淺談立體幾何中直線與平面

李雪鵬

淺談立體幾何中直線與平面

李雪鵬

大理州巍山縣第二中學 云南大理 672400

在“直線與平面”內容中，為了研究直線與直線之間，直線與平面之間，平面與平面之間的各種關系，引進了一些基本概念和數學方法，例如“異面直線”，“直線與平面所成的角”、“二面角”等概念，反證法、同一法等方法，對于這類特定的概念理解不準確，對這些方法的掌握存在某些缺陷，解題時就容易出錯。

下面通過幾例，對產生錯誤的解法進行分析，研究糾正錯誤的方法，從中吸取有益的教訓，以加深對知識的理解，提高解題能力。

例1證明；斜線上任意一點在平面上的射影，一定在斜線的射影上。

錯解如圖,對于平面 ，直線AB是垂線，垂足B是點A的射影；直線AC是斜線，C是斜足，直線BC是斜線AC的射影。

在AC上任取一點P，過P作P0⊥ 交BC于0，

∴點P在平面 上的射影在BC上。

點擊 這樣的證明似乎有點道理，事實上這些點也是在這條斜線在該平面的射影上，但仔細分析，這些點在這條斜線在該平面的射影上的理論根據不足，過點P作P0⊥ 交BC于0，恰恰是本題要證明的，是一種易犯的邏輯錯誤，許多同學在解題中往往錯而不覺，對此應引起警覺。

正解 AC是平面 的斜線，點C是斜足，AB⊥ ，點B是垂足，則BC是AC在平面 上的射影。

在AC上任取一點P，過點P作PO⊥ ,垂足為0。

∴AB⊥ ，∴P0∥AB，

∵點P在A、B、C三點確定的平面上，因此，P0 平面ABC，

∴0∈BC。

例2已知 、是兩個不重合的平面，①若平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ，則平面 ∥平面 ；②若平面 內不共線的三個點到平面 的距離相等，則平面 ∥平面；

③a、b是平面 內的兩條直線，且a∥ ，b∥ ，則平面 ∥平面；

以上正確命題的個數為( )。

(A)O個 (B)1個 (C)2個 (D)3個

錯解 三個命題都正確，選(D)。

點擊 產生錯誤的原因是對問題不能全面的分析，缺乏把握空間元素位置關系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般統蓋“特殊”。如判斷①、②是真命題，只是考慮了圖1與圖2的情況，而忽略了圖3與圖4的情況。

而判斷③是真命題，則是對平面與平面平行的判定定理：“如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行”沒有真正理解，用任意兩條直線代替了定理中的特指條件“兩條相交直線”。

正解 因為三個命題都不正確，所以選(A)。

例3在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求它的對角線BD1與平面A1B1CD所成的角。

錯解 連結A1C交BD1于E，則∠D1EA為BD1與平面A1B1CD所成角，設正方體的邊長為a，

在△A1ED1中，由余弦定理得

點擊 以上證法的錯誤在于，∠A1ED1不是直線BD1與平面A1B1CD所成的角。平面的一條斜線與它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角，本題中D1A1不垂直于平面 A1B1CD，所以 A1E不是 D1E在平面A1B1CD內的射影。正是對“直線在平面內的射影”這個概念理解不清，導致了以上錯誤，所以在解此類題時，一定要先找出斜足，再作出垂足，垂足與斜足連線才得射影。

正解 ∵A1B1⊥平面A1ADD1,又 A1B1平面A1B1CD

∴平面A1ADD1⊥平面A1B1CD。

連結AD1交A1D于O,則D1O⊥A1D,

∴D1O⊥平面A1B1CD。

連A1C交BD1于E，連OE，則OE為D1E在平面A1B1CD內的射影,

∴∠D1EO為BD1與平面A1B1CD所成的角。

∴ ∠D1E0=aretan，即BD1與平面A1B1CD所成的角為arctan。