巧設比值解決雙變量問題

湖北省宜都市一中高三(16)班 (443300)

廖曉暉 劉宜兵(指導教師)

巧設比值解決雙變量問題

湖北省宜都市一中高三(16)班 (443300)

廖曉暉 劉宜兵(指導教師)

雙變量的問題在不等式證明中出現很多,我們做了不少的題,發現許多題目可用設比值(即y=tx)的方法解決,本文列舉幾道平時考試中遇到的幾道較難試題說明方法的應用.

例2 已知實數x,y滿足x3+2y3=x-y,x>0,y>0,則x,y使得x2+ky2≤1恒成立的k的最大值為( ).

這道題是2017年武漢市二月統考試題,有很多同學沒有做出,下面我們用設比值方法求解.

以上兩個例題可以看出:對于兩個變量x,y,設y=tx(或x=ty)可使問題變為一元變量,從而使問題變得簡單.下面再舉一例看這種方法在線性規劃中的應用.

圖1

此方法是抓住系數特征,利用了幾何意義.但若題目改為a(x2+2y2)≥(3x+y)2,則難度加大,不易構造.所以不如用設比值方法來解此題,更直接,更干脆.