為分抗鏈［15］，如圖5所示為0.8階的分?jǐn)?shù)階電感和電容的等效模型。

圖5 分抗鏈Fig.5 Chain fractance

3.2 分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階電路模型仿真比較

根據(jù)單相逆變器分?jǐn)?shù)階小信號(hào)模型，基于Matlab/Simulink及框圖分?jǐn)?shù)階仿真分析方法［16］，建立單相逆變器開(kāi)環(huán)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型如圖6所示，其中2/V M為PWM調(diào)制器模型。

利用分抗鏈原理建立分?jǐn)?shù)階電感和電容的電路等效模型，從而搭建單相逆變器分?jǐn)?shù)階電路模型如圖7所示，其中的無(wú)源濾波LC分別采用分?jǐn)?shù)階電感和分?jǐn)?shù)階電容的分抗鏈模型，階數(shù)均取為0.8階。

圖6 單相逆變器開(kāi)環(huán)數(shù)學(xué)模型框圖Fig.6 Open-loop mathematic model block diagram of single phase inverter

圖7 單相逆變器分?jǐn)?shù)階電路模型Fig.7 Fractional circuitmodel of single phase inverter

對(duì)輸出電壓的理論計(jì)算和電路模型仿真結(jié)果對(duì)比如圖8所示可知：整數(shù)階模型與理論計(jì)算輸出電壓偏差最大可達(dá)9.38%，而分?jǐn)?shù)階模型與理論計(jì)算輸出電壓偏差最大為1.56%，和整數(shù)階模型相比分?jǐn)?shù)階模型與實(shí)際系統(tǒng)的偏差要小很多，因此利用分?jǐn)?shù)階模型能更好的接近實(shí)際系統(tǒng)。

圖8 逆變器輸出電壓波形Fig.8 Output voltage waveforms of inverter

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出的分?jǐn)?shù)階微積分理論應(yīng)用到了單相逆變器建模中，得出以下結(jié)論：

（1）由單相逆變器分?jǐn)?shù)階小信號(hào)模型得到的占空比至輸出電壓的傳遞函數(shù)中含有分?jǐn)?shù)階電感和分?jǐn)?shù)階電容。因此，通過(guò)理論計(jì)算所得傳遞函數(shù)的Bode圖和階躍響應(yīng)分析以及利用Matlab/Simulink軟件電路模型仿真結(jié)果表明單相逆變器的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能和分?jǐn)?shù)階電感和電容的階數(shù)有關(guān)；

（2）利用逆變器分?jǐn)?shù)階小信號(hào)模型和整數(shù)階小信號(hào)模型來(lái)分析逆變器性能會(huì)得到不同的結(jié)果，分?jǐn)?shù)階模型更接近實(shí)際系統(tǒng)。