非正弦情況下主要無功功率測(cè)量方法的對(duì)比研究

余恒潔，王昕，黃煒，游若莎

（1.云南電網(wǎng)有限責(zé)任公司，昆明650011；2.云南電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科學(xué)研究院，昆明650021）

0 引 言

無功對(duì)供電系統(tǒng)和用電設(shè)備的正常運(yùn)行起到重要作用，但是無功在電網(wǎng)中流動(dòng)會(huì)引起供電電壓變化和線路損耗［1］。因此，電力用戶從電網(wǎng)吸收以及電網(wǎng)傳送的無功電量都需要進(jìn)行計(jì)量考核。同時(shí)，電力電子技術(shù)的快速發(fā)展，使得大量非線性負(fù)載如PWM調(diào)速裝置、大功率整流器等被應(yīng)用于各種電子裝置和工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)中，這些負(fù)載造成電網(wǎng)的電能質(zhì)量日趨惡化，對(duì)無功計(jì)量提出了新的技術(shù)要求［2－4，12］。

目前，電能計(jì)量領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的無功功率計(jì)算方法有：基波移相90°、微分法、FFT法和Hilbert濾波器法。基波移相90°和微分法易于實(shí)現(xiàn)，正弦信號(hào)情況下無功測(cè)量精度高，但是非正弦信號(hào)的情況時(shí)性能明顯變差，嚴(yán)重時(shí)會(huì)得到錯(cuò)誤的無功功率［5，7］。FFT法通過分析非正弦信號(hào)的各次諧波分量進(jìn)而得到各次諧波無功，最終求得總無功，但是該方法在非同步采樣時(shí)存在較大誤差，需要額外增加加窗處理才能實(shí)現(xiàn)高精度的無功功率測(cè)量［1，4］。Hilbert濾波器法在寬頻率范圍內(nèi)，能對(duì)電壓或電流信號(hào)的各次頻率分量進(jìn)行準(zhǔn)確的90°移相，從而實(shí)現(xiàn)非正弦情況下高精度的無功功率測(cè)量，而且相對(duì)FFT法而言更易于實(shí)現(xiàn)［10］。

基于以上分析，本文首先剖析了無功功率在正弦和非正弦情況下的定義，并對(duì)基波移相90°、微分法、FFT法和Hilbert濾波器法等無功功率算法進(jìn)行了分析和研究，尤其深入分析了各種方法在非正弦情況下的理論精度，由此比較了各種算法的性能優(yōu)劣。我們同時(shí)對(duì)各種算法的軟件實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行了研究，并對(duì)相關(guān)算法進(jìn)行資源優(yōu)化使其適用于嵌入式實(shí)時(shí)平臺(tái)，進(jìn)一步提高各算法的性能。最后以基于DSP的高性能三相表為測(cè)試平臺(tái)，對(duì)各無功算法進(jìn)行了準(zhǔn)確度對(duì)比測(cè)試。本文的研究成果可對(duì)各種無功算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)以及在電能計(jì)量領(lǐng)域的應(yīng)用具有重要的指導(dǎo)意義。

1 無功功率的定義

正弦系統(tǒng)中無功功率的定義Q＝UI sinθ已經(jīng)為大家所公認(rèn)，但在非正弦情況下，無功功率如何定義、如何計(jì)算，至今尚未完全解決。目前關(guān)于非正弦條件下無功功率的定義，主要有三種學(xué)派：一種是Budeanu定義采用頻域分析法，其定義已寫入ANSI/IEEE標(biāo)準(zhǔn)1459-2000［6］；另一種是 Fryze定義采用時(shí)域分析法，被國(guó)際電工協(xié)會(huì)IEC推薦使用；還有一種是Akagi提出的瞬時(shí)無功理論。

以上三種無功功率理論都存在各自的局限性：Budeanu無功理論只是在某種程度上與傳統(tǒng)功率理論相同，用于實(shí)際的無功計(jì)量、補(bǔ)償時(shí)還存在缺陷；Fryze對(duì)無功補(bǔ)償在理論上有很大的指導(dǎo)作用，在實(shí)際測(cè)量中也很容易得到應(yīng)用，但是其物理意義不明確；Akagi瞬時(shí)無功理論在有源無功和諧波補(bǔ)償中發(fā)揮了重要作用，但在理論上還存在局限性，與傳統(tǒng)理論的關(guān)系不夠明確。

