2017全國卷Ⅲ數學理科12題的研究*

四川內江師范學院數學與信息科學學院 (641100)

余小芬 劉成龍

2017全國卷Ⅲ數學理科12題的研究*

四川內江師范學院數學與信息科學學院 (641100)

余小芬 劉成龍

多數高考試題立意深刻、背景公平、設計新穎，具有典型性、示范性、引領性，是教學研究的良好素材．研究高考試題有利于領會命題者意圖、弄清試題背景、回歸試題本質、拓寬試題解法、加強試題變式.2017年全國卷Ⅲ數學理科12題(下文簡稱12題)具有背景公平、內涵豐富等特點.文中將從試題命題背景、解法、本質和變式四個視角進行研究，以饗讀者.

1.似曾相識燕歸來——命題背景

命題背景指命題時選取素材中含有的知識、模型、問題、文化、思想和方法等. 研究試題命題背景，有利于把握試題的本質、拓寬試題的解法、加強試題的變式．常見的試題命題背景有教材背景、現實背景、高考背景、競賽背景、高等數學背景、數學文化背景等等.一讀完12題，給我們的感覺是熟悉、似曾相識.確實12題含有往年高考試題的影子，分析如下：

圖1

圖2

2.條條大路通羅馬——解法研究

解法研究是研究高考的最基本形式.解法研究的視角有：一題多解、多題一解、一題多用、錯解分析等等.其中，一題多解指從不同視角對同一問題進行分析進而得到多種解答方法.在一題多解的過程中，需要關注解題思路的形成、解題方法的提煉、解法的邏輯表達和解題策略的優化.通過對解法間共性與差異的分析，讓學生在認識問題本質的同時，培養學生思維的靈活性和策略的多樣性.盡管12題與前文3個例題高度相似，但12題本身具有一定創新性，于是解答方法上要從簡單模仿走向自發領悟、自覺分析，進而實現創新.

視角一 向量的數量積

圖3

圖4

圖5

(3)(線性規劃)令

視角二 解析法

圖6

3.水落石出——本質揭示

百度百科對本質的解釋是“事物本身所固有的根本屬性.”華羅庚教授指出“復雜的問題要善于‘退’，足夠地‘退’，退到最原始而不失重要性的地方”．“原始而不失重要性的地方”就是我們常常說的本質．揭示事物的本質可以使人們脫離具體的形象進行創新活動.在研究12題的命題背景和解法后，很自然問到該試題的本質是什么呢?

圖7

利用等系數和線定理，可以得到12題的優美解：

圖8

事實上，運用等和線定理12題可以心算，這也正好體現了“多想少算”的命題思路.

4.萬變不離其宗——試題變式

變式是指一種使直觀材料或者事例不斷變換所呈現的方式，以使其中的本質特征恒在，非本質特征不常出現的教學活動方式．而數學解題變式，就是數學解題中，相對于某種范式(即數學材料中具體的數學思維成果，含問題情境、基本知識、知識結構、典型問題、思維模式等)的變化形式，在數學解題過程中不斷地變更數學問題中的情景或改變思維的角度，變換問題中的條件或結論，轉換問題的形式或內容，配置各種實際應用的環境等，以期暴露問題的本質特征或內在練習的教學方法[2]. 因此，試題變式中“我們更應該強調變式的共同本質：“變化中求不變”、“求變以突出其中不變的因素.”[3]通過變換12題的“元素狀態”、“構造原件”、“關聯結構”等，可以得到以下變式：

變式1 (1)將題中條件AB=1，AD=2變為AB=m，AD=n，其它條件不變，則(λ+μ)max=3.

圖9 圖10

圖11

圖12

注：以上變式均可以用等系數和線定理證明，過程略.

文中從試題命題背景、解法、本質和變式四個視角進行了分析，得到了一些成果，希望對讀者認識試題有所幫助.同時，對試題的立意、錯誤解答、命制歷程等沒有分析，請有興趣的讀者繼續前行！

[1]薛世林，劉成龍．2016年高考四川理科數學卷21題的多角度分析[J]．福建中學數學，2017,4：4-6.

[2]鄭毓信．考試高壓下的中國數學教育：現狀與對策[J]．數學通報，2007,10：23-26.

[3]江志杰．基于數學解題變式的高三教學主張[J]．中學數學教學，2013,1：54-58.

四川省“西部卓越中學數學教師協同培養計劃”項目(ZY16001).