習題教學中的變式與追問

江蘇省盱眙中學 (211700)

陳海波 朱志棟

習題教學中的變式與追問

江蘇省盱眙中學 (211700)

陳海波 朱志棟

1.問題的提出

數學教學是數學活動的教學,是教師與學生雙邊活動的教學.習題教學是數學教學的重要組成部分,但解題教學往往會出現通過大量的習題練習形成解題技巧.這樣做既不利于學生形成良好的數學素養,更加重了學生的負擔.章建躍博士說過”數學教學中訓練解題能力很重要,因為它關乎學生能否進入好的大學,有一個好的前程.但這只是學生的眼前利益；邏輯思維,抽象的思想,演繹的方法,數與形空間結合而形成的宇宙萬物的觀念,歐幾里得的公理體系及其體現的以簡馭繁觀念,這才是數學大道,它們與學生的長期利益更加密切相關.”可見數學習題教學中,我們不能只關注學生的經驗獲得,更應該關注學生能力的提升,智慧的獲得.怎樣讓我們的解題教學更有效果?怎樣在解題教學中更關注學生核心素養的培養?這始終應該是我們一線教師研究的課題.本文中,筆者根據平時的教學實踐,借助一道調研試題,從變式與追問的角度談一談習題教學的粗淺看法.

數學變式教學是通過變更數學對象的某些特征來暴露數學本質的教學,也就是說,數學教學中,教師通過呈現不同形式且相關聯的數學對象來說明數學概念,定理,命題的本質屬性,讓學生通過比較與分析去理解數學對象的本質.變式教學對提高課堂教學效率有著十分重要的作用.通過提供變式教學情境,讓學生逐步學會變式的方法,樹立探究創新意識.利用變式進行數學教學,可以使學生更快理解,鞏固和運用所學知識培養學生以不變應萬變,從萬變中找規律的數學分析能力,訓練他們思維的深刻性,靈活性,創造性,進一步提高學生的思維品質,提高客觀,系統,靈活地觀察問題,分析問題,解決問題的能力.

問題教學是根據教學目標,精心設計一系列有效問題,把教學內容以問題形式呈現,以問題為導向,引導學生進行思考和研究,從而使學生獲得知識和能力的教學方式.問題化教學的中心任務是設計一個和一系列有效的問題把教學過程組織成為學生思考和研究問題的過程.問題教學的基本特征是：學生的學習以問題為導向和起點,學生的學習過程是研究問題和解決問題,學生的交往是以問題為中心.在教學過程中,學生帶著問題去思考和研究,新的知識在問題的解決過程中得到理解和掌握,學生的各種能力在問題解決中得到提高,學生的數學素養在解決問題中得到升華.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)求kABkAC的值;

(3)試問直線BC是否過定點,若過定點,求出定點坐標;若不過定點,請說明理由.

點評:本題是我校高三年級第二學期期初調研考試的一道解析幾何題目,得分率非常低,全班得滿分的只有10人,筆者分析了其中原因,發現大部分同學都是因為第2問沒有做出來而影響了這道題的得分,對于第2問,因為我們在平時的教學中對地位一致的量和一元二次方程的韋達定理運用的不多,從而造成第2問思維受阻.為此,在講評的時候沒有直接講評這道題目的具體解法,而是進行了如下的教學設計.

2.教學過程設計

問題1 過點P(-2,0)作⊙C1:(x-5)2+(y-3)2=1的兩條切線,切點分別為A,B,你有哪些方法求直線AB的方程.

設計意圖:由于是高三復習課,學生已經掌握直線和圓的方程的相關知識和方法.設計具有導向性的問題,能更快地培養學生分析,歸納,總結此類問題基礎知識、基本方法,基本數學思想.提升學生解決問題的能力,同時也在課堂的起始就提高學生學習的積極性和主動性,為課堂活動的順利展開做好鋪墊.

追問1 過點P(-2,0)作⊙C1:(x-5)2+(y-3)2=1的兩條斜率分別為k1,k2的切線l1,l2,切點分別為A,B,且l1,l2與直線x=6的交點分別為C,D,題設中哪幾對量的地位是一致的?

設計意圖:借助于上面的問題作為腳手架,層層深入設置追問,能培養學生邏輯思維能力,創造力,判斷力,還能全面提升學生的數學素養,讓學生真正成為課堂的主人,提高學生思維的深刻性,凸顯思維教學的層次.

追問2 上述問題中每對地位一致的量所滿足的代數式子分別是什么?怎樣求解出這些量?

追問3 點P(-2,0)還可以變成哪些數學對象中的定點去研究?

設計意圖:把問題一般化,引導學生運用歸納和類比的方法把一個具體點變為直線、圓、橢圓、拋物線、函數圖像、數列等數學對象中的點去研究,不僅能夠提高學生思維的深刻性,更能提高學生對數學本質的理解,培養和提高學生思維的廣寬性.

點評：在學生回答第一個問題后,教師通過追問,把教學對象的研究從特殊類比到特殊,從特殊推廣到一般,并且這種推廣是學生主動構建的,這不僅使得學生對這個版塊的知識有了一個整體性的認識,更能揭示出這類問題的本質,從而能夠在高層次上提升思維能力.

追問5 點P(x0,y0)還可以變成哪些數學對象中的動點去研究?

變式3 (2014廣東理改編)已知橢圓2x2+y2=1,任意兩條互相垂直的切線交點為P,求P的軌跡方程.

3.結束語

在本教學設計中,針對一道調研考試錯誤率高的試題,沒有去針對題目就題講題,而是通過設計一堂涉及考查知識點的變式與追問的課,在本教學設計實施中,學生的知識得到強化,能力得到提升,智慧得到增長,具有一定的借鑒意義.

變式與追問教學中,以問題為導向,以變式為媒介,促進學生主動思考與探究.有利于激發學生學習的積極性,培養學生學習的興趣.特別是提出一些能夠體現數學本質,富有挑戰性的變式和數學問題,可以極大地激發學生探究熱情；有利于改變學生不良的學習習慣,在變式與追問的教學平臺上,以問題為驅動,以變式為平臺,以學生活動為中心,構建開放的學習環境.通過變式與問題的研究,給每一個學生提供選擇、實踐、思考、研究,參與活動的機會,讓學生獨立思考,自主探究,合作交流,將被動的接受式學習方式變為主動構建的學習方式；有利于學生對知識的理解.從數學發展過程看,數學的發展史是一部不斷提出問題和解決問題的歷史.數學知識和數學思想方法都是在數學題目和數學問題過程中形成和發展起來的.變式與追問教學方法使學生通過思考和研究,探尋數學知識的形成與發展的過程,探索數學本質,使學生對知識的理解更加深刻；有利于有效地培養學生的思維能力.思維從解題和解決問題開始,沒有問題就沒有數學思維,學生的思維活動是在解題和解決問題過程中展開的.在變式與追問教學中,學生帶著問題去思考研究,學生的分析問題、解決問題、提出問題的能力能顯著提高,能夠有效地培養學生的思維能力.

[1]李志敏.問題化數學教學中問題的設計[J].數學教學參考2016(5):18-20.

[2]牙遠謀.高三數學復習課多元變式教學研究與實踐[D].廣西師范大學2010:20-60.

[3]吳 彤.問題導思促進學生知識內化[J].數學通報2017(1):22-25.