雖然Budeanu定義無功功率方法頗具爭(zhēng)議，但這種定義方法在一定程度上仍被大眾所接受，目前絕大多數(shù)儀表廠商都是依據(jù)該定義進(jìn)行無功計(jì)量。

Budeanu定義無功功率為各次諧波分量無功的總和，且首次引入失真（畸變）功率的概念，如下所示：

式中P為有功功率；QB為無功功率，為各次諧波無功的總和；DB稱為失真（畸變）功率，并沒有明確的物理意義，是由非同次諧波之間耦合形成的無功功率；Uh，Ih分別為h次諧波電壓、電流的有效值；θh為h次諧波電壓與電流間的相位差。

2 無功功率的計(jì)算方法及理論精度分析

2.1 基波移相90°

基波移相90°的原理是將電壓或電流信號(hào)移相90°，然后計(jì)算瞬時(shí)無功功率在一個(gè)周期內(nèi)或整數(shù)個(gè)周期內(nèi)的平均值得到無功功率，用表達(dá)式描述如下：

由上式可知，正弦條件下該方法計(jì)算的無功功率在理論上不存在任何誤差。

將上式寫成離散形式：

式中N為每周期采樣點(diǎn)數(shù)；k為周期數(shù)；u（n），i（n）分別為電壓和電流的第n個(gè)采樣點(diǎn)值。

由以上離散表達(dá)式不難看出，當(dāng)N/4不是整數(shù)時(shí)計(jì)算誤差會(huì)較大。

在非正弦條件下，即電壓和電流波形嚴(yán)重畸變時(shí)，該算法的計(jì)算結(jié)果如下：

可以看出，在非正弦條件下，利用90°移相法得到的無功功率不等于Budeanu定義的無功功率，而是奇次諧波無功功率和偶次諧波有功功率的合成，因而計(jì)算誤差較大。

2.2 微分法

微分法的原理是將電壓或電流信號(hào)進(jìn)行微分，然后計(jì)算瞬時(shí)無功功率在一個(gè)周期內(nèi)或整數(shù)個(gè)周期內(nèi)的平均值得到無功功率，用公式描述如下：

由上式可知，正弦條件下該方法計(jì)算的無功功率在理論上不存在任何誤差。

在非正弦條件下，即電壓和電流波形嚴(yán)重畸變時(shí)，該算法的計(jì)算結(jié)果如下：

可以看出，在非正弦條件下，微分方法得到的無功功率不等于Budeanu定義的無功功率，而是各次諧波無功功率的加權(quán)求和，其中權(quán)值為諧波次數(shù)。顯然，諧波次數(shù)越高，利用這種方法計(jì)算無功的誤差將成比例增大。

2.3 Hilbert濾波器法

Hilbert濾波器是幅頻特性為1的全通濾波器，而且信號(hào)通過Hilbert濾波器后，在負(fù)頻率（－π，0）作 ＋90度相移，在正頻率（0，π）作 －90°相移。

根據(jù)Hilbert濾波器的性質(zhì)可知，非正弦信號(hào)u（t）＝∑Uhsin（hωt＋ah）經(jīng) Hilbert濾波移相變?yōu)椋╰）＝∑Uhsin（hωt＋ah）＋π/2經(jīng) Hilbert，此時(shí)瞬時(shí)功率的整數(shù)周期內(nèi)的平均值計(jì)算如下：

容易看出，在非正弦情況下，利用Hilbert濾波器將各次諧波電壓分別移相90°后求得的周期平均功率就是Budeanu定義的無功功率，也就是各次諧波無功的代數(shù)總和。該計(jì)算結(jié)果同樣適用于正弦信號(hào)，只是此時(shí)只有基波無功功率。

2.4 FFT法

FFT法的原理是通過分析非正弦電壓、電流信號(hào)的各次諧波分量進(jìn)而得到各次諧波無功功率，最終求得總無功，該方法計(jì)算的無功功率就是Budeanu所定義的無功功率，但在算法實(shí)現(xiàn)上相對(duì)其他方法復(fù)雜很多，且只適用于周期性穩(wěn)態(tài)信號(hào)。

