理解數學是進行有效教學設計的前提

江蘇省無錫市立人高級中學 (214161)

鄭寶生 趙 勤

理解數學是進行有效教學設計的前提

江蘇省無錫市立人高級中學 (214161)

鄭寶生 趙 勤

要上好一堂課，一旦教師確定后，關鍵在于教學設計．我們很贊賞章建躍先生的“三個理解”，其中，“理解數學”是進行有效教學設計的前提．作為教師，不僅要理解所教內容“是什么”，還要弄清知識的整個體系及知識的前后聯系，挖掘數學知識所蘊含的思想方法及解題過程中所反映的思維策略．

1.理解數學體系，讓學生體會到數學的研究方法

我們的課堂教學既要教學生學習每個知識，又要讓學生理解每一章的知識結構，并體會到數學自身的知識體系以及研究方法，而對數學知識體系和研究方法的認知，影響學生對數學整體的認知和從數學角度看待問題的數學意識，正如普通高中《數學課程標準》所談到的：“通過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式，使學生體會知識之間的有機聯系，感受數學的整體性，進一步理解數學的本質，提高解決問題的能力”．所以說數學教師要有較高的數學素養，較高的理解水平，能夠從整個數學知識體系的角度理解數學，抓住主要知識，厘清從屬關系，形成邏輯結構．

在高中數學的《平面向量》一章中，最重要的是平面向量基本定理，換句話說就是平面向量的線性表示．如果要追問，平面向量線性表示的基礎是平面向量的加減和數乘運算，而加減數乘運算的基礎是平面向量的大小和方向；如果看其變化，平面向量線性表示的特殊情況是平面向量的坐標表示，它使得平面向量的內容更加豐富，平面向量數量積的應用更加廣泛．厘清其中的關系，做到心中有數，才能設計好課堂教學．例如，蘇教版普通高中數學必修4《向量的概念與表示》的教材中，先給出向量的定義，討論了零向量和單位向量后，給出思考：平面直角坐標系內，起點在原點的單位向量，它們終點的軌跡是什么圖形？然后定義平行向量，再定義相等向量，這樣，從知識的角度講，割裂了知識間的內在聯系，從學生心理的角度看，缺少具體的事例和必要的情境，平行向量出現的有點突然，不夠清晰，不夠自然．站在數學知識體系的高度來看待向量，抓住向量的大小和方向這兩根主要線索，引導學生從定義、表示、大小特殊和方向特殊這樣的順序展開，整合設計流程如下：(1)向量的定義：大小、方向(兩個要素)；(2)向量的表示(略)；(3)大小特殊的向量——零向量、單位向量；(4)方向特殊的向量——同向向量、反向向量；(5)同向向量的特殊情況——相等向量；(6)反向向量的特殊情況——相反向量．最后讓學生討論“怎樣的向量才能稱之為平行向量？”，如此設計，一方面沒有打破數學知識體系的邏輯性和整體性，另一方面，條理更清晰，學生容易參與進來，不僅有益于“平行向量”概念的理解，而且能讓學生體會到數學自身的邏輯體系，能更好的理解數學，把握數學的本質．

2.理解數學概念，讓學生感受到數學的形成過程

3.理解數學解題，讓學生領悟解題背后的策略與思想

=tan(α+β)．

在這里并不想論述一題多解，也不想闡釋各種變式，是想說明，對于教師應該如何理解這三種不同的解題過程，解法一是先化簡后求值，解法二是代入消元，解法三是變角法．我們要追問三種不同解法的背后有著怎樣的支撐，它們體現了一個共同的解題策略：“減少未知量”，體現了求簡的思想．在數學解題中，所有的消元法都是在減少未知量，所有的換元法都能使運算簡單，我們所說的化簡就是化繁為簡的過程，都反映了人們求“簡“的一種精神追求．其次，三種不同解法有著怎樣的考量．解法一對已知條件的化簡，化簡不到位無法與目標對接，化簡過頭又會離目標太遠，火候很難掌控．如果沒有一點經驗和思想的支撐，是很難找到解題思路的．我們抓住目標中只有一個角β，所以不顧一切地用tanα表示tanβ，從而消去角β，最后面對的都是tanα，當然能證出來．這樣的策略顯得比較生硬，給人以顧頭不顧尾的感覺，原因是對目標簡單、膚淺的感知，導致問題解決過程中運算量增加．解法二也是這樣，只是專注于消去m，使得運算量未曾減少．而解法三感知到的是問題的整體，其策略是把條件與結論有機地結合在一起，結論中有角(α+β)、α，按照減少未知角的思路，把已知條件中的角β和2α+β都化為(α+β)、α，所以解起來很輕松．最后，從學生的角度看待三種解法，他們更愿意接受解法一和解法二，因為代入消元法是初中學生熟知的方法，而他們的計算能力卻達不到要求，導致證明困難．然而有了解法一的消去角β，才容易聯想到解法二的消去m，通過解法二中sin(2α+β)±sinβ的化簡過程，可以輕松地整理出解法三的思路．“變角”即角的變換，是本章的主體內容——三角變換的重要變換，需要學生理解并掌握．因此，數學解題后，教師需要引導學生思考，不同解法有怎樣的差異？產生這些差異的原因是什么？它們之間有著怎樣的聯系？不同解法的背后有怎樣的思想支撐？才能讓我們的解題更有效果．

作為一個數學教師必須要理解好數學，理解數學的知識體系和研究方法；理解數學的每一個概念及其本質屬性；理解數學解題的每一個步驟和蘊含的思想方法．當然，還要理解學生，讓我們的課堂教學更有針對性；要理解教學，讓我們的課堂教學更符合規律，更有實效；理解人生，讓我們的課堂教學更有哲理，內涵豐富更有教育意義．

[1]中華人民共和國教育部制訂．普通高中數學課程標準(實驗)[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[2]王華民，鄭寶生，阮必勝．教師“貼地而行”，學生“翩翩起舞”[J]．數學通報，2014．5.

[3]梁莉娟，鄭寶生，王華民．遵循三個理解的問題探究，彰顯學生的主體地位[J]．中國數學教育(高中版)2017．1-2.