SH波作用下地表軟覆蓋層中圓形夾雜的動應力分析＊

趙元博，齊 輝，丁曉浩，趙棟棟

SH波作用下地表軟覆蓋層中圓形夾雜的動應力分析＊

趙元博，齊 輝，丁曉浩，趙棟棟

（哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱150001）

利用復變函數法和波函數展開法，對地表軟覆蓋層中淺埋圓形夾雜在穩態SH波作用下的動應力集中問題進行研究并給出了解析解。根據SH波散射時的衰減特性，采用了大圓弧假定的方法，將半空間覆蓋層直線邊界問題轉化為曲面邊界問題。通過算例分析了SH波垂直入射時，不同入射波波數和圓夾雜與半空間的波數比對圓形夾雜周邊動應力集中因子的分布和動應力集中因子最大值變化的影響。算例表明，圓形夾雜越“軟”，其波數越大，夾雜周邊的動應力集中因子越大；入射波波數約0.35時，夾雜周邊的最大動應力集中因子達到最大值。

SH波散射；地表軟覆蓋層；圓形夾雜；大圓弧假設；動應力集中因子

針對結構的抗震研究發展了大量的分析方法，其中，波動法不單獨研究分析荷載，而是將介質與結構作為一個整體加以分析研究，求解波動場與應力場［1］。20世紀70年代，Y.H.Pao等［2］利用波函數展開法研究了不同形狀物體在穩態和瞬態應力荷載下的動應力集中問題。D.Liu等［3］將復變函數法拓展到動態應力集中問題，H.Qi等［4－5］將其擴展到半空間界面、雙向介質內圓孔、夾雜等方面。V.W.Lee等［6］采用大圓弧假定方法將直邊界問題轉為曲邊界問題，給出了半空間中單個圓孔對P波、SV波散射的解析解。D.N.Chen等［7－8］進一步研究了地表覆蓋層對半空間內單、多個圓孔、圓夾雜受平面SH波作用時的散射和動應力集中因子的影響。本文中利用大圓弧法對地表軟覆蓋層中單個圓形夾雜在SH波作用下的動應力集中問題進行研究。

1 理論分析

1.1 問題模型

地表軟覆蓋層中含有單個圓夾雜的問題模型如圖1（a）所示。半空間為區域Ⅰ，覆蓋層為區域Ⅱ，厚度為h，上、下邊界分別為TU和TD。夾雜為區域Ⅲ，邊界為TC，半徑為r。各區域的密度、剪切模量、SH 波波數分別為ρ1，G1，k1，ρ2，G2，k2，ρ3，G3，k3，下標代表區域范圍。采用大圓弧法，將TU和TD用半徑極大的同心圓弧近似，以圓雜圓心為原點，平行于的直線為X2軸建立直角坐標系X2O2Y2，以大圓弧圓心為原點O1建立直角坐標系X1O1Y1，使Y1軸和Y2軸在同一直線上。O2距TU的距離為h1，距TD的距離為h2。SH波在區域Ⅰ中以入射角α0入射（X1軸逆時針旋轉至入射方向）。引入復變函數zS＝XS＋i YS，其中S＝1，2，建立復平面（z1，z－1）和（z2，z－

2），直角坐標系X1O1Y1和X2O2Y2分別對應復平面（z1，z－1）和（z2，z－

2）。各量的變換關系如下：

半空間中含有單個圓形孔洞的問題模型如圖1（b）所示。當圖1（a）中區域Ⅰ和區域Ⅱ的各參數均相同時，半空間和覆蓋層融為一體，覆蓋層下邊界TD不存在。當圖1（a）中區域Ⅲ的參數ρ3和G3均為0時，圓形夾雜變為圓形孔洞，此時圖1（a）所示問題退化為圖1（b）所示問題。

1.2 控制方程

本文中研究SH波的散射問題。在直角坐標系X－Y平面內，SH 波產生的位移場表示為W（X，Y，t），該位移場與Z 軸無關，且垂直于X－Y 平面。對于穩態問題，位移場W（X，Y，t）需要滿足以下Helmholtz方程：