對(duì)電壓、電流信號(hào)采樣能夠得到長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x（n），其離散傅立葉變換（DFT）為：

式中 X（k）為第k次諧波分量。

根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)的離散化公式和DFT的關(guān)系［8］，得到第k次諧波分量的幅值A(chǔ)k和相位φk如下：

因此，可以通過離散傅立葉變換求得電壓、電流信號(hào)的各次諧波幅值和相位，并計(jì)算出各次諧波無功功率，從而通過Budeanu定義計(jì)算總無功功率。DFT算法的計(jì)算量大，但DFT算法的蝶形因子具有對(duì)稱性，可以據(jù)此對(duì)算法進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)行快速傅立葉變換計(jì)算（FFT），可以滿足實(shí)際系統(tǒng)的要求。

2.5 各種無功計(jì)算方法的優(yōu)劣比較

以上各種無功功率計(jì)算方法優(yōu)劣比較如表1所示。同時(shí)，通過以上分析和討論，可以得到：在非正弦情況下，除了利用Hilbert濾波器法和FFT法可準(zhǔn)確計(jì)算得到無功功率，其它方法如基波移相90°和微分法的計(jì)算誤差均較大。

表1 各種無功功率計(jì)算方法優(yōu)劣比較Tab.1 Comparison of advantages and disadvantages among different reactive power calculation methods

3 主要算法設(shè)計(jì)及無功測(cè)量實(shí)現(xiàn)

3.1 基波移相90°的改進(jìn)及無功測(cè)量實(shí)現(xiàn)

針對(duì)采用基波移相90°計(jì)算無功時(shí)存在的計(jì)算精度受非同步采樣和頻率變化影響的問題，提出了一種改進(jìn)方法：當(dāng)1/4周期不是采樣間隔的整數(shù)倍時(shí)（即N/4不為整數(shù)），對(duì)經(jīng)過整數(shù)個(gè)采樣點(diǎn)平移的電壓通過FIR數(shù)字濾波器進(jìn)行移相補(bǔ)償，使電壓準(zhǔn)確移相90°，從而實(shí)現(xiàn)無功功率的準(zhǔn)確計(jì)算。

基于改進(jìn)基波移相90°法，前文描述的基波移相90°法的計(jì)算公式則相應(yīng)地修改為：式中N是一個(gè)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)；［N/4］表示1/4周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)，即對(duì)N/4取整；β為FIR濾波器的延遲增益；A－1為增益補(bǔ)償系數(shù)。相關(guān)參數(shù)的計(jì)算請(qǐng)參考文獻(xiàn)［9］。

3.2 微分法離散化設(shè)計(jì)及無功測(cè)量實(shí)現(xiàn)

由于電壓信號(hào)比較穩(wěn)定，應(yīng)用微分移相法時(shí)通常是對(duì)電壓信號(hào)進(jìn)行微分。微分?jǐn)?shù)字化采用中值微分的方法，如下所示：

式中ω為基波角頻率；Δt為采樣間隔時(shí)間。

3.3 Hilbert濾波器設(shè)計(jì)及無功測(cè)量實(shí)現(xiàn)

Hilbert濾波器采用IIR型濾波器實(shí)現(xiàn)。IIR型Hilbert濾波通常采用兩組數(shù)字移相濾波器F1和F2分別對(duì)電壓、電流信號(hào)進(jìn)行移相濾波。IIR型濾波器可以根據(jù)不同的原理來進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以通過全通濾波器來設(shè)計(jì)IIR型Hilbert濾波器，也可以由半帶濾波器設(shè)計(jì)IIR型Hilbert濾波器。經(jīng)過分析，我們發(fā)現(xiàn)將兩者結(jié)合起來即由橢圓半帶濾波器設(shè)計(jì)IIR型Hilbert濾波器，能夠在寬頻率范圍內(nèi)獲得更高的幅值精度和相移精度，而且具有階次較低、計(jì)算量和數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量較小的優(yōu)點(diǎn)［11］。

根據(jù)無功計(jì)量精度和硬件平臺(tái)要求，設(shè)置Hilbert濾波器歸一化數(shù)字頻率范圍［0.006，0.994］，F(xiàn)s＝12 800 Hz，則Hilbert濾波器的有效帶寬為38 Hz～6 362 Hz，在相移誤差不大于0.006°的條件下，設(shè)計(jì)的移相濾波器F1、F2的傳遞函數(shù)如下所示：

根據(jù)設(shè)計(jì)的 HF1（z）和 HF2（z），得到 Hilbert濾波器的幅相特性如圖1所示。

圖1 Hilbert濾波器幅相特性Fig.1 Amplitude phase characteristics of Hilbert filter

從圖1中的（a）和（b）可以看出，在頻率范圍38 Hz～6 372 Hz內(nèi)，濾波器增益接近0 dB，相位保持在－90.006°～89.994°范圍內(nèi)，即設(shè)計(jì)的IIR數(shù)字濾波器滿足無功計(jì)量精度需要。同時(shí)所設(shè)計(jì)的Hilbert濾波器采用定點(diǎn)的二階級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，提升了運(yùn)算效率，可以滿足實(shí)際系統(tǒng)的要求。

3.4 FFT算法改進(jìn)及無功測(cè)量實(shí)現(xiàn)

FFT方法要求波形的周期采樣點(diǎn)數(shù)N滿足N＝2n，才能保證較高的分析精度，因此實(shí)現(xiàn)同步整周期采樣是保證無功測(cè)量精度的前提。但實(shí)際使用中，電壓電流采樣一般采用固定采樣率模式，因此電網(wǎng)頻率的波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致非同步采樣的結(jié)果，此時(shí)通常采用加窗方法來解決頻譜泄露問題，但這無疑大大增加了數(shù)據(jù)運(yùn)算量，不適用于電表平臺(tái)。針對(duì)與此，本文采用了一種基于插值重采樣同步化的改進(jìn)FFT算法。該方法的思想是在截取M個(gè)非同步采樣點(diǎn)的基礎(chǔ)上構(gòu)造整周期的N個(gè)理想同步采樣點(diǎn)，即通過在時(shí)域上采用插值方法得到近似理想同步采樣點(diǎn)序列。

插值算法最常用的是線性插值法。假設(shè)理想的周期采樣點(diǎn)數(shù)為N，實(shí)際的周期采樣點(diǎn)數(shù)為M，實(shí)際的采樣點(diǎn)值為S，插值后的采樣點(diǎn)值為S′，線性插值的流程為：

（1）求取M，設(shè)定N；

（2）求取每個(gè)點(diǎn)需要平移的量Δ＝（M-N）/N；

（3）判斷（n-1）·Δ的大小，整數(shù)部分為 p，小數(shù)部分為q；

通過循環(huán)執(zhí)行上述步驟，直至n＋p＋1≥M，可以得到全新的插值序列S′，該序列的長(zhǎng)度為N。然后對(duì)序列S′進(jìn)行FFT分析從而計(jì)算無功功率。

基于插值重采樣的改進(jìn)FFT算法，即使在非同步采樣下也可得到完整周期并且適用于FFT的數(shù)據(jù)序列，這有效抑制了頻譜泄露和柵欄效應(yīng)的誤差，并且運(yùn)算效率高。

4 對(duì)比測(cè)試與結(jié)果分析

將上述設(shè)計(jì)的幾種無功算法統(tǒng)一在某公司關(guān)口表平臺(tái)（電表規(guī)格型號(hào)為：DTSD341－MA2，3×57.7/100 V，3×1.5（6）A，20 000 imp/kWh）上實(shí)現(xiàn)，從而對(duì)各種算法進(jìn)行準(zhǔn)確度對(duì)比測(cè)試，評(píng)判各種算法的優(yōu)劣。為更好的比較各種算法的性能，尤其是在非正弦信號(hào)情況下的計(jì)算精度，對(duì)比測(cè)試包括無功基本誤差試驗(yàn)，諧波影響量試驗(yàn)。