式中：位移場W（X，Y，t）與時間t的依賴關系為exp（－iωt），由于本文中研究穩態問題，因此在以下的分析中略去exp（－iωt）。k＝ω／c；其中ω 為位移場W（X，Y，t）的圓頻率；c為波速，c2＝G／ρ。

在復平面極坐標系下，應力應變關系表示為：

1.3 入射波場、散射波場及相應應力

在（z1，z－1）平面內，入射波W（Ⅰ），在區域Ⅰ和區域Ⅱ內產生的散射波場 W（S1）、W（S2），在區域Ⅱ內產生的散射波場W（S5）及相應的應力可以表示為：

在（z2，）平面內，散射波波場 W（S2），在區域Ⅱ中產生的散射波場W（S3）和在區域Ⅲ內產生的駐波波場W（Z4），散射波波場W（S5）可分別表示為：

在（z1，）平面內，散射波W（S3）的位移場和相應應力可以表示為：

式中：?＝z1－i（RD＋h2），⊕＝z2＋i（RD＋h2），下標（zP，z－P），（P＝1，2）表示所在復平面，上標（Ⅰ）表示入射波，上標（S1）表示編號為1的散射波，上標（Z4）表示編號為4的駐波。An、Bn、Cn、Dn、En表示波函數的系數。

1.4 連接條件

1.5 動應力集中因子（Kd）

2 算例分析

定義參數：G＊＝G2／G1，G＃＝G3／G1，ρ＊＝ρ2／ρ1，ρ＃＝ρ3／ρ1，k＊＝k2／k1，k＃＝k3／k1，其關系為：k＊k＊＝ρ＊／G＊，k＃k＃＝ρ＃／G＃。介質越“硬”則波速越快，因而波數k就越小，所以當k＊＞1時表明區域Ⅰ比區域Ⅱ“硬”，同理，k＃＞1表明區域Ⅰ比區域Ⅲ“硬”。在本算例中，假定所有k＊＞1，即覆蓋層比半空間要“軟”，且假定所有ρ＊＝0.8，r＝1，ρ1＝1，G1＝1，h1＝h2＝1.5r。

圖2中給出了當α0＝90°，G＊＝k＊＝k＃＝ρ＊＝1，G＃＝ρ＃＝0，k1＝0.1，h1＝1.5r、12r時圓雜周邊的Kd。此時，問題退化為圖1（b）中所示的半空間單個圓孔對SH波的散射問題。計算表明，當RD≥120r時，圖2中Kd的分布狀況與文獻［9］中的結果高度一致，這說明了大圓弧法的合理性。

圖3描述了當夾雜“最軟”時，SH波在不同頻段入射時夾雜邊Kd的分布情況。G＊＝0.355 6，G＃分別為0.273 4、0.242 2、0.216 0、0.193 9。圖3（a）中k1＝0.5，入射波在低頻段，Kd為橢圓形，隨著k＃的增加而不斷向兩側變大，在90°和270°時變化則極為弱小。當k＃以0.1為增量時，Kd，max以增量不斷減小的方式增大，但所在角度沒有變化，約在190°和350°兩處。圖3（b）中k1＝1，SH波在中頻段入射，Kd為蝴蝶形，圖3（c）中k1＝1.5，SH 波在高頻段入射，Kd為花瓣形。與圖3（a）類似，Kd也隨k＃的增大不斷向外擴展，而Kd，max的增量不斷減小，但所在位置與圖3（a）不同，在圖3（b）中約為20°和160°，在圖3（c）中約為210°和330°。整體上，Kd，max隨入射頻率的增大而減小。

圖4描述了當夾雜“軟硬居中”時，圓雜邊Kd的分布情況。此時G＊＝0.355 6，G＃分別為0.743 8、0.625 0、0.532 5、0.459 2。圖4（a）描述了當k1＝0.5時夾雜周邊Kd的分布，與圖3（a）類似，其形狀也為橢圓形，并隨k＃的增加而不斷向兩側變大，但整體上要小于圖3（a）中Kd，圖3（a）中k＃＝1.6時Kd，max略大于1.3，而圖4（a）中k＃＝1.4時 Kd，max≈1。另外與圖3（a）不同的是，當k＃以0.1為增量增加時，Kd，max是以相同的增量（約0.1）不斷增大，但其所在位置（角度）沒有變化，都是在約190°和350°兩處。與圖3（b）和圖3（c）類似，圖4（b）和圖4（c）分別描述了SH 波在中頻（k1＝1）和高頻（k1＝1.5）入射時的情況。與圖3（a）和圖4（a）的關系類似，圖4（b）～（c）中Kd整體上要比圖3（b）～（c）中Kd小，而且Kd，max也隨著k＃的增大而以相同的增量增加。整體而言，從圖4（a）到圖4（c），Kd，max的增量是在不斷減小的。