無功基本誤差測(cè)試結(jié)果分別如圖2所示。

諧波影響量測(cè)試采用某公司的ST9500-C高精度諧波測(cè)試校驗(yàn)裝置進(jìn)行，試驗(yàn)條件如下：

（1）基波電流為 0.5 Imax，基波電壓為 Un，基波功率因數(shù)為1.0；

圖2 各種無功算法基本誤差測(cè)試結(jié)果Fig.2 Basic error test results of different kinds of reactive power algorithms

（2）試驗(yàn)是在基波的基礎(chǔ)上疊加單次諧波（諧波電流、電壓為同次諧波），其中各次諧波電壓含量為10%，諧波電流含量為40%，諧波功率因數(shù)為1.0；

（3）諧波的次數(shù)為2～50。

諧波影響量測(cè)試結(jié)果如圖3所示。

圖3 各種無功算法諧波影響量測(cè)試結(jié)果Fig.3 Harmonic effect test results of different kinds of reactive power algorithms

從以上測(cè)試結(jié)果可知，在正弦信號(hào)情況下，基波移相90°、微分法、FFT法和Hilbert濾波器法的誤差數(shù)據(jù)均在0.05%以內(nèi)，即接近于0，這與各算法的理論分析結(jié)果完全一致。

針對(duì)非正弦信號(hào)下的測(cè)試結(jié)果，分析如下：

（1）FFT法的誤差數(shù)據(jù)相對(duì)其他方法最優(yōu)，在疊加1～39次諧波時(shí)誤差小于0.06%。這是因?yàn)樵摲椒ㄔ谶M(jìn)行諧波分析時(shí)對(duì)硬件采樣電路引起的基波和諧波相位差均做了補(bǔ)償處理，從而諧波性能最優(yōu)；

（2）基波移相90°法在疊加4n＋1次諧波時(shí)的誤差數(shù)據(jù)較好，而在其他情況數(shù)據(jù)極差。這與該算法的理論分析結(jié)果一致，由算法本身性質(zhì)導(dǎo)致；

（3）Hilbert算法的諧波性能優(yōu)越，能夠準(zhǔn)確計(jì)算諧波無功，然而Hilbert法的誤差隨諧波次數(shù)遞增而逐漸增大，最大達(dá)0.4%。這是因?yàn)樵谠摲椒ㄖ嗅槍?duì)硬件采樣電路引起的相位差所設(shè)計(jì)的相位補(bǔ)償器影響了整個(gè)移相系統(tǒng)的幅相特性，從而導(dǎo)致Hilbert濾波器在諧波情況下無法發(fā)揮出優(yōu)越的性能；

（4）微分法在疊加諧波情況下的誤差數(shù)據(jù)讓人無法接受，5次諧波試驗(yàn)時(shí)誤差就已經(jīng)達(dá)到20%，且誤差隨諧波次數(shù)增大成比例增大。這與該算法的理論分析結(jié)果一致，由算法本身性質(zhì)造成。

5 結(jié)束語

論文首先依據(jù)無功功率的定義，對(duì)基波移相90度，微分法，F(xiàn)FT法和Hilbert濾波器法等無功功率計(jì)算方法開展了研究，分析結(jié)果表明在非正弦情況下只有FFT法和Hilbert算法能夠得到Budeanu定義的經(jīng)典無功功率。在此基礎(chǔ)上，我們同時(shí)對(duì)各種算法的軟件實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行了研究，并對(duì)相關(guān)算法進(jìn)行資源優(yōu)化使其適用于嵌入式實(shí)時(shí)平臺(tái)，進(jìn)一步提高了各算法的性能。最后我們以高性能三相表為測(cè)試平臺(tái)，對(duì)各無功算法進(jìn)行了準(zhǔn)確度對(duì)比測(cè)試。

測(cè)試結(jié)果和數(shù)據(jù)分析表明：在正弦情況下，無功計(jì)算宜采用微分法或基波移相90度；在非正弦情況下，可采用FFT法或Hilbert濾波器法計(jì)算無功。本文的研究成果對(duì)各種無功算法在優(yōu)化設(shè)計(jì)和電能計(jì)量領(lǐng)域的應(yīng)用具有重要的指導(dǎo)意義。