圖5 描述了當夾雜“最硬”時，夾雜周邊 Kd的分布。G＊＝0.355 6，G＃分別為3.055 6、2.244 9、1.718 8、1.358 0。與前面的結果類似，當k1分別為0.5、1.0、1.5時，Kd分別為橢圓形、蝴蝶型和花瓣形，且Kd，max所在角度基本沒有變化，但整體上縮小了，當k＃同樣以0.1為增量不斷增加時，Kd，max卻是以增量不斷變大的方式增大的，這與圖3～4的情況都不一樣。

圖6描述了當夾雜“最軟”、“居中”、“最硬”時，圓雜的Kd，max隨k＃的變化情況。與圖3～圖5相同，都只改變波數k3，都是k1越大則Kd，max越小。整體上，夾雜越“硬”，Kd，max越“小”。當夾雜“最軟”時，Kd，max的增加呈現隨k＃的增大而先大后小的變化，圖形為上凸的，當夾雜“軟硬居中”時，Kd，max的變化則可認為隨著k＃的增大而呈現線性變化，圖形可認為是直線，當夾雜“最硬”時，Kd，max隨著k＃的增大而呈現先小后大的變化，圖形是下凸的。這些與圖3～5的結果是相對應的。

圖7描述了夾雜周邊Kd，max隨k1的變化情況。無論夾雜硬度如何，只要確定k3，Kd，max先隨著k1的增加而增大，當k1≈0.35時達到最大，而后隨著k1的增加而減小，當k1≈0.75時達到極小值，此后隨著k1的增加而震蕩下降。整體上，夾雜越“軟”則Kd，max越大。

3 結 論

根據大圓弧法對地表軟覆蓋層中單個圓雜在SH波作用下的動應力集中問題進行了研究，將覆蓋層邊界用大圓弧來近似，構造散射波場，得到解析解。算例表明：當SH波垂直入射，覆蓋層“軟”，圓雜位于覆蓋層正中時：

（1）圓雜越“軟”，Kd越“大”，圓雜越“硬”，Kd越小；

（2）當k1≈0.35時，Kd，max達到最大值，當k1≈0.75時出現極小值，此后隨k1的增加呈震蕩下降的變化。

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Dynamic analysis for shallow buried circular inclusion impacted by SH－wave in a softlayered half－space

Zhao Yuanbo，Qi Hui，Ding Xiaohao，Zhao Dongdong
（College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，Heilongjiang，China）

In this study，we investigated the dynamic stress concentration factor of single circular inclusion shallow buried in surface softlayered half space impacted by steady SH－wave using the complex variable function method and the wave function expansion method，and obtained the analytical solution.Based on the attenuation characteristic of SH－Wave scattering and using the large－arc assumption method，we converted the problem of the layer half space linear boundary to that of the circle boundary and，by an example，analyzed the influence of different incident wave numbers and the ratios of the circular inclusion to the half space on the distribution of the dynamic stress concentration factor and on the change of the maximum dynamic stress concentration when the incident SH－wave is vertical.Numerical examples show that the“softer”the circular inclusion，the greater its wave number of circular inclusions，and the larger the dynamic stress concentration factor around the circular inclusion；the maximum dynamic stress concentration factor around circular inclusion reaches its maximum value when the number of the incident SH－wave approaches 0.35.

SH－wave scattering；soft surface layer；circular inclusion；large－arc assumption method；dynamic stress concentration factor

O343.4 國標學科代碼：13015

A

10.11883／1001－1455（2017）06－0982－08

2016－04－12；

2016－07－12

黑龍江省自然科學基金項目（A201404）

趙元博（1982— ），男，博士研究生，助理工程師，ZYB201507＠126.com。

（責任編輯 曾月蓉）